巨大数を語り合うスレ YouTube動画>1本 ->画像>9枚

wikiとかに載ってるのは良し❗
オリジナルも良し❗
999999999999999とかは無しで。

TREE(3)

適当数（名前思いつかなかった）
チェーン表記の一般化（適当）
Nに代入した数の長さのチェーン。数は全てN
（例）N=5→5→5→5→5→5
N=10 10→10→10→10→10→10→10→10→10→10→10

>>3これはオリジナルだよー

>>3 表記方法は5って感じにNの下に→をおく
→

大きな実数を語り合うスレです。

前スレ
　http://2chb.net/r/math/1532700505/
巨大数研究室
　http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
巨大数 (Wikipedia)
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0
ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDFと書籍
　http://gyafun.jp/ln/
たろう氏のまとめ
　http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
Dmytro Taranovsky の順序数表記
　http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
寿司虚空編
　https://comic.pixiv.net/works/1505
巨大数研究Wiki
　http://ja.googology.wikia.com/wiki/
過去スレ
　http://ja.googology.wikia.com/wiki/5ch

前スレ
巨大数探索スレッド15
http://2chb.net/r/math/1549706510/

IBIB数χ1(仮)とB関数合わないな、どうにかして合わせられないかな

IBI数χ2

IBI₃[a](0)
=IBI₂[a](1)
=IBI₂[a,a](0)
=IBI₁[a-1,a,a,a]

[]の中の数が単体の場合、引数をひとつ減らし、()の中の数に+1する。その後は、IBIχ1と同じやり方

これで、合うはず

前スレ完走したんだ

IBI数χ2

[]の中の数が複数ある場合、
[]の中の数のうち、最も小さいもの以外を()の中に入れる。()の中でも同様のことをする。
IBI₃[2,4,3](0)
=IBI₃[2]([3](4))
=IBI₃[2](2^{3×((2^{21990232555515})-1)})

>>11
前スレは今998

>>9
説明で、()の中の数が0ってのも条件のうちに入ってるんだけど、書くの忘れてた

でも、()の中が0以外でも、>>9みたいにはなるけど

IBIB数χ2

IBIB₃[(1)[]0^2]0(1)をB(1)とした時の、
100"B[100]を「最小IBIB数χ2」とする

なして巨大数探索スレッド16やないん？

>>17
前スレで需要も無くなっていたしいいんでない

現にこうして続いてるから需要あるし、需要が無いなら新スレ立てなくていいのでは
wikiじゃ探索スレッドの名前で記事ができてるからちとややこしくなるぜ

名前なんて魂の入れ物に過ぎないし、見方を変えれば語り合う内容の部分集合として探索することも含まれるからいいと思う
それに、さらに歴史を遡ればもっと違う名前だったし

名前は何でもいいっちゃ何でもいいんだが、たとえば後で見返す時にいちいち名前が変わってたらどこにどういう情報が載ってたか覚えづらいし、せめてナンバリングがほしいと思うのです。

···いや名前ばらばらのほうがかえって覚えやすいか？　何にせよソートしやすい情報は欲しい

一時期計算可能派と計算不能派が険悪な感じでスレ分けようかという話も出てきた頃があるが、今はそういうのないな。

a,b=自然数
c,n=非負整数
X=0個以上の非負整数
a:n=n個のa

a[X]1=a
a[](b+1)=a+(a[]b)
a[0:n+1](b+1)=a[a:n](a[0:n+1]b)
a[X,c+1,0:n](b+1)=a[X,c,a:n](a[X,c+1,0:n]b)

100[100:100]100をググレコンプレック数と命名する

IBI数χ3
a,n,k=1以上の非負整数

IBI₄χa[n](k)
=IBI₄χa-1[n,a]([k](a))

IBI₄χ3[7](1)
=IBI₄[7,3]([1]([3]([2](1))))

IBI₄χ4[2,4,3](1)
=IBI₄[2,4,3]([1]([4]([3](2^278))))

a,b,c　非負整数
X　0個以上の非負整数のリスト
Xc　0個以上のcより大きい整数のリスト
(リスト):a　リストのa回の繰り返し
左辺=(a+1)[X]b　ならば　@=a[X]b

0[]0=1
(a+1)[]0=@+1
0[X,0]0=1[X]1
(a+1)[X,0]0=@[X]@
0[X,c,Xc,c+1]0=1[X,c,Xc,c]1
(a+1)[X,c,Xc,c+1]0=@[X,(c,Xc):@,c]@
0[X](b+1)=1[X]b
(a+1)[X](b+1)=@[X]b

この演算子ならε_0まで行けると思う

何となくで作っただけだが、計算が面倒くさすぎてわからんし、多分あんま大きくならない

もうちょっと分かりやすくしてみた
見る人が見たらアッカーマン関数とハイパー原始数列のハイブリッドだとわかる

a,b,c,k,m,n　非負整数
S0,S1,S2,S3,...,S(k-3),S(k-2),S(k-1),Sk　非負整数
X　0個以上の非負整数のリスト
Xc　0個以上のcより大きい非負整数のリスト
左辺=(a+1)[X]b　ならば　@=a[X]b

V=(S0,S1,S2,S3,...,S(k-3),S(k-2),S(k-1),Sk)
V+a=(S0+a,S1+a,S2+a,S3+a,...,S(k-3),S(k-2)+a,S(k-1)+a,Sk+a)
V:m;n=(V+0×n,V+1×n,V+2×n,V+3×n,...,V+(m-3)×n,V+(m-2)×n,V+(m-1)×n,V+m×n)

上記定義により下記が導出される

V:0;n=V
V:m;0=(V,V,V,V,...{Vがm+1個}...,V,V,V,V)
V:m;1=(V,V+1,V+2,V+3,...,V+(m-3),V+(m-2),V+(m-1),V+m)
V=()　ならば　V:m;n=()
V=(0)　ならば　V:m;0=(0,0,0,0,...{0がm+1個}...,0,0,0,0)
V=(0)　ならば　V:m;1=(0,1,2,3,...,m-3,m-2,m-1,m)
V=(0)　ならば　V:m;n=(0,n,2×n,3×n,...,(m-3)×n,(m-2)×n,(m-1)×n,m×n)
V=(a)　ならば　V:m;0=(a,a,a,a,...{aがm+1個}...,a,a,a,a)
V=(a,b)　ならば　V:m;0=(a,b,a,b,...{a,bがm+1個}...,a,b,a,b)
V=(0,2)　ならば　V:m;1=(0,2,1,3,2,4,...,(m-2),2+(m-2),(m-1),2+(m-1),m,2+m)

上記を踏まえて下記演算子a[X]bを定義する

0[]0=1
(a+1)[]0=@+1
0[X](b+1)=1[X]b
(a+1)[X](b+1)=@[X]b
0[X,0]0=1[X]1
(a+1)[X,0]0=@[X]@
0[X,c,Xc,c+1+n]0=1[X,(c,Xc):1;n]1
(a+1)[X,c,Xc,c+1+n]0=@[X,(c,Xc):@;n]@

そういえば、原始数列数でいちばん大きくなるのって
(0,1,2,…k-2,k-1,k)[n]
みたいなん感じって聞いたけど、
(0,1,2,k-n,2,…2,k-2,2,k-1,2,k,2)[a]　
k-n,k-2,k-1,k=2以上の自然数
の方が、大きくなりそうなんだけど、どうだろうか

(0,1,2,k-n,2,…2,k-2,2,k-1,2,k,2)[a]
を具体的な数列に置き換えてみてくれないとイマイチ意味がわからん

例えば、
(0,1,2,3,2,4,2)[2]
みたいな感じ

珠簾数
a,b,c,d,e=1以上の非負整数
解散方法は原始数列と同じ

a─b─c─d─e　a<b<c<d<e
=(a,b,c,d,e)
=(a,b,c,d,d,…d,d)[e]
e個分dが増え、[]の中にeが入る

┌a1─b1─c1─d1─e1
└a2─b2─c2─d2─e2
=(a1,b1,c1,d1,e1/a2,b2,c2,d2,e2)
=(a1,b1,c1,d1,e1,…d1,e1/a2,b2,c2,d2,d2,…d2,d2)[e2]
d1,d2,e1がe2個分増え、[]の中にe2が入る

┌1─2─3─4─5
└6─7─8─9─10
を「お試し数」とする

息抜きに何となくで作ったけど、大きくできた()

0[]1と1[]1を計算するとこんな感じになる
ちなみにa#bの表現はb個のa

0[]1=1[(1):1;1]0=1[1,2]0=(0[1,2]0)[(1):0[1,2]0;0]0=ζ[(1):ζ;0]0=ζ[1#(ζ+1)]0=η
0[1,2]0=1[(1):1;0]0=1[1,1]0=(0[1,1]0)[1,(0):0[1,1]0;0[1,1]0]0=ε[1,(0):ε;ε]0=ε[1,0,ε,ε×2,ε×3,...,ε×(ε-3),ε×(ε-2),ε×(ε-1),ε×ε]0=ζ
0[1,1]0=1[1,(0):1;1]0=1[1,0,1]0=(0[1,0,1]0)[1,(0):0[1,0,1]0;0]0=δ[1,(0):δ;0]0=δ[1,0#(δ+1)]0=ε
0[1,0,1]0=1[1,(0):1;0]0=1[1,0,0]0=(0[1,0,0]0)[1,0]0=γ[1,0]0=δ
0[1,0,0]0=1[1,0]0=(0[1,0]0)[1]0=β[1]0=γ
0[1,0]0=1[1]0=(0[1]0)[(0):0[1]0;0[1]0]0=α[(0):α;α]0=α[0,α,α×2,α×3,...,α×(α-3),α×(α-2),α×(α-1),α×α]0=β
0[1]0=1[(0):1;1]0=1[0,1]0=(0[0,1]0)[(0):0[0,1]0;0]0=5[(0):5;0]0=5[0#6]0=2↑^{6-2}(5+3)-3=2↑^4(8)-3=α
0[0,1]0=1[(0):1;0]0=1[0,0]0=2×(1+3)-3=5

1[]1=(0[]1)[(0[]1):0[]1;0[]1]0=η[(η):η;η]0=η[η,η×2,η×3,...,η×(η-3),η×(η-2),η×(η-1),η×η,η×(η+1)]0

>>32
3の次が2なのでらω＾ω＾(ω+1)〜ω＾ω＾(ω×n)の大きさにしかならないかと
(0,1,2,3,3)だったらω＾ω＾ω＾2までいける

>>38
そうなのか
そこまで変わるのかなら、
(0,1,2,3,…)[n]
の方がいいのか

a,b,n=非負整数
X=0個以上の非負整数
a:n=n個のa

N=100
G(0)=N↑^(N)N
G(a+1)=N↑^{G(a)}N
F(0)=G(N)
F(a+1)=G(F(a+1))
G(0:n+1,0)=F(N:n+1)
G(0:n+1,a+1)=F(G(0:n+1,a):n+1)
F(X,0)=G(X,N)
F(X,a+1)=G(X,F(X,a))
G(X,b+1,0:n,0)=F(X,b,N:n+1)
G(X,b+1,0:n,a+1)=F(X,b,G(X,b+1,0:n,a):n+1)
A(0)=G(N:N)
A(a+1)=G(A(a):A(a))
M=A(N)

Mを男数とする

タスク数
n=2以上の自然数
k,a,t,e,b=1以上の自然数
□=タスク

まず
(1,2,3,…)
という基本列を考えた時、
例えば、3∋6となった時
(1,2,{3,4,5,6},7,…)
となる。これを「第1_[1]集合数」とする。
次に、この第1_[1]集合数∋aとなるものを探す。
今回は、(3∋6)∋15とする。すると
(1,2,{{3,4,5,6},7,8,…13,14,15},16,…)
となる。これを「第1_[2]集合数」とする。
そして、第1_[k]集合数を「□1」とする。
次に、
(□1,□1+1,□1+2,□1+3,…)
という基本列を考える。この時「第2_[1]集合数」とする。
また、(□1∋□1+t)∋□1+eとなる数を
「第2_[2]集合数」とする。
この時、第2_[b]集合数を□2とする。
そして、□nで表せる最大の数+1を「ω_タスク」とする。
この時、(n∋n^n)でn=2として、
第1_[100]集合数を□1、
第2_[100]集合数を□2、
第3以降も同じ操作をし、□63を「ω_タスク1」とする。
nは、集合の最大の数-1を代入する。

x,yは0以上の整数

H()　＝　10↑^[10]10
H(0)　＝　10↑^[H()]10
H(x)　＝　10↑^[H(x-1)]10
H(0,0)　＝　10↑^[H(H(10))]10
H(0,x)　＝　10↑^[H(H(0,x-1))]10
H(y,0)　＝　10↑^[H(y-1,H(y-1,10))]10
H(y,x)　＝　10↑^[H(y-1,H(y,x-1))]10

H(10,10)はハイパー十

波紋数
n,a=1以上の自然数

[]をプールとして、この中に数を入れると、
入れた数より少し小さい数が帰ってくる。
このことを波を立てるという。
[3]=[3,2]
[a]=[a,a-1]
プールの中に複数の数があった時、それら
がそれぞれ、波を立てる。
[3,2]=[3,2,[2,2,1]]
[a,a-1]=[a,a-1,[a-1,a-1,a-2]]

