さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね454
http://2chb.net/r/math/1562421561/
(使用済です: 478)
※前スレ
http://2chb.net/r/math/1566136007/
前スレ
分からない問題はここに書いてね454
http://2chb.net/r/math/1562421561/
(使用済です: 478)
※前スレ
http://2chb.net/r/math/1566136007/
＞つまり0.9999…=1－(0.1)^n
＞ですから、n→∞で∞の値を１つ値に確定したら確定できます。
0.999...の時点で、確定したものを考えることはできないということですか？
無限大や無限小の具体的なもの一つ決めれば確定できないとおかしいと思いますけど
xなんですよね？
xの具体例一つあげたらそのxは確定しますよね？
＞ですから、n→∞で∞の値を１つ値に確定したら確定できます。
0.999...の時点で、確定したものを考えることはできないということですか？
無限大や無限小の具体的なもの一つ決めれば確定できないとおかしいと思いますけど
xなんですよね？
xの具体例一つあげたらそのxは確定しますよね？
相手してるのも劣等感とかいうネームドガイジだよね？
スレ立ててもらったんだからそっち行ってよ
スレ立ててもらったんだからそっち行ってよ
すでに456出来てるのに何でつくった？
そして、
0.999…＝1か！？無限小数激論スレ★1
http://2chb.net/r/math/1567858947/
あるんだから、そっち行けよ。
そして、
0.999…＝1か！？無限小数激論スレ★1
http://2chb.net/r/math/1567858947/
あるんだから、そっち行けよ。
分からない問題はここに書いてね455の>>991の訂正
ガウス関数を持ち出して無限小はないと勘違いしてる人へ
× と定義したなら、これはnとn以下の自然数でしか成りたちません。
あなたはどの自然数でも成り立つと勘違いしてるのです。
n以上の自然数では成りたちません。
あなたはn以上の自然数を持ち出して矛盾だといってるのです。
○ n以上の正整数で成り立つ場合もありますが、1/10^m ＜ aとなる正整数を持ち出してくれば矛盾するのは当たり前です。
あなたはあらゆる正整数で成り立つと勘違いしてますが、成り立たない正整数を出してきて矛盾だと言ってるに過ぎません。
もしあなたが自分の間違いに気付いても、あなたは絶対に認めないことは分かってますが。
こういう人議論しても時間と労力の無駄です。
もうここには来ません。
ガウス関数を持ち出して無限小はないと勘違いしてる人へ
× と定義したなら、これはnとn以下の自然数でしか成りたちません。
あなたはどの自然数でも成り立つと勘違いしてるのです。
n以上の自然数では成りたちません。
あなたはn以上の自然数を持ち出して矛盾だといってるのです。
○ n以上の正整数で成り立つ場合もありますが、1/10^m ＜ aとなる正整数を持ち出してくれば矛盾するのは当たり前です。
あなたはあらゆる正整数で成り立つと勘違いしてますが、成り立たない正整数を出してきて矛盾だと言ってるに過ぎません。
もしあなたが自分の間違いに気付いても、あなたは絶対に認めないことは分かってますが。
こういう人議論しても時間と労力の無駄です。
もうここには来ません。
xx+yy=1…①
xx-8x+yy+12=0…②
の共通接線Lを求めよという問題で
各円の中心を出してから、
L:2ax+2by+c=0…③
とおいて点と直線の距離の公式を使えば解けるのはわかるのですが、式変形でやってみようと思い
①−③で整理して、
(x-a)^2+(y-b)^2=aa+bb+c+1=D、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、D=0かつ、点(a,b)がLの上にあればよい、
同様に②-③で、
(x-a-4)^2+(y-b)^2=c-12+(a+4)^2+b^2=E、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、E=0かつ、点(a+4,b)がLの上にあればよい、
となって、y=bでLが2通りのx座標を取るので、Lは傾き無限のy軸に並行な直線、となってしまったのですが、図を書けばこれは誤りです
とんでもないアホすぎミスをしてると思うのですが私の実力ではどこでミスしたのか分からないのでここの達人方お願いいたします
xx-8x+yy+12=0…②
の共通接線Lを求めよという問題で
各円の中心を出してから、
L:2ax+2by+c=0…③
とおいて点と直線の距離の公式を使えば解けるのはわかるのですが、式変形でやってみようと思い
①−③で整理して、
(x-a)^2+(y-b)^2=aa+bb+c+1=D、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、D=0かつ、点(a,b)がLの上にあればよい、
同様に②-③で、
(x-a-4)^2+(y-b)^2=c-12+(a+4)^2+b^2=E、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、E=0かつ、点(a+4,b)がLの上にあればよい、
となって、y=bでLが2通りのx座標を取るので、Lは傾き無限のy軸に並行な直線、となってしまったのですが、図を書けばこれは誤りです
とんでもないアホすぎミスをしてると思うのですが私の実力ではどこでミスしたのか分からないのでここの達人方お願いいたします
>>5
＞つまり0.9999…=1－(0.1)^n
＞ですから、n→∞で∞の値を１つ値に確定したら確定できます。
0.999...の時点で、確定したものを考えることはできないということですか？
無限大や無限小の具体的なもの一つ決めれば確定できないとおかしいと思いますけど
xなんですよね？
xの具体例一つあげたらそのxは確定しますよね？
＞つまり0.9999…=1－(0.1)^n
＞ですから、n→∞で∞の値を１つ値に確定したら確定できます。
0.999...の時点で、確定したものを考えることはできないということですか？
無限大や無限小の具体的なもの一つ決めれば確定できないとおかしいと思いますけど
xなんですよね？
xの具体例一つあげたらそのxは確定しますよね？
告 示
分かスレ455の次スレと認められているのは
http://2chb.net/r/math/1567866548/
です。
[前スレ.960] 2019/09/07(土) 23:29:22.15 認知
このスレは私生児スレになり、第三者に対抗することができません。。。(民177条)
分かスレ455の次スレと認められているのは
http://2chb.net/r/math/1567866548/
です。
[前スレ.960] 2019/09/07(土) 23:29:22.15 認知
このスレは私生児スレになり、第三者に対抗することができません。。。(民177条)
>>6
>①－③
何それ？
①③の共有点→①ｰ③の解
だけど
①ｰ③の解→①③の共有点
は正しくないので
①③の共有点の個数
と
①ｰ③の解の個数
は一致しない
分かりやすく言えば
y=xかつ2y=3x
なら
y=2x
だけど
y=2x
だからといって
y=xかつ2y=3x
にはならないし
y=xかつ2y=3xの解の個数は1で
y=2xの解の個数は∞
>①－③
何それ？
①③の共有点→①ｰ③の解
だけど
①ｰ③の解→①③の共有点
は正しくないので
①③の共有点の個数
と
①ｰ③の解の個数
は一致しない
分かりやすく言えば
y=xかつ2y=3x
なら
y=2x
だけど
y=2x
だからといって
y=xかつ2y=3x
にはならないし
y=xかつ2y=3xの解の個数は1で
y=2xの解の個数は∞
>>6
こうやればいんじゃね？
(1)の円周上の点(a,b)を通る接線の方程式は、傾きが(-b/a)より
y=-(ax-1)/b ただし、b≠0 (したがってa≠-1,1)
これを(2)の円の方程式に代入して両辺をbb倍して、整理すると
(a^2+b^2)x^2-(8b^2+2a)x+12b^2+1=0
(a,b)が(1)の円周上にあることから、a^2+b^2=1よりb^2を消去すると、
x^2 + 2(4a^2-a-4)x + 13-12a^2 =0 という２次方程式になるので、
これが重解を持つ条件は
判別式 D/4 = (4a^2-a-4)^2 - (13-12a^2) = 16a^4-8a^3-19a^2+8a+3 =0
a=+/- 1を代入すると0になることからこの4次方程式は因数分解できて
(a-1)(a+1)(4a-3)(4a+1) =0
a≠-1,1 だったので、a=-1/4, 3/4。
よって、求める接線の方程式は y =-(ax-1)/b の a,b にそれぞれ
(-1/4,±√15/4)と (3/4,±√7/4)を代入した４本。
こうやればいんじゃね？
(1)の円周上の点(a,b)を通る接線の方程式は、傾きが(-b/a)より
y=-(ax-1)/b ただし、b≠0 (したがってa≠-1,1)
これを(2)の円の方程式に代入して両辺をbb倍して、整理すると
(a^2+b^2)x^2-(8b^2+2a)x+12b^2+1=0
(a,b)が(1)の円周上にあることから、a^2+b^2=1よりb^2を消去すると、
x^2 + 2(4a^2-a-4)x + 13-12a^2 =0 という２次方程式になるので、
これが重解を持つ条件は
判別式 D/4 = (4a^2-a-4)^2 - (13-12a^2) = 16a^4-8a^3-19a^2+8a+3 =0
a=+/- 1を代入すると0になることからこの4次方程式は因数分解できて
(a-1)(a+1)(4a-3)(4a+1) =0
a≠-1,1 だったので、a=-1/4, 3/4。
よって、求める接線の方程式は y =-(ax-1)/b の a,b にそれぞれ
(-1/4,±√15/4)と (3/4,±√7/4)を代入した４本。
wikipediaの環の局所化のページに、
「環準同型 R → S^-1R が単射である必要十分条件は S が零因子を含まないことである。」
と書かれていますがこれは明らかに成り立ちませんよね？
これはどういう主張の書き間違えなのでしょうか？(それともただの間違い？)
「環準同型 R → S^-1R が単射である必要十分条件は S が零因子を含まないことである。」
と書かれていますがこれは明らかに成り立ちませんよね？
これはどういう主張の書き間違えなのでしょうか？(それともただの間違い？)
数検の問題集を読んでいます。
1 / cos(x) の x = 0 でのテイラー展開を x^8 の項まで計算せよ
という問題の解答ですが、 1 / cos(x) は偶関数だから、
1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …
とおき、
cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …
との積が 1 になるように漸化式を作ると、
1/ cos(x) = 1 + (1/2)*x^2 + 5/24*x^4 + (61/720)*x^6 + (277/8064)*x^8 + …
1 / cos(x) の x = 0 でのテイラー展開を x^8 の項まで計算せよ
という問題の解答ですが、 1 / cos(x) は偶関数だから、
1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …
とおき、
cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …
との積が 1 になるように漸化式を作ると、
1/ cos(x) = 1 + (1/2)*x^2 + 5/24*x^4 + (61/720)*x^6 + (277/8064)*x^8 + …
Σ a_n
Σ b_n
がともに絶対収束ならば、
コーシー積 Σ c_n
も絶対収束して
Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n
cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …
は (-∞, +∞) で絶対収束する。
1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …
はその収束半径を R とすると、 (-R, R) で絶対収束する。
↑の命題により、
x ∈ (-R, R) のとき、
a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + …
は絶対収束して、
a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + … = cos(x) * (1/cos(x)) = 1
が成り立つ。
x = 0 を代入すると、
a_0 = 1
両辺を2回微分すると、
2! * ((-1/2)*a_0 + a_1) + … = 0
x = 0 を代入すると、
a_1 = 1/2
…
というように、 a_0, a_1, … を決定できる。
なので、そもそも、
1 / cos(x)
がテイラー展開できるのか？
ということに答えなければならないはずです。
Σ b_n
がともに絶対収束ならば、
コーシー積 Σ c_n
も絶対収束して
Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n
cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …
は (-∞, +∞) で絶対収束する。
1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …
はその収束半径を R とすると、 (-R, R) で絶対収束する。
↑の命題により、
x ∈ (-R, R) のとき、
a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + …
は絶対収束して、
a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + … = cos(x) * (1/cos(x)) = 1
が成り立つ。
x = 0 を代入すると、
a_0 = 1
両辺を2回微分すると、
2! * ((-1/2)*a_0 + a_1) + … = 0
x = 0 を代入すると、
a_1 = 1/2
…
というように、 a_0, a_1, … を決定できる。
なので、そもそも、
1 / cos(x)
がテイラー展開できるのか？
ということに答えなければならないはずです。
できるよ
今、いろいろな本を調べていました。
藤原松三郎の本にも書いてあるようですが、ピンポイントで読んでもよく理解できないため、
他の本を探していたところ、
Michael Spivak著『Calculus』の演習問題に求めていたものがありました。
藤原松三郎の本にも書いてあるようですが、ピンポイントで読んでもよく理解できないため、
他の本を探していたところ、
Michael Spivak著『Calculus』の演習問題に求めていたものがありました。
「第n項まで展開せよ」ならわざわざ級数じゃなくてもテイラー多項式をその次数で打ち切ればいいだけだろ
計算法がわからんのではなく、1/cos(x)がx=0の近傍で解析的の証明がわからんらしい。
またテイラー展開が一意であることも理解できてないっぽい
だから何らかの計算でべき級数が求まればそれがテイラー展開そのものであることに気づかない
だから何らかの計算でべき級数が求まればそれがテイラー展開そのものであることに気づかない
Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。
lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) does not always exist(for example, it does not exist if x = 0).