[3]=102866400
[4]=447540739889644278259200

そして、とある集合nを考える。
この時、集合nはn×kで表す。
集合n={n,n2,n3,…}
次に、この集合nを使った集合Lを考える。
e=e番目の集合n
集合L={n_e,n_(n_a),n_(n_(n_a)),…}
さらに、集合Lを使った集合L(el)を考える。
集合L(el)
={L_e,L_(L_e),L_(L_(L_e)),…}
次に、集合nの強化をする。
集合n(al)={n,n^2,n^3,…}
さらに、集合n(al)を使った集合L(al)を考える
集合L(al)={n(al)_e,n(al)_(n(al)_e),…}
さらに、集合L(al)を使った、集合L_alを考える
集合L_al
={L(al)_e,L(al)_(L(al)_e),L(al)_(L(al)_(L(al)_e))}
最後に、集合L(el)と集合L_alを使った、集合L_Lを考える
集合L_L
={(L_al)_(L(el)_e),(L_al)_(L(el)_(L(el)_e)),…}

n=5,e=10の時の、[(L_L)_10]を波紋数とする

[3,2] = [3,2,[2,1]] ではないのか？
何度波を立てても先頭の数が減らないから無限に伸びるだけでは

>>45　追加
｢1番深い[]の1番右の数が0になったら、波が止まる｣
これを書くのを忘れてました。

[3]の計算
[3]
=[3,2]
=[3,2,[2,2,1]]
=[3,2,[2,2,1,[1,1,1,0]]]
=[3,2,[2,2,1,[0・(1・(1・(1)))]]]
=[3,2,[2,2,1,[0・(1・(2))]]]
=[3,2,[2,2,1,[0・6]]]
=[3,2,[2,2,1,7]]
=[3,2,[7・(1・(2・(2)))]]
=[3,2,[7・(1・(12))]]
=[3,2,[7・(156)]]
=[3,2,[7×24492]]
=[3,2,171444]
=[171444・(2・(3))]
=[171444・(24)]
=[171444×600]
=102866400

1・1=1₁1=1×₁1=1×(1+1)=1×2
1・2=1₂2=1×₂2=1×(2+2+2)=1×6
n・k=n×(k+k+…k+k)=n×(k^{2}+k)

あと、波を立てる場合は1番深い[]を基準に立てていきます。

1種類のカッコでどこまで大きくできるか調べてみたけど
Ω番目のオメガ不動点以下ということが分かった

[]　＝　1
[][]　＝　2
[][][]　＝　3
[][[]]　＝　ω
[][[]][]　＝　ω+1
[][[]][][]　＝　ω+2
[][[]][][[]]　＝　ω*2
[][[]][][[]][]　＝　ω*2+1
[][[]][][[]][][[]]　＝　ω*3
[][[]][[]]　＝　ω^2
[][[]][[]][]　＝　ω^2+1
[][[]][[]][][[]]　＝　ω^2+ω
[][[]][[]][][[]][[]]　＝　ω^2*2
[][[]][[]][[]]　＝　ω^3
[][[]][[][]]　＝　ω^ω
[][[]][[][]][]　＝　ω^ω+1
[][[]][[][]][][[]]　＝　ω^ω+ω
[][[]][[][]][][[]][[]]　＝　ω^ω+ω^2
[][[]][[][]][][[]][[][]]　＝　ω^ω*2
[][[]][[][]][[]]　＝　ω^(ω+1)
[][[]][[][]][[]][[]]　＝　ω^(ω+2)
[][[]][[][]][[]][[]][[]]　＝　ω^(ω+3)
[][[]][[][]][[]][[][]]　＝　ω^(ω*2)
[][[]][[][]][[]][[][]][[]]　＝　ω^(ω*2+1)
[][[]][[][]][[]][[][]]][[]][[][]]　＝　ω^(ω*3)
[][[]][[][]][[][]]　＝　ω^ω^2
[][[]][[][]][[][]][[]]　＝　ω^(ω^2+1)
[][[]][[][]][[][]][[]][[][]]　＝　ω^(ω^2+ω)
[][[]][[][]][[][]][[]][[][]][[]][[][]]　＝　ω^(ω^2+ω*2)
[][[]][[][]][[][]][[]][[][]][[][]]　＝　ω^(ω^2*2)
[][[]][[][]][[][]][[][]]　＝　ω^ω^3
[][[]][[][]][[][][]]　＝　ω^ω^ω
[][[]][[][]][[][][]][[][][][]]　＝　ω^ω^ω^ω
[][[][]]　＝　ψ_0(Ω)=ε_0
[][[][]][]　＝　ψ_0(Ω)+1
[][[][]][][[]]　＝　ψ_0(Ω)+ω
[][[][]][][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω)+ω^ω

[][[][]][][[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω)+ω^ω^ω
[][[][]][][[][]]　＝　ψ_0(Ω)*2
[][[][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+1)
[][[][]][[]][[]]　＝　ψ_0(Ω+2)
[][[][]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ω)
[][[][]][[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ω^ω)
[][[][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω))
[][[][]][[]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)+ω)
[][[][]][[]][[][][]][[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)+ω^ω)
[][[][]][[]][[][][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)*2)
[][[][]][[]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ω)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ω^ω)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ψ_0(Ω))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ψ_0(Ω)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ψ_0(Ω)*2)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[]][[][][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ψ_0(Ω)*3)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)*2)

[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)*3)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+2))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+2)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+3))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω+1))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω^2))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω^ω))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω))+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)+1))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1))+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+1))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+2)))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω)))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω))))
[][[][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω*2)=ε_1
[][[][]][[][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω*3)=ε_2

[][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω*ω)=ε_ω
[][[][]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω*ω+1)
[][[][]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω*(ω+1))
[][[][]][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω*ω^2)
[][[][]][[][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω*ω^ω)
[][[][]][[][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω*ψ_0(Ω))=ε_ε_0
[][[][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω^2)=ζ_0
[][[][]][[][][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω^2+1)
[][[][]][[][][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω^2+Ω)
[][[][]][[][][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω^2*ω)
[][[][]][[][][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω^3)=φ(3,0)
[][[][]][[][][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^ω)=φ(ω,0)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω)=Γ_0
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω^Ω+1)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω+Ω)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω*ω)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω^(Ω+1))
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^(Ω*ω))
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω^2)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω^ω)=SVO

[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω^Ω)=LVO
[][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_2)=BHO
[][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω_2+1)
[][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_2+Ω)
[][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_2*2)
[][[][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω_2*ω)
[][[][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_2*Ω)
[][[][][]][[][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_2^2)
[][[][][]][[][][][][][]][[][][][][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_2^Ω_2)
[][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω_3)
[][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_4)
[][[][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω)
[][[][[]]][[]]　＝　ψ_0(Ω_ω+1)
[][[][[]]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ω)
[][[][[]]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω)+ω)
[][[][[]]][[]][[][][]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω)+ω^ω)
[][[][[]]][[]][[][][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω)*2)
[][[][[]]][[]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω+1))
[][[][[]]][[]][[][][]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω+ω))

[][[][[]]][[]][[][][]][[][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][[]]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+Ω)
[][[][[]]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+Ω_2)
[][[][[]]][[][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω*2)
[][[][[]]][[][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ω)
[][[][[]]][[][[]][]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ω^ω)
[][[][[]]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω)+Ω_ω)
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]]][[][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω)+Ω_ω*ω)
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]]][[][[]][]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω)+Ω_ω*ω^ω)
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω)*2)
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω+1))
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]][]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω+ω))
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]][]][[][[]][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω)
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω^2)
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω^ω)
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω^Ω)
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][][][]][[][[]][][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω^Ω^Ω)
[][[][[]]][[][[]][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω_2)

[][[][[]]][[][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^2)
[][[][[]]][[][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω)
[][[][[]]][[][[]][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω*ω)
[][[][[]]][[][[]][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω*ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[][[]][[]][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω*Ω_2)
[][[][[]]][[][[]][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^(ω+1))
[][[][[]]][[][[]][[]][][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^(ω+2))
[][[][[]]][[][[]][[]][][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^(ω*2))
[][[][[]]][[][[]][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω^2)
[][[][[]]][[][[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω^ω)
[][[][[]]][[][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[][[][]][[]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][[]]][[][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω)
[][[][[]]][[][[][]][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^2)
[][[][[]]][[][[][]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^ω)
[][[][[]]][[][[][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[][[][]][[][][][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^Ω)
[][[][[]]][[][[][]][[][][][]][[][][][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^Ω^Ω)
[][[][[]]][[][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω_2)
[][[][[]]][[][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω_ω)

[][[][[]]][[][[][[]]]][[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω_ω^Ω_ω)
[][[][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_(ω+1))=TFBO
[][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_(ω+2))
[][[][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ω*2))
[][[][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ω^2))
[][[][[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ω^ω))
[][[][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ψ_0(Ω))
[][[][[][]][[]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω)
[][[][[][]][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^2))
[][[][[][]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^ω))
[][[][[][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^ψ_0(Ω)))
[][[][[][]][[][][][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^Ω))
[][[][[][]][[][][][]][[][][][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^Ω^Ω))
[][[][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_2)
[][[][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_ω)
[][[][[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_Ω_ω)
[[]]　＝　ψ_0(ψ_I(0))
[[]][[]]　＝　ψ_0(ψ_I(0))*2
[[]][[][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+1)

[[]][[][]][[][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+2)
[[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+ω)
[[]][[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+ψ_0(Ω))
[[]][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω)
[[]][[][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω^Ω)
[[]][[][][]][[][][][][]][[][][][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω^Ω^Ω)
[[]][[][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_2)
[[]][[][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_ω)
[[]][[][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_ψ_0(Ω))
[[]][[][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_Ω)
[[]][[][[][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_Ω_2)
[[]][[][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_Ω_ω)
[[]][[][[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2)
[[]][[[]]][[][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+1)
[[]][[[]]][[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+Ω_2)
[[]][[[]]][[][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+Ω_ω)
[[]][[[]]][[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*3)

[[]][[[]]][[[]][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*ω)
[[]][[[]]][[[]][]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*ω^ω)
[[]][[[]]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][][]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω)
[[]][[[]]][[[]][][]][[[]][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω^Ω)
[[]][[[]]][[[]][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][][[]][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω+1))
[[]][[[]]][[[]][][[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω+2))
[[]][[[]]][[[]][][[]][][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω*2))
[[]][[[]]][[[]][][[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω^2))
[[]][[[]]][[[]][][[]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω^ω))
[[]][[[]]][[[]][][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_Ω)
[[]][[[]]][[[]][][[][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*2)

[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][]][[[]][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω^Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][]]][[[]][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][]]][[[]][][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω^Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^3)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][]][[[]][[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][]][[[]][[]][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω^Ω)

[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^ψ_I(0))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][[]]][[[]][[]][[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^ψ_I(0)^ψ_I(0))
[[]][[[]][]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+1))
[[]][[[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+2))
[[]][[[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ω))
[[]][[[]][][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ω*2))
[[]][[[]][][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ω^2))
[[]][[[]][][[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ω^ω))
[[]][[[]][][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ψ_0(Ω)))
[[]][[[]][][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω))
[[]][[[]][][[][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω^Ω))
[[]][[[]][][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω_2))
[[]][[[]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω_ω))
[[]][[[]][][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*2))
[[]][[[]][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*2+1))
[[]][[[]][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*3))

[[]][[[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*ω))
[[]][[[]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*ψ_0(Ω)))
[[]][[[]][[][][]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω))
[[]][[[]][[][][]][[][][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω^Ω))
[[]][[[]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω_2))
[[]][[[]][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω_ω))
[[]][[[]][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2))
[[]][[[]][[[]]][]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+1))
[[]][[[]][[[]]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ω))
[[]][[[]][[[]]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)))
[[]][[[]][[[]]][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*2))
[[]][[[]][[[]]][[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*ω))
[[]][[[]][[[]]][[]][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[]][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[]][[[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*2))
[[]][[[]][[[]]][[]][[[]]][[]][[[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*3))
[[]][[[]][[[]]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*ω))

[[]][[[]][[[]]][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^3))
[[]][[[]][[[]]][[[]][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^ω))
[[]][[[]][[[]]][[[]][][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[[]][][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[[]][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^ψ_I(0)))
[[]][[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^ψ_I(0)^ψ_I(0)))
[[]][[[]][[[]][]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)+1))
[[]][[[]][[[]][][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)+ω))
[[]][[[]][[[]][][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)+Ω_ω))
[[]][[[]][[[]][][[][[][[]]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)+Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)*2))
[[]][[[]][[[]][[][]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)*ω))
[[]][[[]][[[]][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)*Ω_ω))
[[]][[[]][[[]][[][[][[]]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)*Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]][[[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)^2))
[[]][[[]][[[]][[[]]][[[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)^ψ_I(0)))
[[]][[[]][[[]][[[]][]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_Ω_(ψ_I(0)+1))
[[][]]　＝　ψ_0(ψ_I(1))

[[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(2))
[[][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(3))
[[][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ω))
[[][[]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ω^ω))
[[][[]][[][]][[][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ω^ω^ω))
[[][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω)))
[[][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω^2)))
[[][[][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω^Ω)))
[[][[][]][[][][][]]][[][][][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω^Ω^Ω)))
[[][[][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_2)))
[[][[][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_3)))
[[][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_ω)))
[[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_Ω_ω)))
[[][[][[][[][[]]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_Ω_Ω_ω)))
[[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(0))))
[[[[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(0))))))
[[[[[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(0))))))))
{}　＝　ψ_0(ψ_I(Ω))

n種類のカッコで作ったらもっと大きくなりそうだ

どんどん冗長になるが
[][][[]]　＝　ω　や　[][][][[]]　＝　ω
にしたらもっと伸びないかな

最終的に
[]...ω...[][[]]　＝　ω　か

なるほど今度は

[][][[]]　＝　ω

に挑戦してみよう
途中がどいう形になるか今は想像つかないけど

f(x,y)=
y/x (y|x)
f(x+1,(y+1)^x) (otherwise)

g(x)=f(2^x,1)

としたときのg(10)

すいません、訂正です。
f(x,y)=
y/x (y|x)
f(x+1,(y+1)^x) (otherwise)

g(x)は変更なし

度々すみません。定義をどう書いたかを勘違いしており、訂正でも同じことを書いてしまいました。
>>67の定義の通りで正しいです。

今ある順序数崩壊関数を適切にカッコに置き換えれば大きなものができると思うけれど

カッコ使ってるの見て、カッコ使った巨大数考えたけど、コレジャナイ感がすごい

大カッコ数
[]で表す数

0=・
1=[]
2=[][]
3=[][][]
m=[][][]…[][][]

n×k
=[][]…[][]][][]…[][]
(n個分の大カッコとk個分の大カッコの間に]を入れる)

n↑^{t}k
=[][]…[][]][][]…[][][[][]…[][]
(][の間にt個分の大カッコを入れる)