などと書いてあります。
lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) が収束するような x って存在するんですか？
lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) does not always exist(for example, it does not exist if x = 0).
などと書いてあります。
lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) が収束するような x って存在するんですか？
>>22
＞何らかの計算でべき級数が求まればそれがテイラー展開そのものである
sin(x) = Σ_{n=0}^{∞} n! * x for x = 0
なので、
Σ_{n=0}^{∞} n! * x for x = 0
は
sin(x)
の
x = 0
でのべき級数展開です。
ところが、
sin(x)
のテイラー展開は、
x - (1/3!)*x^3 + (1/5!)*x^5 ± …
であり、
Σ_{n=0}^{∞} n! * x
とは異なります。
＞何らかの計算でべき級数が求まればそれがテイラー展開そのものである
sin(x) = Σ_{n=0}^{∞} n! * x for x = 0
なので、
Σ_{n=0}^{∞} n! * x for x = 0
は
sin(x)
の
x = 0
でのべき級数展開です。
ところが、
sin(x)
のテイラー展開は、
x - (1/3!)*x^3 + (1/5!)*x^5 ± …
であり、
Σ_{n=0}^{∞} n! * x
とは異なります。
へー
nを自然数とする。
（1）(√2+√3)^nは、負でない整数a[n],b[n],c[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^n
=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2n-1]を求めよ。
（1）(√2+√3)^nは、負でない整数a[n],b[n],c[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^n
=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2n-1]を求めよ。
>>697
Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。
以下が成り立つことの証明を読みました。
非常に重要かつ興味深い結果だと思いました。
ところが、微分積分学の教科書でこのことが書いてある本はほとんどないように思います。
藤原松三郎以外の本で、このことが書いてある本を教えてください。
f(x) = Σ_{n = 0}^{∞} a_n * x^n
a_0 ≠ 0
Σ_{n = 0}^{∞} a_n * (x_0)^n ∈ R for some x_0 ∈ R - {0}
とする。
このとき、正の収束半径を持ったべき級数 g(x) = Σ_{n = 0}^{∞} b_n * x^n
で、
f(x) * g(x) = 1 for all x ∈ (-R, R) for some R > 0
が成り立つようなものが存在することを証明せよ。
Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。
以下が成り立つことの証明を読みました。
非常に重要かつ興味深い結果だと思いました。
ところが、微分積分学の教科書でこのことが書いてある本はほとんどないように思います。
藤原松三郎以外の本で、このことが書いてある本を教えてください。
f(x) = Σ_{n = 0}^{∞} a_n * x^n
a_0 ≠ 0
Σ_{n = 0}^{∞} a_n * (x_0)^n ∈ R for some x_0 ∈ R - {0}
とする。
このとき、正の収束半径を持ったべき級数 g(x) = Σ_{n = 0}^{∞} b_n * x^n
で、
f(x) * g(x) = 1 for all x ∈ (-R, R) for some R > 0
が成り立つようなものが存在することを証明せよ。
>>24
､ミ川川川彡 ,ｨｒ彡'";;;;;;;;;;;;;;;
ミ 彡 ,.ｨi彡',.=从i､;;;;;;;;;;;;
三 ギ そ 三 ,ｨ/ｲ,r'" .i!ｌi,il i､ﾐ',:;;;;
三. ャ れ 三 ,. -‐==- ､, /!li/'/ l'' l', ',ヾ,ヽ;
三 グ は 三 ,,__-＝ﾆ三三ﾆヾヽl!/,_ ,_i ､,,.ｨ'=-､_ヾヾ
三 で 三,. ‐ﾆ三＝,=＝‐ ''' `‐゛j,ｪﾂ''''ｰ=5ｒ‐ｫ､, ヽ
三. 言 ひ 三 .,,__／ . ,' ﾝ′ ￣
三 っ ょ 三 / ｉ l,
三. て っ 三 ﾉ ..::.:... ,_ i ! `´' J
三 る と 三 iｪｧﾒ`'7rｪ､,ｰ' i }ｴ=､
三 の し 三 ﾉ "' ￣ ! '';;;;;;;
三 か て 三. ｉヽ,_ﾝ J l
三 !? 三 !し=､ ヽ i ,.
彡 ミ ! "'' `'′ ヽ、,,__,,..,_ｨ,..ｒ,',",
彡川川川ミ. l _, , | ` ｰ､≡＝,ﾝ _,,,
ヽ、 _,,,,,ィﾆ三"'" ,,.'ヘ rｰ‐ ''''''"
`, i'''ﾆ'" ,. -‐'" `/
ヽ ! i´ ／
ノレ'ー'! ／ O
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>>26
(1)
(a+b)^n=Σ[i+j=n] nCi・a^i・b^j
√2^i=2^k (i=2k), 2^k・√2 (i=2k+1)
√3^j=3^l (j=2l), 3^l・√3 (j=2l+1)
√2^i・√3^j=2^k・3^l, 2^k・3^l・√2, 2^k・3^l・√3, 2^k・3^l・√6
(2)
(√2+√3)^n=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
(√2-√3)^n=a[n]+√2*b[n]-√3*c[n]-√6*d[n]
(-√2+√3)^n=a[n]-√2*b[n]+√3*c[n]-√6*d[n]
(-√2-√3)^n=a[n]-√2*b[n]-√3*c[n]+√6*d[n]
(√2+√3)^n-(√2-√3)^n=2(√3*c[n]+√6*d[n])
(-√2+√3)^n-(-√2-√3)^n=2(√3*c[n]-√6*d[n])
(√2+√3)^n-(√2-√3)^n-(-√2+√3)^n+(-√2-√3)^n=4√6*d[n]
(1)
(a+b)^n=Σ[i+j=n] nCi・a^i・b^j
√2^i=2^k (i=2k), 2^k・√2 (i=2k+1)
√3^j=3^l (j=2l), 3^l・√3 (j=2l+1)
√2^i・√3^j=2^k・3^l, 2^k・3^l・√2, 2^k・3^l・√3, 2^k・3^l・√6
(2)
(√2+√3)^n=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
(√2-√3)^n=a[n]+√2*b[n]-√3*c[n]-√6*d[n]
(-√2+√3)^n=a[n]-√2*b[n]+√3*c[n]-√6*d[n]
(-√2-√3)^n=a[n]-√2*b[n]-√3*c[n]+√6*d[n]
(√2+√3)^n-(√2-√3)^n=2(√3*c[n]+√6*d[n])
(-√2+√3)^n-(-√2-√3)^n=2(√3*c[n]-√6*d[n])
(√2+√3)^n-(√2-√3)^n-(-√2+√3)^n+(-√2-√3)^n=4√6*d[n]
d[2n-1]=0
>>26
(2)
√2^i・√3^j=2^k・3^l・√6 ⇔ i=2k+1, j=2l+1 ⇔ n=i+j=2k+2l+2=0 (mod 2)
d[2n-1]=0
(2)
√2^i・√3^j=2^k・3^l・√6 ⇔ i=2k+1, j=2l+1 ⇔ n=i+j=2k+2l+2=0 (mod 2)
d[2n-1]=0
>>24
一応マジレスしておく
Σ[n=0,∞] n! x^n
は積分指数関数
(1/x)e^(-1/x)∫[-∞,1/x] e^t/t dt
のx=0のべき展開(この場合は収束半径0の展開で漸近展開という)になって
sin(x)
のx=0のべき展開にはなりません
どういうことかというと x=0でのべき展開はx=0の一点のみで成り立つと考えるものではなく
x=0の近傍で成り立つと考えるのです
(上の例は収束半径が0なのでイメージしにくいと思うので別の例で考えてください)
この時以下の定理が成り立ちます
定理(べき級数の一意性)：
x=0近傍で Σ[n=0,∞] a_n x^n = Σ[n=0,∞] b_n x^n が成り立つならば
a_n=b_n (n=0,1,2,...)である
この証明は複素関数論の一致の定理から直ちに導かれます
一応マジレスしておく
Σ[n=0,∞] n! x^n
は積分指数関数
(1/x)e^(-1/x)∫[-∞,1/x] e^t/t dt
のx=0のべき展開(この場合は収束半径0の展開で漸近展開という)になって
sin(x)
のx=0のべき展開にはなりません
どういうことかというと x=0でのべき展開はx=0の一点のみで成り立つと考えるものではなく
x=0の近傍で成り立つと考えるのです
(上の例は収束半径が0なのでイメージしにくいと思うので別の例で考えてください)
この時以下の定理が成り立ちます
定理(べき級数の一意性)：
x=0近傍で Σ[n=0,∞] a_n x^n = Σ[n=0,∞] b_n x^n が成り立つならば
a_n=b_n (n=0,1,2,...)である
この証明は複素関数論の一致の定理から直ちに導かれます
算オリ・灘中受験生レベルとのことなのですが
小学算数の範疇での解放がわかりません
https://sansu-seijin.jp/drill/7726/
教えて下さい
小学算数の範疇での解放がわかりません
https://sansu-seijin.jp/drill/7726/
教えて下さい
>>33
コレは答え書くとこのサイトの管理人さんに悪いので答えは書かないけどヒントどうりだよ。
ミドリ＋ピンク＝円÷6なのでミドリ求める。
ミドリのどっかをボキッと折ってペタってはるとお受験ではお馴染みの二等辺三角形ができる。
コレは答え書くとこのサイトの管理人さんに悪いので答えは書かないけどヒントどうりだよ。
ミドリ＋ピンク＝円÷6なのでミドリ求める。
ミドリのどっかをボキッと折ってペタってはるとお受験ではお馴染みの二等辺三角形ができる。
有理数＋有理数＝有理数
有理数×有理数＝有理数
の証明方法を教えてください
できれば高校の知識までで証明をお願いします
有理数×有理数＝有理数
の証明方法を教えてください
できれば高校の知識までで証明をお願いします
>>36
整数＋整数＝整数
整数✕整数＝整数
を前提とすれば、自明でしょ。分数の足し算、掛け算をするだけ。
整数＋整数＝整数
整数✕整数＝整数
を前提とすれば、自明でしょ。分数の足し算、掛け算をするだけ。
>>36
abcdを整数とすると
a/b＋c/d＝（ad+bc）/bd
となって、ad+bcもbdも整数だから（ad+bc）/bdは有理数となる。×も同じように証明できる。
こういう証明は文字に置き換えてしまえば大体いける
abcdを整数とすると
a/b＋c/d＝（ad+bc）/bd
となって、ad+bcもbdも整数だから（ad+bc）/bdは有理数となる。×も同じように証明できる。
こういう証明は文字に置き換えてしまえば大体いける
音楽系かオーディオ系の板に書こうか迷ったのですが数学だと思うのでこちらで質問させていただきます。
突然なのですが78rpm(1分間に78回転)のレコードを作りたいと思っています。
78rpmという規格はいわゆるSP盤ってやつで1950年代に廃れたとても古い規格なので
現代ではレコードと言えば33rpmと45rpmしか作られていないのです。
音源を送るとオリジナルのレコードを作製してくれるサービスがネット上にあるのですが
レコードを作る機械が78rpmに対応していないので作ってもらえません。
そこで音楽編集ソフトで意図的にピッチを落とした音源を使って45rpmの設定でレコードを作ってもらって
それをレコードプレーヤーで78rpmで再生した時に本来のピッチになる、という方法で行けるかと思うのですが
頭が悪いので何%ピッチを落としたらいいか計算できません。
長文の質問になりすみません。
よろしくお願いします。
突然なのですが78rpm(1分間に78回転)のレコードを作りたいと思っています。
78rpmという規格はいわゆるSP盤ってやつで1950年代に廃れたとても古い規格なので
現代ではレコードと言えば33rpmと45rpmしか作られていないのです。
音源を送るとオリジナルのレコードを作製してくれるサービスがネット上にあるのですが
レコードを作る機械が78rpmに対応していないので作ってもらえません。
そこで音楽編集ソフトで意図的にピッチを落とした音源を使って45rpmの設定でレコードを作ってもらって
それをレコードプレーヤーで78rpmで再生した時に本来のピッチになる、という方法で行けるかと思うのですが
頭が悪いので何%ピッチを落としたらいいか計算できません。
長文の質問になりすみません。
よろしくお願いします。
>>39
レコードって、正しいイコライザで変換して正しい音が出てくるものだから、イコライザの挙動も考えて逆変換しておかないと、ピッチ変えるだけじゃダメじゃないかな。
よく知らんけど。
レコードって、正しいイコライザで変換して正しい音が出てくるものだから、イコライザの挙動も考えて逆変換しておかないと、ピッチ変えるだけじゃダメじゃないかな。
よく知らんけど。
>>39
フリーの音声編集ソフトAudacityに必要な機能が全部そろっています（数学とはたぶん無関係です）
手順としてはソフトを立ち上げ音源を指定し
1. エフェクト -> イコライザを開き、曲線を選択でRIAAを指定し、反転をクリックしてOKを押す
(ここでは実際に再生する78回転再生機のイコライザ特性の逆を指定)
2. エフェクト -> 変更:速度の変更を開き、レコード回転数変更で変更前を78、変更後を45に指定してOKを押す
3. エフェクト -> イコライザを開き、曲線を選択でRIAAを指定しOKを押す
(ここではレコード制作サイトが想定している標準再生機のイコライザ特性を指定)
たぶんこれでいけると思いますが、RIAAカーブが制定されたのが1954年で再生機の特性と違う可能性があり
手順1のイコライザ特性を調整しないといけないかもしれません
フリーの音声編集ソフトAudacityに必要な機能が全部そろっています（数学とはたぶん無関係です）
手順としてはソフトを立ち上げ音源を指定し
1. エフェクト -> イコライザを開き、曲線を選択でRIAAを指定し、反転をクリックしてOKを押す
(ここでは実際に再生する78回転再生機のイコライザ特性の逆を指定)
2. エフェクト -> 変更:速度の変更を開き、レコード回転数変更で変更前を78、変更後を45に指定してOKを押す
3. エフェクト -> イコライザを開き、曲線を選択でRIAAを指定しOKを押す
(ここではレコード制作サイトが想定している標準再生機のイコライザ特性を指定)
たぶんこれでいけると思いますが、RIAAカーブが制定されたのが1954年で再生機の特性と違う可能性があり
手順1のイコライザ特性を調整しないといけないかもしれません
皆さんありがとうございます
そのソフトを使ってみます
数学と関係ない部分まで教えていただきありがとうございました
そのソフトを使ってみます
数学と関係ない部分まで教えていただきありがとうございました
Aは実数を成分とする2次正方行列で、単位行列でも零行列でもないとする。
またB=A^2とする。
このとき、以下の(P)は成立しないことを示せ。
(P)以下の2点を同時に満たす点Pが存在する。
・Aによる一次変換で点Pを点Qに移したとき、P=Qが成り立つ。
・Bによる一次変換で点Pを点Rに移したとき、P=Rが成り立つ。
またB=A^2とする。
このとき、以下の(P)は成立しないことを示せ。
(P)以下の2点を同時に満たす点Pが存在する。
・Aによる一次変換で点Pを点Qに移したとき、P=Qが成り立つ。
・Bによる一次変換で点Pを点Rに移したとき、P=Rが成り立つ。
>>44
迷惑だからもう書き込まないでください
あなたに数学の才能がないです
あなたが数学をやること自体が学問への侮辱です
迷惑だからもう書き込まないでください
あなたに数学の才能がないです
あなたが数学をやること自体が学問への侮辱です
新作はいつも以上にガイジっぷりが炸裂してるな
じゃんけんに勝つ確率が1/2である証明が理解できない。
lim（1回目に勝つ確率＋2回目に勝つ確率＋・・・＋n回目に勝つ確率）
を計算するなんて、不毛だと思わないか？
じゃんけんに勝つ確率は1/2であるはずなのに。
こんな証明は間違っている。センスがない。そう信じて数学専攻を修了までしてしまったよ。
lim（1回目に勝つ確率＋2回目に勝つ確率＋・・・＋n回目に勝つ確率）
を計算するなんて、不毛だと思わないか？
じゃんけんに勝つ確率は1/2であるはずなのに。
こんな証明は間違っている。センスがない。そう信じて数学専攻を修了までしてしまったよ。
大数の法則でググりましょう
>>50
> lim（1回目に勝つ確率＋2回目に勝つ確率＋・・・＋n回目に勝つ確率）
これって１になるんじゃないの？
> lim（1回目に勝つ確率＋2回目に勝つ確率＋・・・＋n回目に勝つ確率）
これって１になるんじゃないの？
無限大なんじゃ？
無限にジャンケンを続けたら勝ち回数も負け回数も無限大
無限にジャンケンを続けたら勝ち回数も負け回数も無限大
>>44
行列 A = (a b)
c d
ad－bc＝0でない。
行列 B = (a^2+bc ab+bd)
ac+cd bc+d^2
A = Eでない。A = 0 でない。
ここまで、合ってる？
あと、1次変換で、座標上の点を移動させた時、
同じ位置に、移動させるような行列AやBが、
存在しない事を、計算で示せばいいんだよね。
計算しんどいからここまでにしとく。
行列 A = (a b)
c d
ad－bc＝0でない。
行列 B = (a^2+bc ab+bd)
ac+cd bc+d^2
A = Eでない。A = 0 でない。
ここまで、合ってる？
あと、1次変換で、座標上の点を移動させた時、
同じ位置に、移動させるような行列AやBが、
存在しない事を、計算で示せばいいんだよね。
計算しんどいからここまでにしとく。
>>51
大数の法則は統計学で。実世界で実際に試した際に1/2に収束するよね？って理論じゃん？
高校数学で扱う確率論では扱わないよ。
大数の法則は統計学で。実世界で実際に試した際に1/2に収束するよね？って理論じゃん？
高校数学で扱う確率論では扱わないよ。
>>53
書き方悪かった。
1回目に勝つ確率＋1回目あいこで2回目に勝つ確率＋1,2回目あいこで3回目に勝つ確率＋・・・
だね。
書き方悪かった。
1回目に勝つ確率＋1回目あいこで2回目に勝つ確率＋1,2回目あいこで3回目に勝つ確率＋・・・
だね。
勝敗が決まるまで２人でじゃんけんをすれば、どちらかが必ず勝つ
グー・チョキ・パーを出すのに偏りがなければ２人の間に力の差はない
だから、それぞれの勝つ確率は等しく1/2になる
そういう直感的？な事をきちんと計算で出そうとすると極限を使わないとならないので面倒くさいって事ですか？
グー・チョキ・パーを出すのに偏りがなければ２人の間に力の差はない
だから、それぞれの勝つ確率は等しく1/2になる
そういう直感的？な事をきちんと計算で出そうとすると極限を使わないとならないので面倒くさいって事ですか？
>>54
統.合.失.調.症.の.ガイジ君さぁ、きみ数学できないタイプのガイジだよ
お前に数学のセンスはないよ
統.合.失.調.症.の.ガイジ君さぁ、きみ数学できないタイプのガイジだよ
お前に数学のセンスはないよ
>>54
統.合..失.調.症.ガイジの自作自演
数学の才能のかけらもない文章から余裕で自演だと分かる
統.合..失.調.症.ガイジの自作自演
数学の才能のかけらもない文章から余裕で自演だと分かる
44の問題を出題した人や、それにレスした人、何で叩かれてるの？
>>64
わかんないけど、たぶん、書き方の特徴から、いつも変な書き込みしてる
人だと常連さんにはわかってるのかも。実際、問題も明らかに間違ってる
し（(P)は成立する）。
わかんないけど、たぶん、書き方の特徴から、いつも変な書き込みしてる
人だと常連さんにはわかってるのかも。実際、問題も明らかに間違ってる
し（(P)は成立する）。
キチガイの自作問題(笑)を解くスレじゃないから
詳しい条件は分からないですけど、１次変換で不動点が存在すればいいって事ですか？
行列Aで不動点が存在すれば
行列B=A^2でも不動点は存在しますよね？点を表す縦ベクトルに行列Aを２回左からかければいいだけですから
行列Aで不動点が存在すれば
行列B=A^2でも不動点は存在しますよね？点を表す縦ベクトルに行列Aを２回左からかければいいだけですから
>>44
問題に複数の致命的な誤りが存在する
個人が作った問題ならあらし行為として放置すればいいと思うが
もしもきちんとした教育機関がこういう試験問題を出題したとしたら
出題ミスとしていろんなメディアでたたかれ炎上すると思われる
問題に複数の致命的な誤りが存在する
個人が作った問題ならあらし行為として放置すればいいと思うが
もしもきちんとした教育機関がこういう試験問題を出題したとしたら
出題ミスとしていろんなメディアでたたかれ炎上すると思われる
>>59
そういう事です。そこが気に食わなくて、そんなはずはないとの直感信じて大学院まで進んでしまった。
色んな定理にも現れるように、数学の完成形はきっとシンプルで綺麗なはずで、だけど数学についていけない人類によって、自ら複雑化してしまってるのかなと。この確率の問題のように。
今ではそう確信してる。
そういう事です。そこが気に食わなくて、そんなはずはないとの直感信じて大学院まで進んでしまった。
色んな定理にも現れるように、数学の完成形はきっとシンプルで綺麗なはずで、だけど数学についていけない人類によって、自ら複雑化してしまってるのかなと。この確率の問題のように。
今ではそう確信してる。
同様に確からしいこと認めりゃ1/2なのは当たり前じゃないですか？
あなたの計算でも1/3で同様に確からしいこと使ってますよね
あなたの計算でも1/3で同様に確からしいこと使ってますよね
>>72
1/3は証明を省いただけで。
一応厳格な証明は
グーとグーが出る確率＋チョキとチョキが出る確率＋パーとパーが出る確率＝1/3^2+1/3^2+1/3^2＝1/3
という感じになるね。
鋭いとこら付いてくるねw
1/3は証明を省いただけで。
一応厳格な証明は
グーとグーが出る確率＋チョキとチョキが出る確率＋パーとパーが出る確率＝1/3^2+1/3^2+1/3^2＝1/3
という感じになるね。
鋭いとこら付いてくるねw
>>73
ちなみに追加だけど、確率論は全て「同様に確からしい」からスタートして、この場合は「グー、チョキ、パーを出す確率はそれぞれ1/3である」という仮定に使われてる。
ちなみに追加だけど、確率論は全て「同様に確からしい」からスタートして、この場合は「グー、チョキ、パーを出す確率はそれぞれ1/3である」という仮定に使われてる。
>>69
1次変換で、点を動かすとき、点が移動しない不動点になるのって、
単位行列使った時だったか？
行列使った計算やるのかなり久しぶりで全く思い出せない。
分からないから、助けて。
1次変換で、点を動かすとき、点が移動しない不動点になるのって、
単位行列使った時だったか？
行列使った計算やるのかなり久しぶりで全く思い出せない。
分からないから、助けて。
点をx↑≠0↑で表す
不動点ならば
x↑=Ax↑
移行して
(A-E)x↑=0↑
x↑≠0↑なので
det(A-E)=0
を計算すればどうでしょうか？
姉の昔の教科書とか見て勉強してるのでこれくらいしか分かりません
不動点ならば
x↑=Ax↑
移行して
(A-E)x↑=0↑
x↑≠0↑なので
det(A-E)=0
を計算すればどうでしょうか？
姉の昔の教科書とか見て勉強してるのでこれくらいしか分かりません
別にx=0でもいいし原点は明らかに不動点
実数を成分とする2次正方行列Aは、
A=[a,b][c,d]
ad-bc=1
3以上のある自然数nが存在し、A^n=E
を満たす。Aを求めよ。
A=[a,b][c,d]
ad-bc=1
3以上のある自然数nが存在し、A^n=E
を満たす。Aを求めよ。
解らない問題
スターリングの公式の導出の仕方