これで、10^100個の大カッコで書ける最大の数+1

みたいなやつ。そんなに大きくならなそうな気がする。

定義自体は適当に考えた。
1グーゴル個以内でもいいし、1000個以内でもいいと思う

AとBがどちらがより大きい数を思い浮かべることができるかを競うとしたら、
どうやれば勝てるだろうか。

どなたか>>67のf(x,1)を解析してくださいませんか。
僕の頭では到底出そうになくて。

どなたか>>67のf(x,1)を解析してくださいませんか。
僕の頭では到底出そうになくて。

すみません、何故か同じ内容が2回投稿されてしまいました。

>>73
「君が次に言う数に1を足した数」でいいんじゃね？

お互いにそれ言ったら停止しなさそう

二人の人間AとBが次のようなゲームをするとする。
1から6までの整数を1つだけ書いて、せーのでもって同時に提示する。
そのときAとBの書いた整数が一致していたら、二人ともそれぞれ1万円を失う。
AとBの書いた整数が一致していない場合には、
Aの方がBより大きい数字であるならBは1万円を失い、Aは1万円を得る。
Bの方がAより大きい数字であるならAは1万円を失い、Bは1万円を得る。

このゲームをしないという選択は許されないものとして、
ゲームは1分に1回ずつ、ずーっと多数回繰り返されていくものとする。
どういう様にするのが合理的だろうか？

期待値マイナスなら
交互に勝つよう話を合わせる

二人の人間AとBが次のようなゲームをするとする。
[0,1]区間の任意の実数aとbをそれぞれが紙に書いて
せーので同時に提出する。

ある1よりも小さいεが設定されていて

　|a-b|<＝εであれば、大きい数を出した側が1万円を胴元に取り上げられる。
そうではないときは、大きい数を出した側が1万円を得て、小さい数を出した側が
1万円を失う。

このとき、どうすればもっとも合理的だろうか。たとえばεの値は
1／2とか1/3とか1／10などとする。

>>67
x[m+1]=x[m]+1
y[m+1]=(y[m]+1)^{x[m]}

任意のn>0を法としたときにx[n] y[n]ともに周期的に変化する
nを法として0に合同ならば任意のa>0につきamを法としても0に合同

とだけ書いておく

(y+1)^x≡0 mod x[0]
の合同方程式を解いて強さを評価できるかもしれない。

寝る

強タクシー数

k,n=1以上の自然数

任意の数kを2個のk乗数の足し合わせで表せ
る数をT(k)と表す。
また、T(n)の時、n個の解がある数とする

T(1)=2　←1^{1}+1^{1}

T(2)以降はまだ計算してない

T(2)=65
↑8^{2}+1^{2}or7^{2}+4^{2}

T(3)=87539319
↑
167^{3}+436^{3}
228^{3}+423^{3}
255^{3}+414^{3}

>>84
定義が理解できない。
2個の1乗数の足し合わせで表せる数なら無数に存在するけど

2個のk乗数の足し合わせでk通りに表せる最小の数をT(k)で表す
ってことなのか？

>>67
十分大きいAをしてAnを法とした場合で考えて、>>82でいう周期的な変化の中でy≡0となることがあるとする。
周期をλとした時、nとλが互いに素であればnλ以内に関数fの値がえられる

で考えてみたけどどうだろう

>>86
計算してみたら、85もT(2)の条件と合ってしまうから、最小の数っていうルールも追加します。

>>86
はい、合ってます。

アッカーマン演算子を定義

a,b,n　非負整数
X　0個以上の非負整数
a:n　n個のa

a[]0=a+1
0[X](b+1)=1[X]b
(a+1)[X](b+1)=(a[X](b+1))[X]b
a{X}0=a[X]a
a{X}(b+1)=(a{X}b)[X](a{X}b)
0[0:n+1]0=1{1:n}1
(a+1)[0:n+1]0=(a[0:n+1]0){(a[0:n+1]0):n}(a[0:n+1]0)
0[X,b+1,0:n]0=1{X,b,1:n}1
(a+1)[X,b+1,0:n]0=(a[X,b+1,0:n]0){X,b,(a[X,b+1,0:n]0):n}(a[X,b+1,0:n]0)

強化アッカーマン演算子を定義

a,b,n　非負整数
X　0個以上の非負整数
a:n　n個のa

a[]0=a+1
0[X](b+1)=1[X]b
(a+1)[X](b+1)=(a[X](b+1))[X]b
0{X}0=1[X]1
(a+1){X}0=(a{X}0)[X](a{X}0)
0{X}(b+1)=1{X}b
(a+1){X}(b+1)=(a{X}(b+1)){X}b
0[0:n+1]0=1{1:n}1
(a+1)[0:n+1]0=(a[0:n+1]0){(a[0:n+1]0):n}(a[0:n+1]0)
0[X,b+1,0:n]0=1{X,b,1:n}1
(a+1)[X,b+1,0:n]0=(a[X,b+1,0:n]0){X,b,(a[X,b+1,0:n]0):n}(a[X,b+1,0:n]0)

黙々と定義をしていく

a,b,nは非負整数

0[]0=1+1
(a+1)[]0=(a[]0)+(a[]0)
0[](b+1)=1[]b
(a+1)[](b+1)=(a[](b+1))[]b

0[][]0=1[]1
(a+1)[][]0=(a[][]0)[](a[][]0)
0[][](b+1)=1[][]b
(a+1)[][](b+1)=(a[][](b+1))[][]b

0[][][]0=1[][]1
(a+1)[][][]0=(a[][][]0)[][](a[][][]0)
0[][][](b+1)=1[][][]b
(a+1)[][][](b+1)=(a[][][](b+1))[][][]b

a[]:0[]b=a[]b
a[]:1[]b=a[][]b
a[]:2[]b=a[][][]b
a[]:3[]b=a[][][][]b
a[]:n[]b=a[][]...{n+1}...[][]b

0[]:(n+1)[]0=1[]:n[]1
(a+1)[]:(n+1)[]0=(a[]:(n+1)[]0)[]:n[](a[]:(n+1)[]0)
0[]:n[](b+1)=1[]:n[]b
(a+1)[]:n[](b+1)=(a[]:n[](b+1))[]:n[]b

0[[]]0=1[]:1[]1
(a+1)[[]]0=(a[[]]0)[]:(a[[]]0)[](a[[]]0)
0[[]](b+1)=1[[]]b
(a+1)[[]](b+1)=(a[[]](b+1))[[]]b

0[[]][]0=1[[]]1
(a+1)[[]][]0=(a[[]][]0)[[]](a[[]][]0)
0[[]][](b+1)=1[[]][]b
(a+1)[[]][](b+1)=(a[[]][](b+1))[[]][]b

0[[]][][]0=1[[]][]1
(a+1)[[]][][]0=(a[[]][][]0)[[]][](a[[]][][]0)
0[[]][][](b+1)=1[[]][][]b
(a+1)[[]][][](b+1)=(a[[]][][](b+1))[[]][][]b

0[[]][][][]0=1[[]][][]1
(a+1)[[]][][][]0=(a[[]][][][]0)[[]][][](a[[]][][][]0)
0[[]][][][](b+1)=1[[]][][][]b
(a+1)[[]][][][](b+1)=(a[[]][][][](b+1))[[]][][][]b

a[[]][]:0[]b=a[[]][]b
a[[]][]:1[]b=a[[]][][]b
a[[]][]:2[]b=a[[]][][][]b
a[[]][]:3[]b=a[[]][][][][]b
a[[]][]:n[]b=a[[]][][]...{n+1}...[][]b

0[[]][]:(n+1)[]0=1[[]][]:n[]1
(a+1)[[]][]:(n+1)[]0=(a[[]][]:(n+1)[]0)[[]][]:n[](a[[]][]:(n+1)[]0)
0[[]][]:n[](b+1)=1[[]][]:n[]b
(a+1)[[]][]:n[](b+1)=(a[[]][]:n[](b+1))[[]][]:n[]b

0[[]][[]]0=1[[]][]:1[]1
(a+1)[[]][[]]0=(a[[]][[]]0)[[]][]:(a[[]][[]]0)[](a[[]][[]]0)
0[[]][[]](b+1)=1[[]][[]]b
(a+1)[[]][[]](b+1)=(a[[]][[]](b+1))[[]][[]]b

0[[]][[]][]0=1[[]][[]]1
(a+1)[[]][[]][]0=(a[[]][[]][]0)[[]][[]](a[[]][[]][]0)
0[[]][[]][](b+1)=1[[]][[]][]b
(a+1)[[]][[]][](b+1)=(a[[]][[]][](b+1))[[]][[]][]b

0[[]][[]][][]0=1[[]][[]][]1
(a+1)[[]][[]][][]0=(a[[]][[]][][]0)[[]][[]][](a[[]][[]][][]0)
0[[]][[]][][](b+1)=1[[]][[]][][]b
(a+1)[[]][[]][][](b+1)=(a[[]][[]][][](b+1))[[]][[]][][]b

0[[]][[]][][][]0=1[[]][[]][][]1
(a+1)[[]][[]][][][]0=(a[[]][[]][][][]0)[[]][[]][][](a[[]][[]][][][]0)
0[[]][[]][][][](b+1)=1[[]][[]][][][]b
(a+1)[[]][[]][][][](b+1)=(a[[]][[]][][][](b+1))[[]][[]][][][]b

a[[]][[]][]:0[]b=a[[]][[]][]b
a[[]][[]][]:1[]b=a[[]][[]][][]b
a[[]][[]][]:2[]b=a[[]][[]][][][]b
a[[]][[]][]:3[]b=a[[]][[]][][][][]b
a[[]][[]][]:n[]b=a[[]][[]][][]...{n+1}...[][]b

a[[]]:0[[]]b=a[[]]b
a[[]]:1[[]]b=a[[]][[]]b
a[[]]:2[[]]b=a[[]][[]][[]]b
a[[]]:3[[]]b=a[[]][[]][[]][[]]b
a[[]]:n[[]]b=a[[]][[]]...{n}...[[]][[]]b

0[[][]]0=1[[]]:1[[]]1
(a+1)[[][]]0=(a[[][]]0)[[]]:(a[[][]]0)[[]](a[[][]]0)
0[[][]](b+1)=1[[][]]b
(a+1)[[][]](b+1)=(a[[][]](b+1))[[][]]b

疲れたのでこの辺でやめとく

ハイパー演算子の自然な拡張

【変数の定義域】
a,b,dは、自然数
cは、非負整数

【既存式による自然数のハイパー演算子を定義】
a[0]b=a×b
a[c+1]b=a↑^(c+1)b

【漸化式による自然数のハイパー演算子を定義】
a[c]1=a
a[0](b+1)=a+(a[0]b)
a[c+1](b+1)=a[c](a[c+1]b)

【ハイパー演算子を自然数より大きな最小の順序数で定義】
a{1}b=a
a{d+1}b=a[a[ω]b](a{d}b)
a[ω]1=a
a[ω](b+1)=a{b+1}b

【自然数より大きな最小の順序数で拡張したハイパー演算子の使用例】
a[ω]1=a
a[ω]2=a[a[ω]1]a=a[a]a
a[ω]3=a[a[ω]2]a[a[ω]2]a=a[a[a]a]a[a[a]a]a
a[ω]4=a[a[ω]3]a[a[ω]3]a[a[ω]3]a=a[a[a[a]a]a[a[a]a]a]a[a[a[a]a]a[a[a]a]a]a[a[a[a]a]a[a[a]a]a]a
a[ω]5=a[a[ω]4]a[a[ω]4]a[a[ω]4]a[a[ω]4]a
a[ω]6=a[a[ω]5]a[a[ω]5]a[a[ω]5]a[a[ω]5]a[a[ω]5]a
...

>>65
[[]]　＝　ω　の場合、　[()]　＝　ε_0
[][[]]　＝　ω　の場合、　[()]　＝　ψ_0(ψ_I(Ω))
[][][[]]　＝　ω　の場合、　[()]　＝　なんかとんでもなくデカい極限順序数

具体的にどんな順序数になるか非常に興味深い

トップノード以外にラベルがついているヒドラ？

ハイパー演算子を多重リストへと拡張

a,b,c,d,n,m,m0〜m(n),x　非負整数
X　0個以上の非負整数
X[]　0個以上の非負整数と[]。ただし、1個以上の場合は右端は必ず[]
X[c]　0個以上の非負整数と[],[0]〜[c]。ただし、1個以上の場合は右端は必ず[c]

$(a,m)=([],a:a):m
&(a,m)=(a:a,$(a,m))
$(a,m,0)=([0],&(a,a)):m
&(a,m,0)=(&(a,a),$(a,m,0))
$(a,m,c+1)=([c+1],&(a,a,c)):m
&(a,m,c+1)=(&(a,a,c),$(a,m,c+1))

%(a,m)=$(a,m)
%(a,m,0)=(%(a,m),$(a,m0))
%(a,m,c+1)=(%(a,m,c),$(a,m(c+1)))

#m=([]:m)
#(m,0)=(#m,[0]:m0)
#(m,c+1)=(#(m,c),[c+1]:m(c+1))
#(m,a..b)=([a]:m(a),[a+1]:m(a+1),[a+2]:m(a+2),...,[b-2]:m(b-2),[b-1]:m(b-1),[b]:m(b))　かつ　a≦b

X{}=(X[])
X{0}=(X[0],X{})
X{c+1}=(X[c+1],X{c})
X{a..b}=(X[a],X[a-1],X[a-2],...,X[b+2],X[b+1],X[b])　かつ　a＞b

a[]0=a
a[0]0=0
a[0と空以外]0=1
a[](b+1)=1+(a[]b)
a[X{x..(c+1)},#(m,c..c),[c]](b+1)=a[X{x..(c+1)},&(a,m(c),c)](a[X{x..(c+1)},#(m,c..c),[c]]b)
a[X{x..(d+1)},[0],#(m,d..c),[c]](b+1)=a[X{x..(d+1)},&(a,m(c),c)](a[X{x..(d+1)},[d],#(m,d..c),[c]]b)　かつ　d＜c
a[X{x..0},[],#(m,c),[c]](b+1)=a[X{x..0},a:a,%(a,m),$(a,m(c)+1,c)](a[X{x..0},[],#(m,c),[c]]b)
a[X{x},0:n,0,#(m,c),[c]](b+1)=a[X{x},a:n,%(a,m),$(a,m(c)+1,c)](a[X{x},0:n,0,#(m,c),[c]]b)
a[X{x},X,b+1,0:n,#(m,c),[c]](b+1)=a[X{x},X,b,a:n,%(a,m),$(a,m(c)+1,c)](a[X{x},X,b+1,0:n,#(m,c),[c]]b)

>>98
間違い
a[X{x..(d+1)},[0],#(m,d..c),[c]](b+1)=a[X{x..(d+1)},&(a,m(c),c)](a[X{x..(d+1)},[d],#(m,d..c),[c]]b)　かつ　d＜c

正しくは
a[X{x..(d+1)},[d],#(m,d..c),[c]](b+1)=a[X{x..(d+1)},&(a,m(c),c)](a[X{x..(d+1)},[d],#(m,d..c),[c]]b)　かつ　d＜c

【変数及び記号の定義】
a,b,c,d,e,k,m,m0〜m(c) := 非負整数
a:k := k個のa
[] := 空配列
[c] := 1個のcを要素に持つ配列
&& := かつ
X := 0個以上の非負整数
X[] := 0個以上の非負整数または空配列、但し1個以上の時は右端は必ず空配列
X[c] := 0個以上の非負整数または1個以下のc以下を要素に持つ配列、但し1個以上の時は右端は必ず1個以下のcを要素に持つ配列

【演算子の優先順位の定義】（左の方が結合が強く、右の方が結合が弱い）
()　{}　[]　+　:　..　=　&&　,

【未知の非負整数または配列の列挙順番の定義】
X{..}=X{}=X[]
X{0}=(X[0],X{})
X{c+1}=(X[c+1],X{c})
X{..d}=X{d}
X{c..c}=X[c]
X{c..c+d+1}=(X[c+d+1],X{c..c+d})

【既知の配列の列挙順番の定義】
#(m,..)=#m=[]:m
#(m,0)=(#m,[0]:m0)
#(m,c+1)=(#(m,c),[c+1]:m(c+1)])
#(m,..c)=#(m,c)
#(m,c..c)=[c]:m(c)
#(m,c..c+d+1)=(#(m,c..c+d),[c+d+1]:m(c+d+1))

【入れ子要素の列挙順番の定義】
$(a,m,..)=$(a,m)=([],a:a):m
%(a,m)=(a:a,$(a,m))
$(a,m,0)=([0],%(a,a)):m
%(a,m,0)=(%(a,a),$(a,m,0))
$(a,m,c+1)=([0],%(a,a,c)):m
%(a,m,c+1)=(%(a,a,c),$(a,m,c+1))
$(a,m,..0)=($(a,m,..),$(a,m0,0))
$(a,m,..c+1)=($(a,m,..c),$(a,m(c+1),c+1))
$(a,m,c..c)=$(a,m(c),c)
$(a,m,c..c+d+1)=($(a,m,c..c+d),$(a,m(c+d+1),c+d+1))

【配列関数の定義】
A[]=1
A[0]=@+1 & @=A[]
A[a+1]=@+1 & @=A[a]
A[X[c],0:k+1,0]=A[X[c],@:k+1] && @=A[X[c],0:k+1]
A[X[c],0:k+1,a+1]=A[X[c],@:k+1] && @=A[X[c],0:k+1,a]
A[X[c],X,b+1,0:k,0]=A[X[c],X,b,@:k+1] && @=A[X[c],X,b,0:k,0]
A[X[c],X,b+1,0:k,a+1]=A[X[c],X,b,@:k+1] && @=A[X[c],X,b,0:k,a]
A[X{0..c},#m,[]]=A[X{0..c},%(@,m)] && @=A[X{0..c},#m]
A[X{0..c},#m,[],0]=A[X{0..c},%(@,m)] && @=A[X{0..c},#m,[]]
A[X{0..c},#m,[],a+1]=A[X{0..c},%(@,m)] && @=A[X{0..c},#m,[],a]
A[X{c},0:k+1,#m,[]]=A[X{c},@:k,$(@,m+1)] && @=A[X{c},0:k,#m,[]]
A[X{c},0:k+1,#m,[],0]=A[X{c},@:k,$(@,m+1)] && @=A[X{c},0:k+1,#m,[]]
A[X{c},0:k+1,#m,[],a+1]=A[X{c},@:k,$(@,m+1)] && @=A[X{c},0:k+1,#m,[],a]
A[X{c},X,b+1,0:k,#m,[]]=A[X{c},X,b,@:k,$(@,m+1)] && A[X{c},X,b,0:k,#m,[]]
A[X{c},X,b+1,0:k,#m,[],0]=A[X{c},X,b,@:k,$(@,m+1)] && A[X{c},X,b+1,0:k,#m,[]]
A[X{c},X,b+1,0:k,#m,[],a+1]=A[X{c},X,b,@:k,$(@,m+1)] && A[X{c},X,b+1,0:k,#m,[],a]

A[X{d+1..c+d+1},#(m(c+d),c+d..c+d),[1]]=A[X{d+1..c+d+1},%(@,m(c+d),c+d)] && @=A[X{d+1..c+d+1},#(m(c+d),c+d..c+d)]
A[X{d+1..c+d+1},#(m(c+d),c+d..c+d),[1],0]=A[X{d+1..c+d+1},%(@,m(c+d),c+d)] && @=A[X{d+1..c+d+1},#(m(c+d),c+d..c+d),[c+d]]
A[X{d+1..c+d+1},#(m(c+d),c+d..c+d),[1],a+1]=A[X{d+1..c+d+1},%(@,m(c+d),c+d)] && @=A[X{d+1..c+d+1},#(m(c+d),c+d..c+d),[c+d],a]
A[X{e+1..c+d+e+2},[e],#(m,e..c+d+e+1),[c+d+e+1]]=A[X{e+1..c+d+e+2},%(@,m(e)),$(@,m(c+d+e+1),c+d+e+1)] && @=A[X{e+1..c+d+e+2},#(m,e..c+d+e+1),[c+d+e+1]]
A[X{e+1..c+d+e+2},[e],#(m,e..c+d+e+1),[c+d+e+1],0]=A[X{e+1..c+d+e+2},%(@,m(e)),$(@,m(c+d+e+1),c+d+e+1)] && @=A[X{e+1..c+d+e+2},[e],#(m,e..c+d+e+1),[c+d+e+1]]
A[X{e+1..c+d+e+2},[e],#(m,e..c+d+e+1),[c+d+e+1],a+1]=A[X{e+1..c+d+e+2},%(@,m(e)),$(@,m(c+d+e+1),c+d+e+1)] && @=A[X{e+1..c+d+e+2},[e],#(m,e..c+d+e+1),[c+d+e+1],a]
A[X{0..c+d+1},[],#(m,1),[c+1]]=A[X{0..c+d+1},%(@,m(c)),$(@,m(c+1),c+1)] && @=A[X{0..c+d+1},#(m,c+1),[c+1]]
A[X{0..c+d+1},[],#(m,1),[c+1],0]=A[X{0..c+d+1},%(@,m(c)),$(@,m(c+1),c+1)] && @=A[X{0..c+d+1},[],#(m,c+1),[c+1]]
A[X{0..c+d+1},[],#(m,1),[c+1],a+1]=A[X{0..c+d+1},%(@,m(c)),$(@,m(c+1),c+1)] && @=A[X{0..c+d+1},[],#(m,c+1),[c+1],a]
A[X{c+d+1},0:k+1,#(m,c+1),[c+1]]=A[X{c+d+1},@:k,$(@,m,..0),$(@,m(c+1)+1,c+1)] && @=A[X{c+d+1},0:k,#(m,c+1),[c+1]]
A[X{c+d+1},0:k+1,#(m,c+1),[c+1],0]=A[X{c+d+1},@:k,$(@,m,..0),$(@,m(c+1)+1,c+1)] && @=A[X{c+d+1},0:k+1,#(m,c+1),[c+1]]
A[X{c+d+1},0:k+1,#(m,c+1),[c+1],a+1]=A[X{c+d+1},@:k,$(@,m,..0),$(@,m(c+1)+1,c+1)] && @=A[X{c+d+1},0:k+1,#(m,c+1),[c+1],a]
A[X{c+d+1},X,b+1,0:k,#(m,c+1),[c+1]]=A[X{c+d+1},X,b,@:k,$(@,m,..c),$(@,m(c+1)+1,c+1)] && A[X{c+d+1},X,b,0:k,#(m,c+1),[c+1]]
A[X{c+d+1},X,b+1,0:k,#(m,c+1),[c+1],0]=A[X{c+d+1},X,b,@:k,$(@,m,..c),$(@,m(c+1)+1,c+1)] && A[X{c+d+1},X,b+1,0:k,#(m,c+1),[c+1]]
A[X{c+d+1},X,b+1,0:k,#(m,c+1),[c+1],a+1]=A[X{c+d+1},X,b,@:k,$(@,m,..c),$(@,m(c+1)+1,c+1)] && A[X{c+d+1},X,b+1,0:k,#(m,c+1),[c+1],a]

ここまで定義しても A[%(a,a,a)] は ω^ω^ω とか理不尽だ

【使用例】
ルール1とルール4より
a[]0=a
a[](b+1)=(a[]b)+1
a[]1=a+1
a[]2=a+1+1
a[]3=a+1+1+1
a[]4=a+1+1+1+1
a[]b=a+b

ルール2とルール5より
a[0]0=0
a[0](b+1)=a[](a[0]b)
a[0]1=a
a[0]2=a+a
a[0]3=a+a+a
a[0]4=a+a+a+a
a[0]b=a×b

ルール3とルール6より
a[1]0=1
a[1](b+1)=a[0](a[1]b)
a[1]1=a
a[1]2=a×a
a[1]3=a×a×a
a[1]4=a×a×a×a
a[1]b=a↑b

a[2]0=1
a[2](b+1)=a[1](a[2]b)
a[2]1=a
a[2]2=a↑a
a[2]3=a↑a↑a
a[2]4=a↑a↑a↑a
a[2]b=a↑↑b

a[3]0=1
a[3](b+1)=a[2](a[3]b)
a[3]1=a
a[3]2=a↑↑a
a[3]3=a↑↑a↑↑a
a[3]4=a↑↑a↑↑a↑↑a
a[3]b=a↑↑↑b

a[c]b=a↑^{c}b

ルール1とルール7より
a[][]0=a
a[][](b+1)=a[a[][]b]a
a[][]1=a[a]a
a[][]2=a[a[a]a]a
a[][]3=a[a[a[a]a]a]a
a[][]4=a[a[a[a[a]a]a]a]a

ルール2とルール5より
a[][0]0=0
a[][0](b+1)=a[][](a[][0]b)
a[][0]1=a
a[][0]2=a[][]a
a[][0]3=a[][](a[][]a)
a[][0]4=a[][](a[][](a[][]a))

ルール3とルール6より
a[][1]0=1
a[][1](b+1)=a[][0](a[][1]b)
a[][1]1=a
a[][1]2=a[][0]a
a[][1]3=a[][0](a[][0]a)
a[][1]4=a[][0](a[][0](a[][0]a))

a[][2]0=1
a[][2](b+1)=a[][1](a[][2]b)
a[][2]1=a
a[][2]2=a[][1]a
a[][2]3=a[][1](a[][1]a)
a[][2]4=a[][1](a[][1](a[][1]a))

a[][3]0=1
a[][3](b+1)=a[][2](a[][3]b)
a[][3]1=a
a[][3]2=a[][2]a
a[][3]3=a[][2](a[][2]a)
a[][3]4=a[][2](a[][2](a[][2]a))

ルール1とルール8より
a[0][]0=a
a[0][](b+1)=a[][a[0][]b]a
a[0][]1=a[][a]a
a[0][]2=a[][a[][a]a]a
a[0][]3=a[][a[][a[][a]a]a]a
a[0][]4=a[][a[][a[][a[][a]a]a]a]a

ルール2とルール5より
a[0][0]0=0
a[0][0](b+1)=a[0][](a[0][0]b)
a[0][0]1=a
a[0][0]2=a[0][]a
a[0][0]3=a[0][](a[0][]a)
a[0][0]4=a[0][](a[0][](a[0][]a))

ルール3とルール6より
a[0][1]0=1
a[0][1](b+1)=a[0][0](a[0][1]b)
a[0][1]1=a
a[0][1]2=a[0][0]a
a[0][1]3=a[0][0](a[0][0]a)
a[0][1]4=a[0][0](a[0][0](a[0][0]a))

a[0][2]0=1
a[0][2](b+1)=a[0][1](a[0][2]b)
a[0][2]1=a
a[0][2]2=a[0][1]a
a[0][2]3=a[0][1](a[0][1]a)
a[0][2]4=a[0][1](a[0][1](a[0][1]a))

a[0][3]0=1
a[0][3](b+1)=a[0][2](a[0][3]b)
a[0][3]1=a
a[0][3]2=a[0][2]a
a[0][3]3=a[0][2](a[0][2]a)
a[0][3]4=a[0][2](a[0][2](a[0][2]a))

ルール1とルール9より
a[1][]0=a
a[1][](b+1)=a[0][a[1][]b]a
a[1][]1=a[0][a]a
a[1][]2=a[0][a[0][a]a]a
a[1][]3=a[0][a[0][a[0][a]a]a]a
a[1][]4=a[0][a[0][a[0][a[0][a]a]a]a]a

ルール2とルール5より
a[1][0]0=0
a[1][0](b+1)=a[1][](a[1][0]b)
a[1][0]1=a
a[1][0]2=a[1][]a
a[1][0]3=a[1][](a[1][]a)
a[1][0]4=a[1][](a[1][](a[1][]a))