オイラー定数γを規則的な連分数で表示する
円周率πを計算するニュートンの公式の導出の仕方
連分数とフラクタル連分数ですべての不尽根数を表示できるか
将棋の可能な局面数
将棋の可能なゲーム数
スターリングの公式の導出の仕方
オイラー定数γを規則的な連分数で表示する
円周率πを計算するニュートンの公式の導出の仕方
連分数とフラクタル連分数ですべての不尽根数を表示できるか
将棋の可能な局面数
将棋の可能なゲーム数
無数にあるね。
固有多項式がexp(2πi/n),(n=3,4,6)のいずれかの最小多項式もしくはx^2-1でものの全体、もしくはI,-I。
無数にある。
固有多項式がexp(2πi/n),(n=3,4,6)のいずれかの最小多項式もしくはx^2-1でものの全体、もしくはI,-I。
無数にある。
82の問題って確かに何となく変な問題のような
気がするような？
気がするような？
>>82
Aの固有値とその固有ベクトルをλ,uとする
A^n u = E ⇒ λ^n u = u ⇒ λ=e^(2π√(-1)k/n), k:整数
もう一つの固有値λ'はλλ'=ad-bc=1から λ'=e^(-2π√(-1)k/n)
Aの対角化 U^(-1)AU = [e^(2π√(-1)k/n),0],[0,e^(-2π√(-1)k/n)] からAを計算
(計算略)
A=[cosθ+p sinθ,-q(1+p^2)sinθ],[(1/q)sinθ,cosθ-p sinθ]
p,q≠0:実数, θ=2πk/n, k:整数
Aの固有値とその固有ベクトルをλ,uとする
A^n u = E ⇒ λ^n u = u ⇒ λ=e^(2π√(-1)k/n), k:整数
もう一つの固有値λ'はλλ'=ad-bc=1から λ'=e^(-2π√(-1)k/n)
Aの対角化 U^(-1)AU = [e^(2π√(-1)k/n),0],[0,e^(-2π√(-1)k/n)] からAを計算
(計算略)
A=[cosθ+p sinθ,-q(1+p^2)sinθ],[(1/q)sinθ,cosθ-p sinθ]
p,q≠0:実数, θ=2πk/n, k:整数
勉強し直さないと何やってるかまったく解らない。
ルービックキューブ超高速で完成させるのを見せつけられてるみたい。
手品使われているみたいな感じ。
まったくついてけん。
ルービックキューブ超高速で完成させるのを見せつけられてるみたい。
手品使われているみたいな感じ。
まったくついてけん。
ジョルダンの標準形の話を知ってる＝理系の大学一回生以上なら誰でも瞬殺、しかし高校生レベルには難しすぎる。
誰に出しても意味ない問題。
誰に出しても意味ない問題。
>>72
>同様に確からしいこと認めりゃ1/2なのは当たり前じゃないですか？
いつまでもあいこが続いて勝負が確定しない事が有り得るので
事象にならない
>同様に確からしいこと認めりゃ1/2なのは当たり前じゃないですか？
いつまでもあいこが続いて勝負が確定しない事が有り得るので
事象にならない
>>93
高校生なら焦って理解せんでよろし。
大学入ったら般教の線形代数レベルで習うジョルダンの標準形というのを利用すりゃすぐ出る。
逆にジョルダン理論知らないでやるには難しすぎる。
どういうレベルの人向けとしてもクソ問。
高校生なら焦って理解せんでよろし。
大学入ったら般教の線形代数レベルで習うジョルダンの標準形というのを利用すりゃすぐ出る。
逆にジョルダン理論知らないでやるには難しすぎる。
どういうレベルの人向けとしてもクソ問。
xy平面のx軸のx≥0の部分をL_1、y軸のy≥0の部分をL_2とおく。
L_1上を点Pが、L_2上を点Qが、△OPQ=1となるように動く。
このとき△OPQの内接円の周が動いてできる領域をDとする。
Dの概形はどのようなものか、述べよ。
領域の境界についても述べること。
L_1上を点Pが、L_2上を点Qが、△OPQ=1となるように動く。
このとき△OPQの内接円の周が動いてできる領域をDとする。
Dの概形はどのようなものか、述べよ。
領域の境界についても述べること。
s,tはs^2+t^2=1を満たす実数である。
実数を成分とする2次正方行列Aと列ベクトル↑v = (s,t)は、
(A^n)↑v = E ...(*)
を満たす。
ここでn は、(*)を満たす自然数の中で最小のものである。
Aをs,t,nで表せ。
実数を成分とする2次正方行列Aと列ベクトル↑v = (s,t)は、
(A^n)↑v = E ...(*)
を満たす。
ここでn は、(*)を満たす自然数の中で最小のものである。
Aをs,t,nで表せ。
>>96
>このとき△OPQの内接円の周が動いてできる領域をD
ｘｙ軸に接する円で半径はいくらでも小さくなり最大は
1=(2+√2+√2)r/2のときすなわちr=1/(1+√2)=√2-1
Dはこの円とｘｙ軸に挟まれた部分との合併
>このとき△OPQの内接円の周が動いてできる領域をD
ｘｙ軸に接する円で半径はいくらでも小さくなり最大は
1=(2+√2+√2)r/2のときすなわちr=1/(1+√2)=√2-1
Dはこの円とｘｙ軸に挟まれた部分との合併
ただし原点は除く
訂正
s,tはs^2+t^2=1を満たす実数である。
実数を成分とする2次正方行列Aと列ベクトル↑v = (s,t)は、
(A^n)↑v = [1,0] ...(*)
を満たす。
ここでn は、(*)を満たす自然数の中で最小のものである。
Aを求めよ。
（注：[1,0]は列ベクトルである）
s,tはs^2+t^2=1を満たす実数である。
実数を成分とする2次正方行列Aと列ベクトル↑v = (s,t)は、
(A^n)↑v = [1,0] ...(*)
を満たす。
ここでn は、(*)を満たす自然数の中で最小のものである。
Aを求めよ。
（注：[1,0]は列ベクトルである）
f=exp(-x^2)*cos(t)
g=exp(-x^2)*sin(t)
F=[f -g][g f]
A=[∂/∂x -(∂/∂t)][∂/∂t ∂/∂x]
に対して、Xを以下のように定める。
X = {F^(-1)}(AF)
自然数nに対してX^nをx,tで表せ。
g=exp(-x^2)*sin(t)
F=[f -g][g f]
A=[∂/∂x -(∂/∂t)][∂/∂t ∂/∂x]
に対して、Xを以下のように定める。
X = {F^(-1)}(AF)
自然数nに対してX^nをx,tで表せ。
「集合論において、集合 Aが推移的であるとは、
x ∈ Aかつy ∈ x、ならばy ∈ A もしくは、同じ意味であるが
x ∈ Aかつxがurelement（集合でない対象）でないならxはAの部分集合である。」
Q1．推移的でない集合の例を１つ挙げよ（簡単であるほど良い）
「ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、
順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で
(よって順序数でも)ある。」
Q2．順序数でない推移的集合の例を１つ挙げよ（簡単であるほど良い）
x ∈ Aかつy ∈ x、ならばy ∈ A もしくは、同じ意味であるが
x ∈ Aかつxがurelement（集合でない対象）でないならxはAの部分集合である。」
Q1．推移的でない集合の例を１つ挙げよ（簡単であるほど良い）
「ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、
順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で
(よって順序数でも)ある。」
Q2．順序数でない推移的集合の例を１つ挙げよ（簡単であるほど良い）
>>105
それならy ∈ xは変じゃないの？
集合論は大学で学んだっきりで専門ではないんだけど。この記載って合ってるの？？元の元を定義してる的な・・？
それならy ∈ xは変じゃないの？
集合論は大学で学んだっきりで専門ではないんだけど。この記載って合ってるの？？元の元を定義してる的な・・？
あってますよ
超準解析とかでuniverseを定義するとかにも出てきますね
超準解析とかでuniverseを定義するとかにも出てきますね
>>108
0は空集合ではないよね？
であれば、A={0,x}という構造って良いんだっけ？
0は元でxは集合となっている中で、それを並列に並べるのがよくわらない。
A={{0},x}で、x={0,1とかっていうのならわかるけど。
その分野の集合論って、大学で学ぶ集合論とは、集合の定義が変わってくる感じなんだ。。
0は空集合ではないよね？
であれば、A={0,x}という構造って良いんだっけ？
0は元でxは集合となっている中で、それを並列に並べるのがよくわらない。
A={{0},x}で、x={0,1とかっていうのならわかるけど。
その分野の集合論って、大学で学ぶ集合論とは、集合の定義が変わってくる感じなんだ。。
普通の素朴集合論(もしくはZFC)でもA∪{A}という集合は考えられますよね
集合の定義云々言うくらいなら、A={a,b}が集合であるための「定義」は言えますよね？ちょっと言ってみてください
集合の定義云々言うくらいなら、A={a,b}が集合であるための「定義」は言えますよね？ちょっと言ってみてください
>>111
自分は大学で集合論、位相論とかは学んだけど、この記載方法は初めて見たって感じ。例えばA∪{A}とかも初めて。大学の初等集合論では学ばないよね？
あと集合の厳格な定義はパッとは言えないけど、元の集まりとして集合を定義されていたと思っていて。それ以上もそれ以下もないと思うんだけど。
あとね、定義は言えますよね？とか挑発的なこと書かないでよw別にレスバトルしたいんじゃないんだから、知ってるから是非ご教授下さいよ。
持っているのなら素朴な疑問。素朴な疑問をぶつけるスレではないというなら、スレから去るけどさ。
自分は大学で集合論、位相論とかは学んだけど、この記載方法は初めて見たって感じ。例えばA∪{A}とかも初めて。大学の初等集合論では学ばないよね？
あと集合の厳格な定義はパッとは言えないけど、元の集まりとして集合を定義されていたと思っていて。それ以上もそれ以下もないと思うんだけど。
あとね、定義は言えますよね？とか挑発的なこと書かないでよw別にレスバトルしたいんじゃないんだから、知ってるから是非ご教授下さいよ。
持っているのなら素朴な疑問。素朴な疑問をぶつけるスレではないというなら、スレから去るけどさ。
>>110
>であれば、A={0,x}という構造って良いんだっけ？
集合は相当自由な概念で
集合の集合を考えられるのと
2つの集合の合併集合が考えられるので
x={0}について{x}を考えてxと{x}の合併集合がA={0,x}
>であれば、A={0,x}という構造って良いんだっけ？
集合は相当自由な概念で
集合の集合を考えられるのと
2つの集合の合併集合が考えられるので
x={0}について{x}を考えてxと{x}の合併集合がA={0,x}
>>104
「集合Aが推移的
⇔xがAの元で、yがxの元なら、xがAの元
⇔xがAの元で、xが集合でない対象でないなら、xはAの部分集合」
という言葉の定義
「集合Aが推移的
⇔xがAの元で、yがxの元なら、xがAの元
⇔xがAの元で、xが集合でない対象でないなら、xはAの部分集合」
という言葉の定義
>>106
＞y ∈ xは変じゃないの？
「（xが集合で）yがxの要素なら」
ということなので問題ありません
＞y ∈ xは変じゃないの？
「（xが集合で）yがxの要素なら」
ということなので問題ありません
>>113
レスありがとうございます。
x={0}について{x}を考えてxと{x}の合併集合がA={0,x}
正確にはA={{0},x}と書くけど、省略化したってイメージであってます？それなら理解しました。
Aは0から見たときの集合の集合の立ち位置。
レスありがとうございます。
x={0}について{x}を考えてxと{x}の合併集合がA={0,x}
正確にはA={{0},x}と書くけど、省略化したってイメージであってます？それなら理解しました。
Aは0から見たときの集合の集合の立ち位置。
>>110
｛０｝は｛０、｛０｝｝の要素でありかつ部分集合
ついでにいうと、０のかわりに｛｝を入れても同じ
｛｛｝｝は｛｛｝、｛｛｝｝｝の要素でありかつ部分集合
｛０｝は｛０、｛０｝｝の要素でありかつ部分集合
ついでにいうと、０のかわりに｛｝を入れても同じ
｛｛｝｝は｛｛｝、｛｛｝｝｝の要素でありかつ部分集合
>>115
x ∈ Aかつy ∈ xと言うことであれば。