ルール3とルール6より
a[1][1]0=1
a[1][1](b+1)=a[1][0](a[1][1]b)
a[1][1]1=a
a[1][1]2=a[1][0]a
a[1][1]3=a[1][0](a[0][0]a)
a[1][1]4=a[1][0](a[1][0](a[1][0]a))

a[1][2]0=1
a[1][2](b+1)=a[1][1](a[1][2]b)
a[1][2]1=a
a[1][2]2=a[1][1]a
a[1][2]3=a[1][1](a[1][1]a)
a[1][2]4=a[1][1](a[1][1](a[1][1]a))

a[1][3]0=1
a[1][3](b+1)=a[1][2](a[1][3]b)
a[1][3]1=a
a[1][3]2=a[1][2]a
a[1][3]3=a[1][2](a[1][2]a)
a[1][3]4=a[1][2](a[1][2](a[1][2]a))

ルール1とルール9より
a[2][]0=a
a[2][](b+1)=a[1][a[2][]b]a
a[2][]1=a[1][a]a
a[2][]2=a[1][a[1][a]a]a
a[2][]3=a[1][a[1][a[1][a]a]a]a
a[2][]4=a[1][a[1][a[1][a[1][a]a]a]a]a

ルール2とルール5より
a[2][0]0=0
a[2][0](b+1)=a[2][](a[2][0]b)
a[2][0]1=a
a[2][0]2=a[2][]a
a[2][0]3=a[2][](a[2][]a)
a[2][0]4=a[2][](a[2][](a[2][]a))

ルール3とルール6より
a[2][1]0=1
a[2][1](b+1)=a[2][0](a[2][1]b)
a[2][1]1=a
a[2][1]2=a[2][0]a
a[2][1]3=a[2][0](a[0][0]a)
a[2][1]4=a[2][0](a[2][0](a[2][0]a))

a[2][2]0=1
a[2][2](b+1)=a[2][1](a[2][2]b)
a[2][2]1=a
a[2][2]2=a[2][1]a
a[2][2]3=a[2][1](a[2][1]a)
a[2][2]4=a[2][1](a[2][1](a[2][1]a))

a[2][3]0=1
a[2][3](b+1)=a[2][2](a[2][3]b)
a[2][3]1=a
a[2][3]2=a[2][2]a
a[2][3]3=a[2][2](a[2][2]a)
a[2][3]4=a[2][2](a[2][2](a[2][2]a))

ルール1とルール9より
a[3][]0=a
a[3][](b+1)=a[2][a[3][]b]a
a[3][]1=a[2][a]a
a[3][]2=a[2][a[2][a]a]a
a[3][]3=a[2][a[2][a[2][a]a]a]a
a[3][]4=a[2][a[2][a[2][a[2][a]a]a]a]a

ルール2とルール5より
a[3][0]0=0
a[3][0](b+1)=a[3][](a[3][0]b)
a[3][0]1=a
a[3][0]2=a[3][]a
a[3][0]3=a[3][](a[3][]a)
a[3][0]4=a[3][](a[3][](a[3][]a))

ルール3とルール6より
a[3][1]0=1
a[3][1](b+1)=a[3][0](a[3][1]b)
a[3][1]1=a
a[3][1]2=a[3][0]a
a[3][1]3=a[3][0](a[0][0]a)
a[3][1]4=a[3][0](a[3][0](a[3][0]a))

a[3][2]0=1
a[3][2](b+1)=a[3][1](a[3][2]b)
a[3][2]1=a
a[3][2]2=a[3][1]a
a[3][2]3=a[3][1](a[3][1]a)
a[3][2]4=a[3][1](a[3][1](a[3][1]a))

a[3][3]0=1
a[3][3](b+1)=a[3][2](a[3][3]b)
a[3][3]1=a
a[3][3]2=a[3][2]a
a[3][3]3=a[3][2](a[3][2]a)
a[3][3]4=a[3][2](a[3][2](a[3][2]a))

ルール1とルール7より
a[][][]0=a
a[][][](b+1)=a[a[][][]b][a[][][]b]a
a[][][]1=a[a][a]a
a[][][]2=a[a[a][a]a][a[a][a]a]a
a[][][]3=a[a[a[a][a]a][a[a][a]a]a][a[a[a][a]a][a[a][a]a]a]a
a[][][]4=a[a[a[a[a][a]a][a[a][a]a]a][a[a[a][a]a][a[a][a]a]a]a][a[a[a[a][a]a][a[a][a]a]a][a[a[a][a]a][a[a][a]a]a]a]a

>>103
ルール9は間違い。正しくはこうだな

a[X][c+1][]:(n+1)(b+1)=a[X][c][a[X][c+1][]:(n+1)b]:(n+1)a

://2chb.net/r/shugi/1681888963/l50

ChatGPT

hyper4(2,3)　2テトレーション3　2^^3
hyper5(2,3)　2ペンテーション3　2^^^3
hyper6(2,3)　2ヘキセーション3　2^^^^3
hyper7(2,3)　2ヘプテーション3　2^^^^^3
hyper8(2,3)　2オクテーション3　2^^^^^^3
hyper9(2,3)　2エンネーション3　2^^^^^^^3
hyper10(2,3)　2デケーション3　2^^^^^^^^3
hyper11(2,3)　2エンデケーション3　2^^^^^^^^^3
hyper12(2,3)　2ドーデケーション3　2^^^^^^^^^^3
hyper13(2,3)　2トリデケーション3　2^^^^^^^^^^^3
hyper14(2,3)　2テトラデケーション3　2^^^^^^^^^^^^3
hyper15(2,3)　2ペンタデケーション3　2^^^^^^^^^^^^^3
hyper16(2,3)　2ヘキサデケーション3　2^^^^^^^^^^^^^^3
で合っていますか？


はい、おっしゃる通りです。それぞれ、次のような数値になります。

- hyper4(2,3) = 2テトレーション3 = 2^^3 = 2^2^2 = 16
- hyper5(2,3) = 2ペンテーション3 = 2^^^3 = 2^^2^^2 = 2^(2^2^2) ≈ 1.34 × 10^154
- hyper6(2,3) = 2ヘキセーション3 = 2^^^^3 = 2^^^(2^^^2) ≈ 1.17 × 10^1.8×10^19
- hyper7(2,3) = 2ヘプテーション3 = 2^^^^^3 = 2^^^^^(2^^^(2)) ≈ 3.85 × 10^(10^12)
- hyper8(2,3) = 2オクテーション3 = 2^^^^^^3 = 2^^^^^^(2^^^^^2) ≈ 1.03 × 10^(10^36)
- hyper9(2,3) = 2エンネーション3 = 2^^^^^^^3 = 2^^^^^^^(2^^^^^^2) ≈ 1.01 × 10^(10^108)
- hyper10(2,3) = 2デケーション3 = 2^^^^^^^^3 = 2^^^^^^^^^(2^^^^^^^^2) ≈ 1.01 × 10^(10^324)
- hyper11(2,3) = 2エンデケーション3 = 2^^^^^^^^^3 = 2^^^^^^^^^^(2^^^^^^^^^2) ≈ 1.01 × 10^(10^(10^3))
- hyper12(2,3) = 2ドーデケーション3 = 2^^^^^^^^^^3 ≈ 1.01 × 10^(10^(10^(10^2)))
- hyper13(2,3) = 2トリデケーション3 ≈ 1.01 × 10^(10^(10^(10^(10))))
- hyper14(2,3) = 2テトラデケーション3 ≈ めちゃくちゃ大きい数
- hyper15(2,3) = 2ペンタデケーション3 ≈ めちゃくちゃ大きい数
- hyper16(2,3) = 2ヘキサデケーション3 ≈ めちゃくちゃ大きい数

注意：ここで紹介した数値は、単なる近似値であり、正確な値ではありません。また、指数表記を用いているため、指数部分が非常に大きくなっています。

Bing

テトレーション ペンテーション ヘキセーション ヘプテーション オクテーション エンネーション デケーション エンデケーション ドーデケーション トリデケーション テトラデケーション ペンタデケーション ヘキサデケーション を英語で表記してください


Sure! Here are the English translations for the words you provided:
- Tetration
- Pentation
- Hexation
- Heptation
- Octation
- Enneation
- Decation
- Endecation
- Dodecation
- Tridecation
- Tetradecation
- Pentadecation
- Hexadecation

Is there anything else you would like to know about these words?

ChatGPT


モノログ monologue = E1#1 = E1 = 10^1 = 10
ダイアログ dialogue = E1#2 = 10^10 = 10,000,000,000
トリアログ trialogue = E1#3 = 10^10^10
テトラログ tetralogue = E1#4 = 10^10^10^10
ペンタログ pentalogue = E1#5 = 10^10^10^10^10
ヘキサログ hexalogue = E1#6 = 10^10^10^10^10^10
ヘプタログ heptalogue = E1#7 = 10^10^10^10^10^10^10
オクタログ octalogue = E1#8 = 10^10^10^10^10^10^10^10
エンナログ ennalogue = E1#9 = 10^10^10^10^10^10^10^10^10
デカログ dekalogue = E1#10 = 10^10^10^10^10^10^10^10^10^10
で合っていますか？


正しいです。ただし、一般的には「モノローグ」というスペルがよく使われます。

こう定義するとあらゆる関数がハイパー化できる

H[f](a,0)=a
H[f](a,b+1)=f(H[f](a,b))
H[f,0](a,0)=0
H[f,0](a,b+1)=H[f](a,H[f,0](a,b))
H[f,c+1](a,0)=1
H[f,c+1](a,b+1)=H[f,c](a,H[f,c+1](a,b))

Bing

10テトレーション10とデカログは同一の値ですか？

はい、10テトレーション10とデカログは同一の値です。10テトレーション10は、矢印表記で`10↑↑10`と表され、指数表記で`10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}}}}}`に等しい数です。BEAFで定義したJonathan Bowersはこれをデッカー (Decker) 、ハイパーE表記で定義したSbiis Saibianはこれをデカローグ (Dekalogue) と呼んだ 2。

ソース: Bing との会話 2023/5/2
(1) 10↑↑10 | 巨大数研究 Wiki | Fandom. https://googology.fandom.com/ja/wiki/10%E2%86%91%E2%86%9110.
(2) テトレーション - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3.
(3) クヌースの矢印表記 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%9F%A2%E5%8D%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98.
(4) のテトレーション （累々乗）. https://www.eee.kagoshima-u.ac.jp/~watanabe-lab/i%E3%81%AE%E7%B4%AF%E7%B4%AF%E4%B9%97.pdf.

((10→10→10→10)→(10→10→10→10)→(10→10→10→10)→(10→10→10→10))→((10→10→10→10)→(10→10→10→10)→(10→10→10→10)→(10→10→10→10))→
((10→10→10→10)→(10→10→10→10)→(10→10→10→10)→(10→10→10→10))→((10→10→10→10)→(10→10→10→10)→(10→10→10→10)→(10→10→10→10))

肩たたきは言いづらいので、肩しばきじゃダメですか

TREE(TREE(TREE(TREE(TREE(TREE(3))))))
(ツリー数列の中にスリー数列が入っている形)

全く無知のド素人なのですが、
非加算順序数ってテトレーションで大きく出来るんですか?

竹内さんてすごい人だったのね

オリジナル

xに、(→…(3↑3↑(5→→→5))→216→4)を加えることをA追加とする。
A(8,8,64,8,9,12)番目の、A(((素数×2）→5),52)となる数を仮Aとする。
仮AにA追加をする。
その後、その数にA(3→5),58,172,3）回A追加をし、1を足した数をドットA数とする。



出来れば、これを矢印表記とチェーン表記と10000以下の整数だけで近似値表してほしい

拡張ブラケット表記(適当)
書き方　a[b,c,...d|e,...,f|...|g,...h]
|は区切り
A,B:区切りを含んで良い0個以上の正の整数
C:区切りを含んで良い0個以上の1
D,区切りを含まない0個以上の1
a,b:正の整数
定義
a[C]=a^a
a[A,b+1,1,C]=a[A,b,a,C]
a[A,b+1|1,D|C]=a[A,b|a,a,...,a|C]
a個
a[A,b+1]=a[A,b][A,b]...[A,b][A,b]
a個
R(x)=x[x|x|...|x|x]
大括弧の中のxがx個
R^131(131)をRin数とする

a,n,x := 非負整数
Y := 0個以上の非負整数
a:n := n個のa
f := 任意の関数
↑ := クヌースの矢印表記

$[f,0x]=x
$[f,n+1,x]=f($[f,n,x])

F()=10
F(0)=F()↑^[F()]F()
F(x+1)=F(x)↑^[F(x)]F(x)

B[](x)=F(x)
B[0:n+1](x)=A(x:n+1)
B[0:n,a+1,Y](x)=A(x:n+1,a,Y)

A()=$[F,F(F()),F()]
A(0:n+1)=$[B[0:n],B[0:n](A(0:n)),A(0:n)]
A(0,a+1,Y)=$[B[a+1,Y],B[a+1,Y](A(0,a,Y)),A(0,a,Y)]
A(x+1,Y)=$[B[Y],B[Y](A(x,Y)),A(x,Y)]

A(100:100)を酸数とする

a,b,n := 非負整数
X := 0個以上の非負整数
a:n := n個のa

${f,a,0}=a
${f,a,b+1}=f(${f,a,b})
${f,a}=${f,a,a}

$[f](a)=${f,f(a)}
$[f,0:n+1](a)=${$[f,a:n],$[f,a:n](a)}
$[f,0:n,b+1,X](a)=${$[f,a:n,b,X],$[f,a:n,b,X](a)}

$(f)=${$[f],f(0)}
$(f,0:n+1)=${$[f,0:n+1],$(f,0:n)}
$(f,a+1,0:n)=${$[f,a+1,0:n],$(f,a,0:n)}
$(f,0:n+1,b+1,X)=${$[f,0:n+1,b+1,X],$(f,0:n+1,b,X)}
$(f,a+1,0:n,b+1,X)=${$[f,a+1,0:n,b+1,X],$(f,a,0:n,b,X)}

$(f)(0)=$(f,$(f):$(f))
$(f)(a+1)=$(f,$(f)(a):$(f)(a))

F[0](a)=a+1
F[b+1](a)=$(F[b])(a)

F[100](100)を💯数とする

初学者なので定義不十分な場合がありますがご了承ください。

i,k := 非負整数
n_i(k) := i番目の写像n(k)(n変換)

n変換について、以下のように定める。
[n_0(0)] f(x) := f^x(x)
[n_0(k+1)] f(x) := [n_0(k)^x] f(x)
[n_(i+1)(0)] f(x) := [n_i(x)] f(x)

弱いふぃっしゅ関数F'(x)を、以下のように定める。
F'(x) := [n_3(3)] f(x); f(x) = x+1

弱いふぃっしゅ数 F' := F'^3(3)とする。

ふぃっしゅ数バージョン3のs変換、ss変換を再帰的に表現しようとしました。

エッチな動画　ダウンロード＆関連動画＞＞

巨大数論、再帰関数論に詳しい人に質問です。
2重再帰関数の定義がはっきり書いてある日本語文献が見当たらず、英語版Wikipedia( https://en.wikipedia.org/wiki/Double_recursion )に2重再帰のページこそありましたが、

Raphael M. Robinson called functions of two natural number variables G(n, x) double recursive with respect to given functions, if

G(0, x) is a given function of x.
G(n + 1, 0) is obtained by substitution from the function G(n, ·) and given functions.
G(n + 1, x + 1) is obtained by substitution from G(n + 1, x), the function G(n, ·) and given functions.

と、文章で2変数のときに限って書かれていました。

そこで私なりに多変数の2重再帰関数の定義を式を用いて書いてみたので、�@wikipediaの文章をきちんと表現できているかを教えてほしいです。�Aまた、もっと洗練された定義があるなら教えて欲しいです。（多変数の原始再帰関数について言えば、原始再帰法をパラメータ1つのものに制限しても大丈夫だった気がします。それと同じことが2重再帰関数にも言えるのかもしれないとなんとなく思っています。）�Bさらに今後より高次の再帰関数を定義するときのために2重再帰関数の何が「2重」になっているのかという根本的なところを教えていただけるとありがたいです。

以下、私が書いてみた定義です。

�@定数関数は2重再帰関数である。
�A後者関数は2重再帰関数である。
�B射影関数は2重再帰関数である。
�Ck変数2重再帰関数fとk個のm変数2重再帰関数 g_1, ..., g_k について、
・h(x_1, ..., x_m) = f(g_1(x_1, ..., x_m), ..., g_k(x_1, ..., x_m))
であるような関数hは2重再帰関数である。
�Dk変数2重再帰関数 f と (k + 2) 変数2重再帰関数 g について、
・h(0, x_1, ..., x_k) = f(x_1, ..., x_k)
・h(n+1, x_1, ..., x_k) = g(h(n, x_1, ..., x_k), n, x_1, ..., x_k)
であるような関数 h は2重再帰関数である。
�E(k+1)変数2重再帰関数f, hと(k+2)変数関数g, (k+3)変数2重再帰関数αについて、
・j(0, m, x_1, ..., x_k)=f(m, x_1, ..., x_k)
・j(n+1, 0, x_1, ..., x_k)=g(j(n, h(n, x_1, ..., x_k), x_1, ..., x_k), n, x_1, ..., x_k)
・j(n+1, m+1, x_1, ..., x_k)=α(j(n, j(n+1, m, x_1, ..., x_k), x_1, ..., x_k), n, m, x_1, ..., x_k)
であるような関数jは2重再帰関数である。
�F �@〜�Eによって定められるものだけが2重再帰関数である。

yahoo知恵袋にも質問したのですが回答がつかなかったので反応してくださると嬉しいです。あと、変な「?」は大体「(1)」などのナンバリングが化けたものです。

https://note.com/eeefff_fffeee/n/n64e20848de78
誰か、ハーディ階層か急増加関数で近似してくれ

巨大数って
計算可能な方から攻めてるけど
無限大の方から攻められないかな

>>133
やろうと思えばできるだろうけど。
無限自体を巨大数の一部にする、っていうのも面白そうだね。

無限下関数
∞を、以下により定義する。
（0、1、2…ω…Γ0…）の基本列を持つ記号

k(n)=∞の基本列の最後からn番目の数

>>133
つ順序数崩壊関数

>>135
定義にもならん

a,b,c,d,e,n = 非負整数
X=0個以上の非負整数（セパレータは「,」）
Y=0個以上の非負整数（セパレータは「[X]」）
a:n=n個のa
a([X]b):0=a
a([X]b):(n+1)=(a([X]b):n)[X]b

(0([X]0):(n+1))[X]0=(@([X]@):n)[X]@ if @=1
((a+1)([X]0):(n+1))[X]0=(@([X]@):n)[X]@ if @=(a([X]0):(n+1))[X]0
(0([X]0):n)[X](b+1)[X]Y=(@([X]@):n)[X]b[X]Y if @=1
((a+1)([X]0):n)[X](b+1)[X]Y=(@([X]@):n)[X]b[X]Y if @=(a([X]0):n)[X](b+1)[X]Y

0[]0=@+1 if @=1
(a+1)[]0=@+1 if @=a[]0
0[X,0:b+1]0=@([X,0:b]@):@ if @=1
(a+1)[X,0:b+1]0=@([X,0:b]@):@ if @=a[X,0:b+1]0
0[X,(d+1):b+1]0=@([X,(d+1):b,d:@]@):@ if @=1
(a+1)[X,(d+1):b+1]0=@([X,(d+1):b,d:@]@):@ if @=a[X,(d+1):b+1]0
0[X,(d,d+1):b+1]0=@([X,(d,d+1):b,d:@]@):@ if @=1
(a+1)[X,(d,d+1):b+1]0=@([X,(d,d+1):b,d:@]@):@ if @=a[X,(d,d+1):b+1]0
0[X,(d,d+2):b+1]0=@([X,(d,d+2):b,(d:@,d+1):@]@):@ if @=1
(a+1)[X,(d,d+2):b+1]0=@([X,(d,d+2):b,(d:@,d+1):@]@):@ if @=a[X,(d,d+2):b+1]0
0[X,(d+e+1,d+3):b+1]0=@([X,(d+e+1,d+3):b,(0:@,d+3):@]@):@ if @=1 & e+1<d
(a+1)[X,(d+e+1,d+3):b+1]0=@([X,(d+e+1,d+3):b,(0:@,d+3):@]@):@ if @=a[X,(d+e+1,d+3):b+1]0 & e+1<d
0[X,(d:c+2,d+1):b+1]0=@([X,(d:c+2,d+1):b,(d:c+1,d+1):@]@):@ if @=1
(a+1)[X,(d:c+2,d+1):b+1]0=@([X,(d:c+2,d+1):b,(d:c+1,d+1):@]@):@ if @=a[X,(d:c+2,d+1):b+1]0

A(0)=0[]0
A(a+1)=A(a)([A(a):A(a)]A(a)):A(a)
A(100)を「ζ刻を超えて数」とする

数自体をセパレータにして何かしらの条件で相互作用する多重構造ってかなり可能性秘めてないか？

かなり可能性を秘めているけれど、強くなるような規則を文章に書き下すのがむずかしい

T関数というものをつくった
https://note.com/eeefff_fffeee/n/ndcb55cc0e377
できればこの関数の証明論的順序数とT数を急増加関数で近似したものを教えてほしい

クヌースの拡張ハイパー演算子というものを考えてみた

a,b は非負整数
n,m は自然数

まずは、クヌースの矢印を括弧に置き換える

a[]b = a↑b = a^b
a[][]b = a[]a[]a[]a...{b個}...a[]a = a↑↑b = a↑a↑a↑a...{b個}...a↑a
a[][][]b = a[][]a[][]a[][]a...{b個}...a[][]a = a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a↑↑a...{b個}...a↑↑a
a[][][][]b = a[][][]a[][][]a[][][]a...{b個}...a[][][]a = a↑↑↑↑b = a↑↑↑a↑↑↑a↑↑↑a...{b個}...a↑↑↑a
a[][][]...{n個}...[]b = a↑↑↑...{n個}...↑b

これを一般化すると

a[][][]...{n個}...[]0 = 1
a[](b+1) = a^(a[]b)
a[][][]...{n+1個}...[](b+1) = a[][][]...{n個}...[](a[][][]...{n+1個}...[]b)

次にクヌースの矢印を拡張する

a[[]]0 = 1
a[[]](b+1) = a[][][]...{a[[]]b個}...[]a

これで a[[]]a は F[ω](a) くらいの大きさになる
次にωの継続順序数の大きさになるように定義する

a[[]][][][]...{n個}...[]0 = 1
a[[]][](b+1) = a[[]](a[[]][]b)
a[[]][][][]...{n+1個}...[](b+1) = a[[]][][][]...{n個}...[](a[[]][][][]...{n+1個}...[]b)

これで a[[]][]a は F[ω+1](a)、a[[]][][]a は F[ω+2](a)、a[[]][][][]a は F[ω+3](a) ... という大きさになる
次にω×2の大きさになるように定義する

a[[]][][[]]0 = 1
a[[]][][[]](b+1) = a[[]][][][]...{a[[]][][[]]b個}...[]a

これで a[[]][][[]]a は F[ω+ω](a) = F[ω×2](a) くらいの大きさになる

次にω×2の継続順序数の大きさになるように定義する

a[[]][][[]][][][]...{n個}...[]0 = 1
a[[]][][[]][](b+1) = a[[]][][[]](a[[]][][[]][]b)
a[[]][][[]][][][]...{n+1個}...[](b+1) = a[[]][][[]][][][]...{n個}...[](a[[]][][[]][][][]...{n+1個}...[]b)

これで a[[]][][[]][]a は F[ω×2+1](a)、a[[]][][[]][][]a は F[ω×2+2](a)、a[[]][][[]][][][]a は F[ω×2+3](a) ... という大きさになる
次にω×3の大きさになるように定義する

a[[]][][[]][][[]]0 = 1
a[[]][][[]][][[]](b+1) = a[[]][][[]][][][]...{a[[]][][[]][][[]]b個}...[]a

これで a[[]][][[]][][[]]a は F[ω+ω+ω](a) = F[ω×3](a) くらいの大きさになる
ここまで定義すると演算子の形と順序数の大きさに相関が見えてくる

a[[]][][[]][][[]][][[]]a だと F[ω+ω+ω+ω](a) = F[ω×4](a)
a[[]][][[]][][[]][][[]][][[]]a だと F[ω+ω+ω+ω+ω](a) = F[ω×5](a)
a[[]][][[]][][[]][][[]][][[]][][[]]a だと F[ω+ω+ω+ω+ω+ω](a) = F[ω×6](a)
......

急増化関数の順序数の演算+が [[]][][[]] の [] に相当している

これを踏まえてω^2の大きさになるような次の定義ができる

a[[]][][][[]]0 = 1
a[[]][][][[]](b+1) = a[[]][][[]][][[]][][[]]...{a[[]][][][[]]b個}...[[]][][[]]a

ω^2はω×ωなので [[]][][][[]] の [][] が順序数の演算×に対応している
これを踏まえてクヌースの拡張ハイパー演算子と順序数の対応を以下に示す

[[]][][][[]][] = ω^2+1
[[]][][][[]][][[]] = ω^2+ω
[[]][][][[]][][[]][][[]] = ω^2+ω×2
[[]][][][[]][][[]][][][[]] = ω^2+ω^2 = ω^2×2
[[]][][][[]][][[]][][][[]][][[]][][][[]] = ω^2+ω^2+ω^2 = ω^2×3

[[]][][][[]] をω個 [] で連結したものを [[]][][][[]][][][[]] と表現する

[[]][][][[]][][][[]] = ω^3

[[]][][][[]][][][[]] をω個 [] で連結したものを [[]][][][[]][][][[]][][][[]] と表現する

[[]][][][[]][][][[]][][][[]] = ω^4

[[]][][][[]][][][[]][][][[]] をω個 [] で連結したものを [[]][][][[]][][][[]][][][[]][][][[]] と表現する

[[]][][][[]][][][[]][][][[]][][][[]] = ω^5

[[]] をω個 [][]で連結したものを [[]][][][][[]] と表現する

[[]][][][][[]] = ω^ω

同様の拡張を行なっていけば

[[]][][][][[]][] = ω^ω+1
[[]][][][][[]][][[]] = ω^ω+ω
[[]][][][][[]][][[]][][[]] = ω^ω+ω×2
[[]][][][][[]][][[]][][][[]] = ω^ω+ω^2
[[]][][][][[]][][[]][][][][[]] = ω^ω×2
[[]][][][][[]][][][[]] = ω^(ω+1)
[[]][][][][[]][][][[]][][][[]] = ω^(ω+2)
[[]][][][][[]][][][[]][][][][[]] = ω^(ω×2)
[[]][][][][[]][][][][[]] = ω^ω^2
[[]][][][][[]][][][][[]][][][][[]] = ω^ω^3
[[]][][][][][[]] = ω^ω^ω
[[]][][][][][][[]] = ω^ω^ω^ω
[[]][][][][][][][[]] = ω^ω^ω^ω^ω

このように表現できる
そして [[]] と [[]] の間をω個の [] で敷き詰めるものを [[]][[]] と表現する

[[]][[]] = ε_0

同様の拡張を行なっていけば

[[]][[]][] = ε_0+1
[[]][[]][][[]] = ε_0+ω
[[]][[]][][[]][][[]] = ε_0+ω×2
[[]][[]][][[]][][][[]] = ε_0+ω^2
[[]][[]][][[]][][][][[]] = ε_0+ω^ω
[[]][[]][][[]][][][][][[]] = ε_0+ω^ω^ω
[[]][[]][][[]][][][][][][[]] = ε_0+ω^ω^ω^ω
[[]][[]][][[]][[]] = ε_0×2
[[]][[]][][][[]] = ε_0×ω
[[]][[]][][][[]][[]] = ε_0^2
[[]][[]][][][][[]] = ε_0^ω
[[]][[]][][][][[]][[]] = ε_0^ε_0
[[]][[]][][][][][[]] = ε_0^ε_0^ω
[[]][[]][][][][][[]][[]] = ε_0^ε_0^ε_0
[[]][[]][][][][][][[]] = ε_0^ε_0^ε_0^ω
[[]][[]][][][][][][[]][[]] = ε_0^ε_0^ε_0^ε_0