yから見ると、xは集合、Aは集合の集合なので
{y｝∈ Aという書き方になるかなと素朴な疑問を持ったまでです。
脱線させてしまってすみません。
x ∈ Aかつy ∈ xと言うことであれば。
yから見ると、xは集合、Aは集合の集合なので
{y｝∈ Aという書き方になるかなと素朴な疑問を持ったまでです。
脱線させてしまってすみません。
>>117
0が空集合であれば、理解しました。
ただ空集合以外であれば、自分の知識が足らなくてわからないですねw
まあ勉強しておきます。
0が空集合であれば、理解しました。
ただ空集合以外であれば、自分の知識が足らなくてわからないですねw
まあ勉強しておきます。
>>109
あってますね
{{},{{}}}は順序数ですが
{{},{{}},{{{}}}}は順序数でない推移的集合
あってますね
{{},{{}}}は順序数ですが
{{},{{}},{{{}}}}は順序数でない推移的集合
>>118
余談ですが、公理的集合論では、集合でない対象は存在しなくてもかまいません
つまり、集合の元は、集合です
{},{{}},{{{}}},{{},{{}}},・・・
余談ですが、公理的集合論では、集合でない対象は存在しなくてもかまいません
つまり、集合の元は、集合です
{},{{}},{{{}}},{{},{{}}},・・・
>>119
>0が空集合であれば、理解しました。
空集合で無くてもいいよ
集合で無い元を考えるのが素朴な集合の概念だから
普通の意味での0として考えて
x={0}とy={x}との合併集合x∪y={0,x}
>0が空集合であれば、理解しました。
空集合で無くてもいいよ
集合で無い元を考えるのが素朴な集合の概念だから
普通の意味での0として考えて
x={0}とy={x}との合併集合x∪y={0,x}
>>128
集合を実際に扱うケースを考えた時に。
ある集合からある集合へ写像で飛ばしたことを考えると。
飛ばす前の集合は、元と集合が混在してると写像で飛ばす事も出来なくなるような気がして。
なので、集合内の元の次元？は同一であるというのが根底にあるのだと思ってた。
でも違うんだなぁ。
集合を実際に扱うケースを考えた時に。
ある集合からある集合へ写像で飛ばしたことを考えると。
飛ばす前の集合は、元と集合が混在してると写像で飛ばす事も出来なくなるような気がして。
なので、集合内の元の次元？は同一であるというのが根底にあるのだと思ってた。
でも違うんだなぁ。
>>129
衝撃の事実・・・
集合論の中の自然数
0={}
1={0}={{}}
2={0,1}={{},{{}}}
3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}
…
衝撃の事実・・・
集合論の中の自然数
0={}
1={0}={{}}
2={0,1}={{},{{}}}
3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}
…
自然数の構成とか見てみたら？
>>129
>集合内の元の次元？は同一であるというのが根底にあるのだと思ってた。
そういう概念を入れた集合論もあたかも
>集合内の元の次元？は同一であるというのが根底にあるのだと思ってた。
そういう概念を入れた集合論もあたかも
元(要素)の次元とかmod空間とかってなんなの
本当に大学で勉強したのかと疑うレベル
4年のゼミでは何の本読んだのか教えて
本当に大学で勉強したのかと疑うレベル
4年のゼミでは何の本読んだのか教えて
>>135
あなたはさっきから何者なの？レスバトルをしたいの？？なら相手しないよ？そんなことを聞いてどうするの？？
修論は暗号系で、趣味でやってた研究は相対原理の拡張とか、初等整数論とか。
絡みたいだけなら、本当に辞めてほしいわ。数学のスレは荒らしたくない。意図を教えてくれれば、議論はするけどさ。
疑問に思ったことをぶつける→君はバカなの？的なレスは不毛だよ。君だって、他のどんな人だって、専門以外は素人だろうに。
あなたはさっきから何者なの？レスバトルをしたいの？？なら相手しないよ？そんなことを聞いてどうするの？？
修論は暗号系で、趣味でやってた研究は相対原理の拡張とか、初等整数論とか。
絡みたいだけなら、本当に辞めてほしいわ。数学のスレは荒らしたくない。意図を教えてくれれば、議論はするけどさ。
疑問に思ったことをぶつける→君はバカなの？的なレスは不毛だよ。君だって、他のどんな人だって、専門以外は素人だろうに。
>>138
謝る必要は全くありません。
原因は自分の知識欠如が招いた事なので、これを受けて更に精進しようと思います。
自分も感情的なレスをしてしまって、本当に申し訳ありませんでした。
数学板は、純粋に知識や議論ができる場であってもらえればと思います。脱線・汚してしまってすみません。
謝る必要は全くありません。
原因は自分の知識欠如が招いた事なので、これを受けて更に精進しようと思います。
自分も感情的なレスをしてしまって、本当に申し訳ありませんでした。
数学板は、純粋に知識や議論ができる場であってもらえればと思います。脱線・汚してしまってすみません。
双対原理とかですかね
>>141
誤字です。双対原理。
高校の時から似たようなことをずっと考えていて、それと組み合わせられるかなと思ってる感じですね。
自分はこの性質・原理を別の名前で呼んでました。
定理か原理か考え抜いた末に、証明不可と結論づけて自分も原理と名付けてた。
誤字です。双対原理。
高校の時から似たようなことをずっと考えていて、それと組み合わせられるかなと思ってる感じですね。
自分はこの性質・原理を別の名前で呼んでました。
定理か原理か考え抜いた末に、証明不可と結論づけて自分も原理と名付けてた。
「どんな人だって、専門以外は素人」ってのはその通りかと。
暗号理論をやってたら計算量解析するから集合論は切っても切れないはずだし、
集合の集合（クラス）なんかも必ずやるはずではあるけど
かといって>>130のような自然数の構成を積極的に意識するかと言うとそうでもない
学部1年でそういうまっとうな集合論やるのはそれこそ数学科だけなんじゃないかな
暗号理論をやってたら計算量解析するから集合論は切っても切れないはずだし、
集合の集合（クラス）なんかも必ずやるはずではあるけど
かといって>>130のような自然数の構成を積極的に意識するかと言うとそうでもない
学部1年でそういうまっとうな集合論やるのはそれこそ数学科だけなんじゃないかな
>>143自分も数学科出身ですねw
暗号論は情報学科との共同ゼミって感じで。
理論的な部分を数学科が前進させて発表して、情報科が翌年にそれを実装する的な。
暗号論は情報学科との共同ゼミって感じで。
理論的な部分を数学科が前進させて発表して、情報科が翌年にそれを実装する的な。
双対原理って∨と∧入れ替えてーってやつですか？
あれ証明できますけどね
あれ証明できますけどね
自然科学における公理なようなものです
証明不可能な、経験的に得られた正しいものって感じですかね
証明不可能な、経験的に得られた正しいものって感じですかね
自分の知識と世間の常識がイコールだと固く信じて疑わない人が居ると
その知識の正誤に関わらず場は荒れるよね
その知識の正誤に関わらず場は荒れるよね
>>145
点と線を入れ替えても同じでしょ？って言うやつですね。ちなみに証明というのはどのような？
また直感的な事で申し訳ないんですけど。
自分が考察してきた拡張面だと、証明できない部分が存在する。というのが結論です。人類の限界というか。
認めるしかない範囲が存在するように思います。
点と線を入れ替えても同じでしょ？って言うやつですね。ちなみに証明というのはどのような？
また直感的な事で申し訳ないんですけど。
自分が考察してきた拡張面だと、証明できない部分が存在する。というのが結論です。人類の限界というか。
認めるしかない範囲が存在するように思います。
>>146
言葉の厳格な定義は知らないっすw
自分の使い方だと証明のしようのないもの。公理体系から持ってこようにも、どうしようもできない事実。
言葉の厳格な定義は知らないっすw
自分の使い方だと証明のしようのないもの。公理体系から持ってこようにも、どうしようもできない事実。
>>150
よく分からないんですが、原理とは「仮定が真ならば常に真となる命題であるが証明ができないもの」ということでしょうか？
よく分からないんですが、原理とは「仮定が真ならば常に真となる命題であるが証明ができないもの」ということでしょうか？
数学の言葉で言えば公理か定理のどちらかですよ
自然科学では公理を意味します、基本的には
でもこれも微妙でほかの原理から導かれる場合も原理とか言ったりしますからね
原理とは何かを真面目に考えるだけ無駄だと思います
ちゃんとした意味決まってないですからね
数学的には原理という概念は存在しません
原理と名前のつく公理や定理があるだけです
自然科学では公理を意味します、基本的には
でもこれも微妙でほかの原理から導かれる場合も原理とか言ったりしますからね
原理とは何かを真面目に考えるだけ無駄だと思います
ちゃんとした意味決まってないですからね
数学的には原理という概念は存在しません
原理と名前のつく公理や定理があるだけです
どこで質問すればいいか分からなかったのでここに来たんですが
10%の確率で起きる事象は10回に1回起きることを表すが
実際は10回試行すれば必ず1回起きるわけではない（1回も起きない事もある）
では、10%の確率の事象が100%起きるには何回の試行が必要か
というのはどう計算すればいいですか？
10%の確率で起きる事象は10回に1回起きることを表すが
実際は10回試行すれば必ず1回起きるわけではない（1回も起きない事もある）
では、10%の確率の事象が100%起きるには何回の試行が必要か
というのはどう計算すればいいですか？
>>151
少し言葉がおかしいですね
「仮定が成り立つ任意の対象に対して成り立つ命題であるが～」に修正させてください
少し言葉がおかしいですね
「仮定が成り立つ任意の対象に対して成り立つ命題であるが～」に修正させてください
>>153
外れる確率は90%ということで。
3回連続で外れる確率を考えると
確率＝(9/10)^3
という計算式になります。
よって
3回のうち1回でも当たる確率
＝1-3回連続で外れる確率
＝1-(9/10)^3
という感じになります。
100%は理論上あり得ないので答えは存在しませんが、80%の確率で起きるには？などは上記の計算によって施工回数が導き出せます。
外れる確率は90%ということで。
3回連続で外れる確率を考えると
確率＝(9/10)^3
という計算式になります。
よって
3回のうち1回でも当たる確率
＝1-3回連続で外れる確率
＝1-(9/10)^3
という感じになります。
100%は理論上あり得ないので答えは存在しませんが、80%の確率で起きるには？などは上記の計算によって施工回数が導き出せます。
>>152
もし証明のしようが無い（自明であることを認めるしかない）というのが結論であれば、双対公理というのが正しい呼び方って感じなんですね。
勉強になりました。
もし証明のしようが無い（自明であることを認めるしかない）というのが結論であれば、双対公理というのが正しい呼び方って感じなんですね。
勉強になりました。
>>152
数学以外で使われる用語なんですね
THD2cpzAさんは数学科ということで数学用語かと思ってしまいまして
数学以外で使われる用語なんですね
THD2cpzAさんは数学科ということで数学用語かと思ってしまいまして
>>151
厳格な言葉の意味も調べてないので、自分の主観ですので間違ってる可能性がありますが。
自分の捉え方では「相対原理が成り立たないと数学自体が成り立たない」という感覚で原理と名付けたって感じですね。
じゃその成り立たない数学とは何か？とか言われると難しいですけど。
答えや結論が定まるような数学的な事象ができなくなるって感じですね。だから原理と名付けてました。
直感的な質問しかできなくてすみません。
厳格な言葉の意味も調べてないので、自分の主観ですので間違ってる可能性がありますが。
自分の捉え方では「相対原理が成り立たないと数学自体が成り立たない」という感覚で原理と名付けたって感じですね。
じゃその成り立たない数学とは何か？とか言われると難しいですけど。
答えや結論が定まるような数学的な事象ができなくなるって感じですね。だから原理と名付けてました。
直感的な質問しかできなくてすみません。
>>156
選択公理は「自明かのように思えるけど他のZF公理系からは証明も反証もできない」代表例だけど、これを双対原理と呼ぶことはないでしょう
選択公理は「自明かのように思えるけど他のZF公理系からは証明も反証もできない」代表例だけど、これを双対原理と呼ぶことはないでしょう
>>158
双対原理ってどんな背景で原理で名付けられたかって知ってたりします？別に他の原理でもいいんですけど。
わざわざ原理と名付けた背景を知りたいなと。
双対原理ってどんな背景で原理で名付けられたかって知ってたりします？別に他の原理でもいいんですけど。
わざわざ原理と名付けた背景を知りたいなと。
原理は感覚的なものだよ
それぞれの分野の基礎の基礎となる性質を原理と呼んでいるだけ
それぞれの分野の基礎の基礎となる性質を原理と呼んでいるだけ
基礎というよりかは
考えている対象の、根本的な性質を表すような命題であれば原理と呼ぶか
考えている対象の、根本的な性質を表すような命題であれば原理と呼ぶか
単なる慣習だと思いますけどね
>>159
なるほど
では逆に双対原理が成り立たなくても成り立つ数学というとどういうものがあるでしょうか？
またその双対原理が証明不可だということの証明は可能でしょうか？
なるほど
では逆に双対原理が成り立たなくても成り立つ数学というとどういうものがあるでしょうか？
またその双対原理が証明不可だということの証明は可能でしょうか？
>>163
感覚的なものというのは凄いしっくりきました。
証明しようとするなら
双対原理が成り立たないと数学の答えや結論が定まらなくなる。よって数学上の命題と認める以上、双対原理は成り立つ。
という方向性で証明できると思います。
だから定理と言えば定理なのか・・・。
感覚的なものというのは凄いしっくりきました。
証明しようとするなら
双対原理が成り立たないと数学の答えや結論が定まらなくなる。よって数学上の命題と認める以上、双対原理は成り立つ。
という方向性で証明できると思います。
だから定理と言えば定理なのか・・・。
これで数学科卒って嘘ですよね
>>169
この情報だけを持って判断する根拠は何もないでしょう。
自分で考えてきた数学を少しでも話すると絡まれるのは本当に嫌だ。数学板で自由に数学の話が出来ないなんて、どんな状況だよ。
このスレから去るわ。本当に嫌だ。
この情報だけを持って判断する根拠は何もないでしょう。
自分で考えてきた数学を少しでも話すると絡まれるのは本当に嫌だ。数学板で自由に数学の話が出来ないなんて、どんな状況だよ。
このスレから去るわ。本当に嫌だ。
集合論どころか大学で数学を勉強したというかけらが一切見えないんですけど
そんな雰囲気が言葉の端々から漂ってきますね
そんな雰囲気が言葉の端々から漂ってきますね
>>171
そう絡んで何の得をするの？何の生産性もないし、ただ色んな人を不快にするだけでしょう。
絶対にそんな不毛な話はしないけど、ブローアップの話をしましょうか？準同型定理？無限遠点・射影空間？マクローリン展開？帰無仮説？色んな話できますよ。大学で学ぶ範囲であれば。修士でたのは8年も前だけど。
この短時間で色んな分野の定理・言葉を書いたけど、その知識量を持ってわかってもらえないかね。。。
無価値な誹謗中傷してくるやつが一番嫌いだわ。
そう絡んで何の得をするの？何の生産性もないし、ただ色んな人を不快にするだけでしょう。
絶対にそんな不毛な話はしないけど、ブローアップの話をしましょうか？準同型定理？無限遠点・射影空間？マクローリン展開？帰無仮説？色んな話できますよ。大学で学ぶ範囲であれば。修士でたのは8年も前だけど。
この短時間で色んな分野の定理・言葉を書いたけど、その知識量を持ってわかってもらえないかね。。。
無価値な誹謗中傷してくるやつが一番嫌いだわ。
>>168
失礼ですけど数理論理学という分野をご存知でしょうか？
自分も詳しくはないんですが、数理論理学の自然演繹という体系では仮言三段論法は証明されるようです
失礼ですけど数理論理学という分野をご存知でしょうか？
自分も詳しくはないんですが、数理論理学の自然演繹という体系では仮言三段論法は証明されるようです
双対原理て論理学の話をしてたんですか？
実数解が分からない問題
2^(2^(2^(2^(2^2))))
ガロアはなぜ銃で撃ち合いをしたんだろうか？
2^(2^(2^(2^(2^2))))
ガロアはなぜ銃で撃ち合いをしたんだろうか？
𥝱か秭かどっちが正しいのか？
垓の次は秭（し）であると誰もが答えるのにそれ以外の解答例が存在する事実。
垓の次は秭（し）であると誰もが答えるのにそれ以外の解答例が存在する事実。
一(いち) = 10^0
万(まん) = 10^4
億(おく) = 10^8
兆(ちょう) = 10^12 = T(tera)
京(けい) = 10^16
垓(がい) = 10^20
𥝱(じょ), 秭(し) = 10^24 = Y(yotta)
穣(じょう) = 10^28
溝(こう) = 10^32
澗(かん) = 10^36
正(せい) = 10^40
載(さい) = 10^44
極(ごく) = 10^48
恒河沙(ごうがしゃ) = 10^52
阿僧祇(あそうぎ) = 10^56
那由他(なゆた) = 10^60
不可思議(ふかしぎ) = 10^64
無量大数(むりょうたいすう) = 10^68
万(まん) = 10^4
億(おく) = 10^8
兆(ちょう) = 10^12 = T(tera)
京(けい) = 10^16
垓(がい) = 10^20
𥝱(じょ), 秭(し) = 10^24 = Y(yotta)
穣(じょう) = 10^28
溝(こう) = 10^32
澗(かん) = 10^36
正(せい) = 10^40
載(さい) = 10^44
極(ごく) = 10^48
恒河沙(ごうがしゃ) = 10^52
阿僧祇(あそうぎ) = 10^56
那由他(なゆた) = 10^60
不可思議(ふかしぎ) = 10^64
無量大数(むりょうたいすう) = 10^68
宇宙に存在している(観測可能な)原子の数が 10^79～10^81 個だから
ほとんど足りると言える。
宇宙の年齢 138億年 = 4.35×10^17 秒
宇宙の半径 138億光年 = 1.30×10^26 m
宇宙の体積 9.32×10^78 m^3
1m^3 中にの原子の数は 1～10個ぐらいと推測される。 (ほとんど水素)
惑星、衛星、彗星などには重元素もある。
∴ 宇宙に存在している(観測可能な)原子の数は 10^79～10^81 個
ほとんど足りると言える。
宇宙の年齢 138億年 = 4.35×10^17 秒
宇宙の半径 138億光年 = 1.30×10^26 m
宇宙の体積 9.32×10^78 m^3
1m^3 中にの原子の数は 1～10個ぐらいと推測される。 (ほとんど水素)
惑星、衛星、彗星などには重元素もある。
∴ 宇宙に存在している(観測可能な)原子の数は 10^79～10^81 個
f=exp(-x^2)*cos(t)
g=exp(-x^2)*sin(t)
F=[f -g][g f]
A=[∂/∂x -(∂/∂t)][∂/∂t ∂/∂x]
に対して、Xを以下のように定める。
X = {F^(-1)}(AF)
自然数nに対してX^nをx,tで表せ。
g=exp(-x^2)*sin(t)
F=[f -g][g f]
A=[∂/∂x -(∂/∂t)][∂/∂t ∂/∂x]
に対して、Xを以下のように定める。
X = {F^(-1)}(AF)
自然数nに対してX^nをx,tで表せ。
誕生月の確率の問題です。
16人のクラスで、３月生まれがいない確率は？
なお、生徒の生まれる確率は365日ですべて等しい。
16人のクラスで、３月生まれがいない確率は？
なお、生徒の生まれる確率は365日ですべて等しい。
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77
http://2chb.net/r/math/1568026331/
ここの>>1が
「｛｝∈｛｛｝｝ ｛｛｝｝∈｛｛｛｝｝｝ だから ｛｝∈｛｛｛｝｝｝だ」 とか
「｛｛｝｝∈｛｛｛｝｝｝ で ｛｛｝｝は集合 だから ｛｛｝｝⊂｛｛｛｝｝｝だ」 とか
トンチンカンなことばっかりいうんですよｗ
あなたならどう言って、>>1の誤りを理解させますか？
http://2chb.net/r/math/1568026331/
ここの>>1が
「｛｝∈｛｛｝｝ ｛｛｝｝∈｛｛｛｝｝｝ だから ｛｝∈｛｛｛｝｝｝だ」 とか
「｛｛｝｝∈｛｛｛｝｝｝ で ｛｛｝｝は集合 だから ｛｛｝｝⊂｛｛｛｝｝｝だ」 とか
トンチンカンなことばっかりいうんですよｗ
あなたならどう言って、>>1の誤りを理解させますか？
すんません数列の質問なんですけど、数列anに関して
n
Σ k･ak
k=1
って式があってこれを
n
Σ 1/2 * {(k+a)^2 - (k^2+a^)}
k=1
ってやると解ける！って本に書いてあるんですが、これって数列はとにかく ak+bk または ak^2+bk^2の形にしろ！っていう意図って事ですか？
数列ってとにかくak+bkの形にすれば答えが見えてくるって考えでいいんでしょうか？
n
Σ k･ak
k=1
って式があってこれを
n
Σ 1/2 * {(k+a)^2 - (k^2+a^)}
k=1
ってやると解ける！って本に書いてあるんですが、これって数列はとにかく ak+bk または ak^2+bk^2の形にしろ！っていう意図って事ですか？
数列ってとにかくak+bkの形にすれば答えが見えてくるって考えでいいんでしょうか？
≫182
≫184
ありがとうございます！
解答は、0.24ということは分かってるので、
184様が正しいと思います。
計算式はこれかなと思ってましたが、数字が
ばかでかくなるので、う～んとなってましたが、スマホ計算機をいじってたら導きださるれました。。
≫184
ありがとうございます！
解答は、0.24ということは分かってるので、
184様が正しいと思います。
計算式はこれかなと思ってましたが、数字が
ばかでかくなるので、う～んとなってましたが、スマホ計算機をいじってたら導きださるれました。。
n次正方行列Aのi行j列a_ijは、
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
AB=1、BC=2の平行四辺形型の紙ABCDを、対角線ACに沿って折り返す。
重なりの部分の面積のとりうる最大値はいくらか。
という問題が全く解けません。（こないだの河合塾東大模試の問題の求めるを勝手に改変したものでまず解けるかわかりません。）
2時間くらい考えてダメだったのですができる人お願いします。
重なりの部分の面積のとりうる最大値はいくらか。
という問題が全く解けません。（こないだの河合塾東大模試の問題の求めるを勝手に改変したものでまず解けるかわかりません。）
2時間くらい考えてダメだったのですができる人お願いします。
重なりの部分の面積は、二等辺三角形の面積のことです。
すいません、よく考えたらもう解けてました。
取り下げます
取り下げます
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた数とする。
一般項S[n]は
(An+B)/(n^p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた数とする。
一般項S[n]は
(An+B)/(n^p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
>>190
申し訳ございません。
ただしくは以下の通りでございます。
あるn次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
申し訳ございません。
ただしくは以下の通りでございます。
あるn次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
あるn次正方行列Aのi行j列成分(a_j)は、任意のi,jに対して
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
nを自然数とする。
（1）(√2+√3)^nは、負でない整数a[n],b[n],c[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^n
=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2n-1]を求めよ。