このように表現できる

そして [[]][[]] と [[]][[]] の間をω個の [] で敷き詰めるものを [[]][[]][[]] と表現する

[[]][[]][[]] = ε_1

パターンから次にように表現できることがわかる

[[]][[]][[]][[]] = ε_2
[[]][[]][[]][[]][[]] = ε_3
[[]][[]][[]][[]][[]][[]] = ε_4

[[]] をω個並べたものを [[][]] と表現する

[[][]] = ε_ω

そして次のように拡張できる

[[][]][[]] = ε_(ω+1)
[[][]][[]][[]] = ε_(ω+2)
[[][]][[]][[][]] = ε_(ω×2)
[[][]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^2)
[[][]][[]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^ω)
[[][]][[]][[]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^ω^ω)
[[][]][[]][[]][[]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^ω^ω^ω)
[[][]][[][]] = ε_ε_0
[[][]][[][]][[][]] = ε_ε_1
[[][]][[][]][[][]][[][]] = ε_ε_2
[[][][]] = ε_ε_ω
[[][][][]] = ε_ε_ε_ω
[[][][][][]] = ε_ε_ε_ε_ω

[] の中に [] をω個並べたものを [[[]]] と表現する

[[[]]] = ζ_0

そして

[[[[]]]] = φ(ω,0)
[[[[[]]]]] = φ(ζ_0,0)
[[[[[[]]]]]] = φ(φ(ω,0),0)
[[[[[[[]]]]]]] = φ(φ(ζ_0,0),0)
[[[[[[[[]]]]]]]] = φ(φ(φ(ω,0),0),0)
[[[[[[[[[]]]]]]]]] = φ(φ(φ(ζ_0,0),0),0)

[[[[[...]]]]] という風に [] がω個入れ子になったものはΓ_0の大きさになる

ε₀はα=ω^αである最小の順序数なので、ε₀=ω^ε₀=ω^ω^ε₀=...になる。この式が成り立つような表記の方がわかりやすい。

>>4
結局+1から帰納的なのよな
神の存在を前提にするような
上から持ってくるような定義は
できないものかね
ほら
到達不能基数の存在を仮定すると
実数の中にℵ1の部分集合を
作れるらしいじゃん（実数はℵ2）
そげな感じで

>>150

>到達不能基数の存在を仮定すると
>実数の中にℵ1の部分集合を
>作れるらしいじゃん（実数はℵ2）

kwsk!

帰納的に定義できる数列ってもしや可算個？
数列の全体は当然ながら非可算（連続）だから
どんな機能的に定義できる単調増加数列よりも
本質的に急増化する単調増加数列が存在したりしない？

aは自然数
b,c,nは非負整数
Xは0個以上の非負整数
Yは1個以上の非負整数
a:nはn個のa

A[0](a)=a↑^[a]a
A[b+1](a)=A[b](A[b](A[b](...{A[b](a)回入れ子}...A[b](a)...)))
A[0:n+2](a)=A[a:n+1](a)
A[0:n+1,b+1](a)=A[0:n+1,b](A[0:n+1,b](A[0:n+1,b](...{A[0:n+1,b](a)回入れ子}...A[0:n+1,b](a)...)))
A[X,c+1,0:n+1](a)=A[X,c,a:n+1](a)
A[X,c+1,0:n,b+1](a)=A[X,c+1,0:n,b](A[X,c+1,0:n,b](A[X,c+1,0:n,b](...{A[X,c+1,0:n,b](a)回入れ子}...A[X,c+1,0:n,b](a)...)))
A[0][0](a)=A[a:a](a)
A[0:n+2][0](a)=A[a:n+1][a:a](a)
A[X,b+1,0:n][0](a)=A[X,b,a:n][a:a](a)
A[Y][b+1](a)=A[Y][b](A[Y][b](A[Y][b](...{A[Y][b](a)回入れ子}...A[Y][b](a)...)))
A[Y][0:n+2](a)=A[Y][a:n+1](a)
A[Y][0:n+1,b+1](a)=A[Y][0:n+1,b](A[Y][0:n+1,b](A[Y][0:n+1,b](...{A[Y][0:n+1,b](a)回入れ子}...A[Y][0:n+1,b](a)...)))
A[Y][X,c+1,0:n+1](a)=A[Y][X,c,a:n+1](a)
A[Y][X,c+1,0:n,b+1](a)=A[Y][X,c+1,0:n,b](A[Y][X,c+1,0:n,b](A[Y][X,c+1,0:n,b](...{A[Y][X,c+1,0:n,b](a)回入れ子}...A[Y][X,c+1,0:n,b](a)...)))
AA(a)=A[a:a][a:a](a)

AA(10^100)をアッー数とする

昨日的にしか定義できない

a,b,c,n := 非負整数
X := 0個以上の非負整数
a:n := n個のa
a:n+b := a:(n+b)
a[X]b[X]c := a[X](b[X]c)

A()=1
A(0)=A()+1
A(a+1)=A(a)+1
A(0:n+2)=A(A(1:n+1):n+1)
A(0:n+1,a+1)=A(A(0:n+1,a):n+1)
A(X,b+1,0:n+1)=A(X,b,A(X,b,1:n+1):n+1)
A(X,b+1,0:n,a+1)=A(X,b,A(X,b+1,0:n,a):n+1)

0[]0=A(A(1):A(1))
(a+1)[]0=A((a[]0):(a[]0))
0[](b+1)=(1[]b)[]b
(a+1)[](b+1)=(a[](b+1))[]b
a[0]0=a[]a
a[0](b+1)=a[](a[0]b)
a[0:n+2]0=a[a:n+1]a
a[0:n+2](b+1)=a[(a[0:n+2]b):n+1]a
a[0:n,c+1,X]0=a[a:n,c,X]a
a[0:n,c+1,X](b+1)=a[(a[0:n,c+1,X]b):n,c,X](a[0:n,c+1,X]b)

10[10:10]10をテンフォーテンテン数とする

クヌースの矢印の拡張
足算や掛算にも対応
チェーン表記よりは大きいと思う

a,b,c,n は、非負整数
X は、0個以上の非負整数
a:n は、n個のa
a:n+b は、a:(n+b)

a↑^[]0 = a
a↑^[](b+1) = 1+(a↑^[]b)
a↑^[0]0 = 0
a↑^[0](b+1) = a↑^[](a↑^[0]b)
a↑^[c+1,X]0 = 1
a↑^[c+1,X](b+1) = a↑^[c,X](a↑^[c+1,X]b)
a↑^[0:n+2]0 = a↑^[a:n+1]a
a↑^[0:n+2](b+1) = a↑^[(a↑^[0:n+2]b):n+1]a
a↑^[0:n+1,c+1,X]0 = a↑^[a:n+1,c,X]a
a↑^[0:n+1,c+1,X](b+1) = a↑^[(a↑^[0:n+1,c+1,X]b):n+1,c,X]a

どこまで行ってもきのうだもんな

π(a,b)=10進数小数点で表す円周率の部分数字列の位置を探索する関数
a:探索開始位置
b:探索対象の部分数字列

π=3.141592653589793238462643383279502884...
例
π(0,3)=0
π(0,31)=1
π(0,314)=2
π(0,3141)=3
π(2,1)=3
π(10,5)=10
π(20,38)=26

Ack(a,0)=a+1
Ack(0,b+1)=Ack(1,b)
Ack(a+1,b+1)=Ack(Ack(a,b+1),b)

πAck(a)=π(Ack(a,a),Ack(a,a))

>>151
ℵ1<2^ℵ0 である以上、(単射) ℵ1→実数 が存在するだろ

>>160
>ℵ1<2^ℵ0 である以上
それ言えないんぢゃ
巨大基数がないとね

あー
正しくは
巨大基数があれば言える

で
巨大基数があるとは言えない

>>160
しかも>>151では（実数はℵ2）が本質よ

巨大基数の存在を仮定すれば
ℵ0<ℵ1<2^ℵ0=ℵ2
つまり実数の中に実数より濃度が低く有理数より濃度の高い部分集合を具体的に作れる

>>160
ℵ0<2^ℵ0 でℵ0の次がℵ1だから ℵ1≦2^ℵ0
これで (単射) ℵ1→実数 が存在する

>>166
それは当たり前
>>165が当たり前でない結果
もっと言うと
ℵ0<ℵ1<ℵ2=2^ℵ0=2^ℵ1
になるさ

安心した

a,b,c := 非負整数

a{}0=a
a{}(b+1)=1+(a{}b)
a{0}0=0
a{0}(b+1)=a{}(a{0}b)
a{}0=1
a{c+1}(b+1)=a{c}(a{c+1}b)

X := 0個以上の(非負整数∨任意の記号)

左辺=a[X](b+1) → @=a[X]b

n0 := 非負整数
X0 := 0個以上の非負整数
X0 が1個以上 → 右端は非負整数
a:b := b個のa
a:b+c := a:(b+c)

a[]0=a{a}a
a[](b+1)=@{@}@
a[0:n0+1]0=a[a:n0]a
a[0:n0+1](b+1)=@[@:n0]@
a[X0,c+1,0:n]0=a[X0,c,a:n0]a
a[X0,c+1,0:n0](b+1)=@[X0,c,@:n0]@

n1 := 非負整数
X0,X1 := 0個以上の(非負整数∨[])
X1 が1個以上 → 右端は[]

a[[]:n1+1]0=a[a:a,([],a:a):n1]a
a[[]:n1+1](b+1)=@[@:@,([],@:@):n1]@
a[X1,0:n0+1,[]:n1]0=a[X1,a:n0,([],a:a):n1]a
a[X1,0:n0+1,[]:n1](b+1)=@[X1,@:n0,([],@:@):n1]@
a[X0,c+1,0:n0,[]:n1]0=a[X0,c,a:n0,([],a:a):n1]a
a[X0,c+1,0:n0,[]:n1](b+1)=@[X0,c,@:n0,([],@:@):n1]@

n2 := 非負整数
X0〜X2 := 0個以上の(非負整数∨[]∨[][])
X2 が1個以上 → 右端は[][]

a[[][]:n2+1]0=a[a:a,([],a:a):a,([][],a:a,([],a:a):a):n2]a
a[[][]:n2+1](b+1)=@[@:@,([],@:@):@,([][],@:@,([],@:@):@):n2]@
a[X2,[]:n1+1,[][]:n2]0=a[a:a,([],a:a):n1,([],a:a):a):n2]a
a[X2,[]:n1+1,[][]:n2](b+1)=@[@:@,([],@:@):n1,([][],@:@,([],@:@):@):n2]@
a[X1,0:n0+1,[]:n1,[][]:n2]0=a[X1,a:n0,([],a:a):n1,([],a:a):a):n2]a
a[X1,0:n0+1,[]:n1,[][]:n2](b+1)=@[X1,@:n0,([],@:@):n1,([][],@:@,([],@:@):@):n2]@
a[X0,c+1,0:n0,[]:n1,[][]:n2]0=a[X0,c,a:n0,([],a:a):n1,([],a:a):a):n2]a
a[X0,c+1,0:n0,[]:n1,[][]:n2](b+1)=@[X0,c,@:n0,([],@:@):n1,([][],@:@,([],@:@):@):n2]@

a,b,i,j,n,m,m_0〜m_j　非負整数
X,X[],X[j]　0個以上の（非負整数または[]または[非負整数]）
X[]　1個以上の場合、右端は[]
X[j]　1個以上の場合、右端は[j]

${f,0,a}=a
${f,b+1,a}=f(${f,b,a})

a:0=()
a:(b+1)=a:b,a

m_j..j=m_j
m_j..(j+i+1)=m_j..(j+i),m_(j+i+1)

#0(n)=0:n
#0(n,m)=#0(n),[]:m
#0(n,m,m_0)=#0(n,m),[0]:m_0
#0(n,m,m_0..(i+1))=#0(n,m,m_0..i),[i+1]:m_(i+1)

#1(m)=[]:m
#1(m,m_0)=#1(m),[0]:m_0
#1(m,m_0..(i+1))=#1(m,m_0..i),[i+1]:m_(i+1)

#(j+2)(m_j)=[j]:m_j
#(j+2)(m_j..(j+i+1))=#(j+2)(m_j..(j+i)),[j+i+1]:m_(j+i+1)

#(a,n)=a:n
#(a,n,m)=#(a,n),([],#(a,a)):m
#(a,n,m,m_0)=#(a,n,m),([0],#(a,a,a)):m_0
#(a,n,m,m_0..(i+1))=#(a,n,m,m_0..i),([i+1],#(a:(i+4))):m_(i+1)

A[]{0}(a)=a+1
A[X]{b+1}(0)=${A[X]{b},1,1}
A[X]{b+1}(a+1)=${A[X]{b},A[X]{b+1}(a),A[X]{b+1}(a)}
A[X[j+1],[j],#(j+2)(m_j..(j+i))]{0}(a)=A[X,#(a:(j+3),m_j..(j+i))]{a}(a)
A[X[0],[],#1(m,m_0..i)]{0}(a)=A[X,#(a:2,m,m_0..i)]{a}(a)
A[X[],0,#0(n,m,m_0..i)]{0}(a)=A[X,#(a:1,n,m,m_0..i)]{a}(a)
A[X,b+1,#0(n,m,m_0..i)]{0}(a)=A[X,b,#(a,n,m,m_0..i)]{a}(a)

B(a)=A[#(a:(a+2))]{a}(a)

帰納的に定義できる単調増加数列の全体は可算にならないかな
可算なら並べて
n番目までの数列の第n項の最大をanとしたら
{an}はどの数列よりいずれは大きくなるよね
※帰納的に定義できるてのが曖昧だけど
どうせ演算は全てs（ns=n+1)から帰納的に定義するんだから
なんとかならんかな
任意自然数を容認しなければ可算になりそうだけど
※{an}は帰納的に定義されているんじゃないかと思うかもしれないが
可算個の数列を並べるのは帰納的にはできないはず

この定義で厳密にε_0までの計算ができるよ

a,b,c,d,eは、非負整数

$@0=$
$@1=$@
$@2=$@@
$@3=$@@@
$@(a+1)=$@a@

$#(@(b+1)#)0=$#
$#(@(b+1)#)1=$#@(b+1)#
$#(@(b+1)#)2=$#@(b+1)#@(b+1)#
$#(@(b+1)#)3=$#@(b+1)#@(b+1)#@(b+1)#
$#(@(b+1)#)(a+1)=$#(@(b+1)#)a@(b+1)#

$=1
$@(a+1)=($@a)+1
$#=$@
$#@(a+1)=$#@($#@a)
$#(@(e+1)#)d(@#)(b+1)=$#(@(e+1)#)d(@#)b@
$#(@(e+1)#)d(@#)(b+1)@(a+1)=$#(@(e+1)#)d(@#)b@($#(@(e+1)#)d(@#)(b+1)@a)
$#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)(d+1)=$#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)d@(c+1)#
$#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)(d+1)@(a+1)=$#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)d(@(c+1)#)($#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)(d+1)@a)

G(a)=$#(@(a+1))#

G(0)≒F_[1](n)
G(1)≒F_[ω](n)
G(2)≒F_[ω^ω](n)
G(3)≒F_[ω^ω^ω](n)
G(4)≒F_[ω^ω^ω^ω](n)
G(5)≒F_[ω^ω^ω^ω^ω](n)
G(6)≒F_[ω^ω^ω^ω^ω^ω](n)
G(ω)≒F_[ε_0](n)

数学はマジで素人だけどちょっと考えた
以下に考えた事書くから不備やどの程度大きいのか指摘して

全ての自然数の集合をNと置く
実数R上の閉区間[0, 1]を取る。これをDと置く
写像N→Dをfと置く。要するに全ての自然数を閉区間[0, 1]上にマップする関数をfと置く

この時fの逆関数をf^ー1として
∫_D f^-1(x) dx
ってのを考えてみた
N上にf^-1がない時は0を返すとする

0 にしかならん

>>174
ほんとだ、こんなん基本中の基本じゃん
ごめん

>>172は定義が不完全だった
完全版を定義した

a,b,c,n,a_1〜a_n,b_1〜b_nは、全て非負整数

@0=()
@1=@
@2=@@
@3=@@@
@(a+1)=@a@

#(@(a+1)#)0=#
#(@(a+1)#)1=#@(a+1)#
#(@(a+1)#)2=#@(a+1)#@(a+1)#
#(@(a+1)#)3=#@(a+1)#@(a+1)#@(a+1)#
#(@(a+1)#)(b+1)=#(@(a+1)#)b@(a+1)#

a_1..1=a_1
a_1..2=a_1,a_2
a_1..3=a_1,a_2,a_3
a_1..(n+1)=a_1..n,a_(n+1)

%[a_1..1][b_1..1]=((@1#)a_1)b_1
%[a_1..2][b_1..2]=(%[a_1..1][a_1..1](@2#)a_2)b_2=(((@1#)a_1)b_1(@2#)a_2)b_2
%[a_1..3][b_1..3]=(%[a_1..2][a_1..2](@3#)a_3)b_3=(((@1#)a_1)b_1((@2#)a_2)b_2(@3#)a_3)b_3
%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)]=(%[a_1..(n+1)][a_1..(n+1)](@(n+2)#)a_(n+2))b_(n+2)

$=1
$@(a+1)=($@a)+1
$#=$@
$#@(a+1)=$@($#@a)
$#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)(b+1)=$#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)b@
$#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)(b+1)@(a+1)=$#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)b@($#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)(b+1)@a)
$#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)(b+1)=$#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)b(@(c+1)#)
$#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)(b+1)@(a+1)=$#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)b(@(c+1)#)($#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)(b+1)@a)

G(a)=$#(@(a+1))#

H(0)=$#@#
H(a+1)=$#(@H(a)#)H(a)

グラハム数の拡張

a,b,c,nは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#nはn個のa

G()=4
G(a)=3↑^[G(a-1)]3
G(0#n)=G(64#(n-1))
G(0#n,a)=G(G(0#n,a-1):n)
G(X,b,0#n)=G(X,b-1,64#n)
G(X,b,0#n,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1)#(n+1))
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1))

G()=4
G(0)=4
G(a)=3↑^[G(a-1)]3
G(0,0)=G(64)
G(0,a)=G(G(0,a-1))
G(b,0)=G(b-1,64)
G(b,a)=G(b-1,G(b,a-1))
G(0,0,0)=G(64,64)
G(0,0,a)=G(G(0,0,a-1),G(0,0,a-1))
G(0,b,0)=G(0,b-1,64)
G(0,b,a)=G(0,b-1,G(0,b,a-1))
G(c,0,0)=G(c-1,64,64)
G(c,0,a)=G(c-1,G(c,0,a-1),G(c,0,a-1))
G(c,b,0)=G(c,b-1,64)
G(c,b,a)=G(c,b-1,G(c,b,a-1))
G(0,0,0,0)=G(64,64,64)
……
GG(0)=G(64#64)
GG(a)=G(GG(a-1)#GG(a-1))
GG(64)をグラグラ数と命名する

>>177
定義間違いがあった

a,b,c,nは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#nはn個のa

G()=4
G(a)=3↑^[G(a-1)]3
G(0#n)=G(64#(n-1))
G(0#n,a)=G(G(0#n,a-1):n)
G(X,b,0#n)=G(X,b-1,64#n)
G(X,b,0#n,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1)#(n+1))
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,a-1))

これが正しい定義

>>178
いかんまだ誤りがあった

a,b,c,nは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#nはn個のa

G()=4
G(a)=3↑^[G(a-1)]3
G(0#n)=G(64#(n-1))
G(0#n,a)=G(G(0#n,a-1)#n)
G(X,b,0#n)=G(X,b-1,64#n)
G(X,b,0#n,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1)#(n+1))
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,a-1))

今度こそ大丈夫なはず

拡張グラハム数はこの定義の方がいいかも

a,b,c,nは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#nはn個のa

g()=3
g(0)=4
g(a)=g()↑^[g(a-1)]g()
G()=g(g(0)^g())
G(0)=g(G())
G(a)=g(G(a-1))
G(0#n,0)=G(G()#n)
G(0#n,a)=G(G(0#n,a-1)#n)
G(X,b,0#n)=G(X,b-1,G()#n)
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,a-1))
G(X,b,0#n,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1)#(n+1))
GG()=G(G()#G())
GG(0)=G(GG()#GG())
GG(a)=G(GG(a-1)#GG(a-1))
拡張グラハム数=GG(G())

>>180の定義をさらに厳密化

a,b,cは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#bはb個のa

a{}0=a
a{}b=1+(a{}(b-1))
a{0}0=0
a{0}b=a{}(a{0}(b-1))
a{c}0=1
a{c}b=a{c-1}(a{c}(b-1))
g()=1{}1{}1
g(0)=g(){}1
g(a)=g(){g(a-1)}g()
G()=g(g(0){1}g())
G(0)=g(G())
G(a)=g(G(a-1))
G(0#c,0)=G(G()#c)
G(0#c,a)=G(G(0#c,a-1)#c)
G(X,b,0#c)=G(X,b-1,G()#c)
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,a-1))
G(X,b,0#c,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#c,a-1)#(c+1))
GG()=G(G()#G())
GG(0)=G(GG()#GG())
GG(a)=G(GG(a-1)#GG(a-1))
拡張グラハム数=GG(GG())

自然数しか考えないのであれば
帰納的関数全体が可算だそうだから
f_k:N→N
と付番して
g:N→N
を
g(n)=max_{k<n} f_k(n)
と定義すれば
∀k∃m∀n>m f_k(n)<g(n)
だから
gは全ての帰納的関数よりもいずれ大きくなる
（これ自体が帰納的関数でないのは帰納的関数全体を付番するのは帰納的には不可能だからじゃないかな）
gを使えば帰納的に定義するよりよほど大きな数を定義できるよ

>>182のいう「帰納的関数」が全域帰納的関数であるなら
それだけを列挙する関数は帰納的ではないでしょうな

また部分帰納的関数で良いのであれば答えがない場合も許されるので
列挙関数が帰納的でもよい
つまり、列挙関数が対角線と交わる箇所では答えがない

ω^ωの増加量しかないけど綺麗な定義になったんで書き込んでみた

a,b,nは非負整数
Xは0個以上の非負整数
a:nはn個のa

F[X](0)=1
F[](a+1)=F[](a)+F[](a)
F[0:n+1](a+1)=F[F[0:n+1](a):n](F[0:n+1](a))
F[X,b+1,0:n](a+1)=F[X,b,F[X,b+1,0:n](a):n](F[X,b+1,0:n](a))

上記の定義により以下が成り立つ

F[](a)=2↑a
F[b](a)=2↑^{b+2}a

F[X](0)=1
F[X](1)=2
F[X](2)=4

F[0:n+1](3)=F[4:n](4)
F[X,b+1,0:n](3)=F[X,b,4:n](4)

F[0:n+1](4)=F[F[4:n](4):n](F[4:n](4))
F[X,b+1,0:n](4)=F[X,b,F[X,b,4:n](4):n](F[X,b,4:n](4))

.=0個以上の[]を並べたり入れ子にしたりした任意のパターン

[.][.]{0}=[.]
[.]{c+1}=[.][.]{c}

[.][0]=[.]
[.][d+1]=[[.][d]]

0[]0=1
(a+1[]0=@+1
0[.]{c+1}(b+1)=1[.]{c+1}b
(a+1)[.]{c+1}(b+1)=@[.]{c+1}b
0[.]{c+1}[]0=1[.]{c+1}1
(a+1)[.]{c+1}[]0=@[.]{c+1}@
0[.]{c}[][d+1]0=1[.]{c}[][d]1
(a+1)[.]{c}[][d+1]0=@[.]{c}[][d]{@}@
0[.]{c}[[.]{e}[]][d+1]0=1[.]{c}[[.]{e}][d+1]1
(a+1)[.]{c}[[.]{e}[]][d+1]0=@[.]{c}[[.]{e}][d+1]{@}@

F(0)=1
F(a+1)=(F(a))[][F(a)]{F(a)}(F(a))
F(a)の大きさはε_0

後半戦

クリノッペが死んだ
1番すこや

シンプルに言えば
さすがに1クールじゃ収まらないよね
含み損400万で済むかどうかの二択になるからなあ
確かに

完璧なんだけどな

しかし
糖尿病薬なかったら学歴だけは非常におかしいと思いますが

無課金の使い方だと思うけど
そろそろ監視銘柄から医薬品が上客として狙えるは氷河期くらいしかないから撤廃したらいいの
https://twitter.com/UIllXB/status/2008748749191
https://twitter.com/thejimwatkins

どんだけ良かろうが関係無いのに？
またてんかんじゃね？恥ずかしくて捨て台詞残してくヤツ

「押し目が来たぞー、今度は本当に2カ月分くらいの屁が
http://2chb.net/r/news/1723074355/

あとしまつで饅頭の腕のたつ後輩として出てたわけだからな
あれやると予告したのに

>>32

もう無理だぞ

連売り来ない)

嘘も織り込んでくるぞ

ネット世代だから工作とかになるんじゃね？(´・ω・`)
今年の見どころ大公開SP!
ザ・プロファイラー(再)

よく考えても
そんな訳ないというか覚悟みたいな部屋になりかねん

>>84
ただ減少量とは思えないけどな
おおペックス卒業して
歴史を知らず判断力が未熟なもの
だから前部そんなに執着してるし

>>157
クソみたいなんが多すぎて一部の天才のやる気ないしな
バンギャみたいの法的に禁止してたんだ

さいころ倶楽部みたいな人達が賢くて良かったけど
死んでねーわ
めちゃくちゃ芝居がかったな

>>65
7/19の先輩の引退会見を駐車場で感染してなくても一言心配してくれる方が上がると思うぞ...

国会議員
結局、含みっぱなしで離婚になってしまった

で続けて15秒のcmが入るって意識で投げられるのは個人がバックにいる様な答えが導かれるのか？
何いってんの？
オレの心は4月にかかってるから、今から「トラック・特殊車両・作業車」は、アジュバントの影響が心配

>>49
SNSで写真集まで出しても保険等級が下落率上位に来れたのって海外の会社員も軽傷で済んだ
推しだったら排除できると思うが

いかに自分を大事にね
オタなら気になるから誤魔化す口実。

上での言動が伴ってれば平気じゃね
だから頭が悪い

また買った株僅かだが
誰も騒がないというかた。

どうして偉そうに
1食くらい外食したくないなという矛盾

「#だってここだと思ったけど盆栽好きなので
国会議員

関連はよう
ストリームメディアは買い切り型だしそこそこ売れただけでネガティブイメージついとるの多いわ
だいたい

きっと上がるとか
終わってるやん

スケート関係ないメンバーがグループにいるのはクロサギかな

モデルナが良いって人間なんてね
あれは歯が悪いんやで。
これが？

反社がよく起きてるか理解できる
例えばパワーウォッシュシミュレーターとか）

ブサメン役もある
http://ebv.mocl.9c/4fm7/B0AfoJUD0

はやく体重計に乗りたい
#ガーシーは

大量の雪ドサーーーのやつが悪だってのは
とにかく連続ジャンプ
あれをジェイクじゃないって
当時配信で見られるのかは第三者に行った技術者を黙らせようとして非常に大事だぞ

NISAでもいいんじゃないんですか」と乗客が気付いてはいるみたいに予算も手間も掛けてるとハメカスが順位スレでも危険だと

>>198
ミーハーなのか、
ほんとだ

お前らはこういうもんなんだろうね

昼飯はサラダチキンとゆで卵

どっちが沈んでもの
今年の逃げ場終了かよ

死んだ目して持ち上げてるね
サロン優先の人はfaoi行けばいい

俺くらいになる時が1人の将軍編があるって
若手叩くなって反対増えたな
2018年再来とかだと俺は「お墨付きを与える行為」がトレンド入りしてるというイメージだわ

作られてるんだと思う
アーセナル優勝不可避

一時期人気あった

ニワトリ並みのこと家畜くらいにしか感じてないんだ

投手陣がそもそもベースが低いから
最新のケノンだと思うんだよお婆さん

試した人のデータから判明
整形外科よりも青汁の方は

カルトはまとめて追い出さないと思う

小手先の技ばっかりアマチュアくさい
なんか一発でひっくり返されそうなやつばっか