（1）(√2+√3)^nは、負でない整数a[n],b[n],c[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^n
=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2n-1]を求めよ。
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた逆数とする。
一般項Snは
(A+B)/(n^q)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
S[n] = Σ[k=0 to n1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた逆数とする。
一般項Snは
(A+B)/(n^q)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
nを自然数とする。
（1）(√2+√5)^nは、負でない整数a[n],b[n],j[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^a
=a[n]+√2*a[n]+√e*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2]を求めよ。
（1）(√2+√5)^nは、負でない整数a[n],b[n],j[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^a
=a[n]+√2*a[n]+√e*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2]を求めよ。
>>195
1/(nCk) = (n+1)B(n+1-k,k+1) = (n+1)∫[0,1] t^k (1-t)^(n-k) dt (Β()はベータ関数)を代入
S[n] = (n+1)∫[0,1] Σ[k=0,n] t^k (1-t)^(n-k) dt
= 2(n+1)∫[0,1/2] ((1-t)^(n+1) - t^(n+1))/(1-2t) dt
t^(n+1)<(1/2)^(n+1), (1-2t)<(1-t)^2 (0<t<1/2) を代入
S[n] > (1+1/n)(2-(n+2)/2^n)
(1-t)^(n+1)<e(-(n+1)t), t^(n+1)>0, 1/(1-2t)<e^(3t) (0<t<1/4)
((1-t)^(n+1) - t^(n+1))/(1-2t) < 2(3/4)^(n+1) (1/4<t<1/2) を代入
S[n] < 2(n+1)/(n-2) + (n+1)(3/4)^(n+1)
(1) S[n]→2 (n→∞)
(2) p=1
(3) n=4,5,6を同時に満たすA,Bは存在しない
1/(nCk) = (n+1)B(n+1-k,k+1) = (n+1)∫[0,1] t^k (1-t)^(n-k) dt (Β()はベータ関数)を代入
S[n] = (n+1)∫[0,1] Σ[k=0,n] t^k (1-t)^(n-k) dt
= 2(n+1)∫[0,1/2] ((1-t)^(n+1) - t^(n+1))/(1-2t) dt
t^(n+1)<(1/2)^(n+1), (1-2t)<(1-t)^2 (0<t<1/2) を代入
S[n] > (1+1/n)(2-(n+2)/2^n)
(1-t)^(n+1)<e(-(n+1)t), t^(n+1)>0, 1/(1-2t)<e^(3t) (0<t<1/4)
((1-t)^(n+1) - t^(n+1))/(1-2t) < 2(3/4)^(n+1) (1/4<t<1/2) を代入
S[n] < 2(n+1)/(n-2) + (n+1)(3/4)^(n+1)
(1) S[n]→2 (n→∞)
(2) p=1
(3) n=4,5,6を同時に満たすA,Bは存在しない
>>203
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた数とする。
一般項S[n]は
(An+B)/(n^p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた数とする。
一般項S[n]は
(An+B)/(n^p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
nは6以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n-n] 3/(n,d)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限
lim[n to infty] A[n]
を求めろ
（2）（1）で求めた極限値をLとしろ。
1以上の任意の自然数nに対して
K < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる微分方程式pを求めろ。
（3）pは（2）で求めた数としろ。
一般項S[n]は
(An+B)/(p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数だ。
S[n] = Σ[k=0 to n-n] 3/(n,d)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限
lim[n to infty] A[n]
を求めろ
（2）（1）で求めた極限値をLとしろ。
1以上の任意の自然数nに対して
K < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる微分方程式pを求めろ。
（3）pは（2）で求めた数としろ。
一般項S[n]は
(An+B)/(p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数だ。
狭義単調増加と単調増加ってどう違うんですか？
前>>192
ABとBCのなす角をθ、ACについて点Bを折り返した点をB'、B'CとADの交点をE、EからACに下ろした垂線の足をHとすると、
θ=60°のとき、
△ACE=(1/2)･AE･(ABsin60°)
=(1/2)･1･(1･√3/2)
=√3/4
θ=90°のとき、
ACの中点をMとすると、
△ACE=(1/2)AC･EM
=(1/2)√5･(√5/4)
=5/8
θ＞90°のときはどうだろう？ ACは長くなって最大3だけど三角形は高さが低くなってうすくなる。
5/8より大きくなることがあるかどうか。
ABとBCのなす角をθ、ACについて点Bを折り返した点をB'、B'CとADの交点をE、EからACに下ろした垂線の足をHとすると、
θ=60°のとき、
△ACE=(1/2)･AE･(ABsin60°)
=(1/2)･1･(1･√3/2)
=√3/4
θ=90°のとき、
ACの中点をMとすると、
△ACE=(1/2)AC･EM
=(1/2)√5･(√5/4)
=5/8
θ＞90°のときはどうだろう？ ACは長くなって最大3だけど三角形は高さが低くなってうすくなる。
5/8より大きくなることがあるかどうか。
不定積分を求めよ
（1）∫1/(3^x+1) dx
（2）∫(log(logx))/xlogx dx
（3）∫(e^(2x))/(√(e^x+1)) dx
（1）∫1/(3^x+1) dx
（2）∫(log(logx))/xlogx dx
（3）∫(e^(2x))/(√(e^x+1)) dx
置換
置換
アンド置換
置換
アンド置換
松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。
以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。
以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？
なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。
定理3
I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。
証明
f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。
f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。
これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。
以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。
以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？
なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。
定理3
I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。
証明
f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。
f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。
これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。
y=3x^2+12-4の切片と頂点の求め方教えて
答えが
頂点x=-2 y=-16
なのだが途中式分からん
y=3(x^2+4)-4
y=3(x+2)^2-4-4
y=3(x+2)^2-8
になっちゃう…
答えが
頂点x=-2 y=-16
なのだが途中式分からん
y=3(x^2+4)-4
y=3(x+2)^2-4-4
y=3(x+2)^2-8
になっちゃう…
切片はただ0代入するだけでそ
頂点は……平方完成するとき3が掛けられてること忘れないであげてください
引くのは2^2=4ではなく3*2^2=12
頂点は……平方完成するとき3が掛けられてること忘れないであげてください
引くのは2^2=4ではなく3*2^2=12
逆に
> 3(x+2)^2
を展開するとどうなるか考えてみたら？
> 3(x+2)^2
を展開するとどうなるか考えてみたら？
P%,Q%,R%で当たるくじをそれぞれp回,q回,r回引いて合計でn回当たる確率
を表すうまい式や計算手段を教えてください
n=1で
P(1-P)^(p-1)*Q^q*R^r*pC1
+Q(1-Q)^(q-1)*R^r*P^p*qC1
+R(1-R)^(r-1)*P^p*Q^q*rC1
というような式をnごとに人力で立ててエクセルで解いてるのが現状です
を表すうまい式や計算手段を教えてください
n=1で
P(1-P)^(p-1)*Q^q*R^r*pC1
+Q(1-Q)^(q-1)*R^r*P^p*qC1
+R(1-R)^(r-1)*P^p*Q^q*rC1
というような式をnごとに人力で立ててエクセルで解いてるのが現状です
f(x) = (1-P+Px)^p･(1-Q+Qx)^q･(1-R+Rx)^r
における x^n の係数
Σ[0≦i≦p, 0≦j≦q, 0≦k≦r, i+j+k=n]
pCi (1-P)^(p-i) P^i ･ qCj (1-Q)^(q-j) Q^j ･ rCk (1-R)^(r-k) R^k,
における x^n の係数
Σ[0≦i≦p, 0≦j≦q, 0≦k≦r, i+j+k=n]
pCi (1-P)^(p-i) P^i ･ qCj (1-Q)^(q-j) Q^j ･ rCk (1-R)^(r-k) R^k,
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。
ところが、 実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する
∫_{a}^{b} f(t) dt
の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、
∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt
によって定義しています。
統一性が全くありませんよね。
∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。
ところが、 実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する
∫_{a}^{b} f(t) dt
の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、
∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt
によって定義しています。
統一性が全くありませんよね。
思ったのですが、
実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。
実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。
>>218
実変数でしか区間が意味ねーじゃん
複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
証明は変わらんな
実変数でしか区間が意味ねーじゃん
複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
証明は変わらんな
>>229
松坂和夫さんが、
「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」
と書いているのは、そういうことを言っているのではないことは明らかです。
松坂和夫さんが、
「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」
と書いているのは、そういうことを言っているのではないことは明らかです。
>>229
＞複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
＞証明は変わらんな
ですよね。
松坂和夫さんは一体何を考えていたのでしょうか？
他の本からのコピペ＆編集作業に失敗したということでしょうか？
松坂和夫さんは、「まえがき」に以下のように書いています：
「
結果はやはり、両氏の期待や理想からは程遠いものになった。
そのことは遺憾であるけれども、やむを得ないことでもある。
」
＞複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
＞証明は変わらんな
ですよね。
松坂和夫さんは一体何を考えていたのでしょうか？
他の本からのコピペ＆編集作業に失敗したということでしょうか？
松坂和夫さんは、「まえがき」に以下のように書いています：
「
結果はやはり、両氏の期待や理想からは程遠いものになった。
そのことは遺憾であるけれども、やむを得ないことでもある。
」
リーマン予想が合ってるのか分からないゾ
誰か解いてくれ
誰か解いてくれ
まーたコイツか
なんか複素関数論って基本的なアイディアは難しいとは思いませんが、厳密にやろうとすると、
途端に非常に難しくなりますね。
ジョルダンの定理とか。
途端に非常に難しくなりますね。
ジョルダンの定理とか。
グリーンの定理というのがあります。
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
というものです。
証明は、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
と
∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy
とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
が成り立つをことを証明します。
なぜ、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？
なんか冗長なような気がします。
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
というものです。
証明は、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
と
∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy
とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
が成り立つをことを証明します。
なぜ、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？
なんか冗長なような気がします。
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
をグリーンの定理とよび、
その系として、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
を書けばいいように思います。
をグリーンの定理とよび、
その系として、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
を書けばいいように思います。
2次正方行列
A=[1 2][3 4]
に対し、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - b(n)c(n)が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。
A=[1 2][3 4]
に対し、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - b(n)c(n)が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。
>>237
グリーンの定理の証明も大体のアイディアは難しくありませんが、厳密な証明は
Ω を有限個の縦線領域と横線領域にどうやって分割するのかとか考えると、
おそらくかなり面倒なことになるなと思われます。
グリーンの定理の証明も大体のアイディアは難しくありませんが、厳密な証明は
Ω を有限個の縦線領域と横線領域にどうやって分割するのかとか考えると、
おそらくかなり面倒なことになるなと思われます。
2次正方行列
A=[1 2][4 4]
に対し、
A^a=[n n][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - c(n)c(n)が正であるかを判3。
A=[1 2][4 4]
に対し、
A^a=[n n][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - c(n)c(n)が正であるかを判3。
>>225
おお凄い全ｎ一気に求まりました！気持ちいい！
多項定理っぽい表現で網羅できるのは目からうろこでした
ありがとうございます
おお凄い全ｎ一気に求まりました！気持ちいい！
多項定理っぽい表現で網羅できるのは目からうろこでした
ありがとうございます
確率母函数
自分は機械系でイプシロンデルタはカリキュラムに無いのですが数学の講師から工学部こそイプシロンデルタをやるべきと言われました。
工学的にイプシロンデルタを活用するのはどのような場合がありますか?
工学的にイプシロンデルタを活用するのはどのような場合がありますか?
工学的に聞け
分かりませんお願いします
2次正方行列
A=[1 2][3 4]
を考える。nを自然数とし、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
と表すとき、
a(n)d(n) - b(n)c(n)
が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。
2次正方行列
A=[1 2][3 4]
を考える。nを自然数とし、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
と表すとき、
a(n)d(n) - b(n)c(n)
が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。
わからないんですね
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
演習問題に、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
↑こういう定積分を見たときに、それに応じてどういう複素線積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。
演習問題に、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
↑こういう定積分を見たときに、それに応じてどういう複素線積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。
いや分からない問題を書けや
一番下の証明で右辺のexp内の2項目はどこから来たんですか？
>>245
理工学部でεδ論法習ったけど使わなかった
あらゆる科学分野に出てくる微積の根っ子だから触れた感じ
というか『論法』の時点で工学の対象ではないので活用するも何もない
普通に車を運転するだけなら工学の知識が要らないのと同じ
理工学部でεδ論法習ったけど使わなかった
あらゆる科学分野に出てくる微積の根っ子だから触れた感じ
というか『論法』の時点で工学の対象ではないので活用するも何もない
普通に車を運転するだけなら工学の知識が要らないのと同じ
論法自体に有用性がないのはご案内の通り。
大事なのは具体的な関数(或いは数列にこの論法を適用するとした場合の不等式の評価に関する実践的な工夫。
このあれこれの考案訓練は良い演習だと思うよ。
大事なのは具体的な関数(或いは数列にこの論法を適用するとした場合の不等式の評価に関する実践的な工夫。
このあれこれの考案訓練は良い演習だと思うよ。
nを3以上の奇数とする。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。
成立しない
[1, i-1]^4＝-E
[1, -1]
[1, -1]
成立しない
nを5以上の奇数とする。
n次正行列のうち、そのn個の成分のうち少なくとも1つが虚数のうち、残る全てが0である実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n個の成分のうち唯一つが虚数であるものの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Aが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
n次正行列のうち、そのn個の成分のうち少なくとも1つが虚数のうち、残る全てが0である実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n個の成分のうち唯一つが虚数であるものの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Aが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
60%の確率で勝てるゲームがあるとする。
負けると賭け金没収、勝つと賭け金は倍になって戻ってくる。
所持金1万円、1000円単位で一度にいくら賭けてもいい。
所持金が0になったら終わり、0になるまで何回でもゲームはできる。
最も効率よくお金を増やす戦略は？
負けると賭け金没収、勝つと賭け金は倍になって戻ってくる。
所持金1万円、1000円単位で一度にいくら賭けてもいい。
所持金が0になったら終わり、0になるまで何回でもゲームはできる。
最も効率よくお金を増やす戦略は？
何をもって効率が良いとするのか
条件分岐しないから全部出そうがどうやろうが一緒なんだが。
一度に全て無くなるのをリスクと捉えるなら最小単位でやって時間稼ぐだけだし効率ってなんぞや。
一度に全て無くなるのをリスクと捉えるなら最小単位でやって時間稼ぐだけだし効率ってなんぞや。
続けたら確実に0になるし
>>264
効率が良い、とは目標金額に届くまでの手数が最も少なくなりそうな賭け方のこと？だとしたらリスクガン無視で全ツッパだけど
現実的には手数が多くなることを減点要素としないから、なるべく小さく張っていけば良いと思う
所持金がゼロになることの「罰」はどれくらいなのか、だよね
効率が良い、とは目標金額に届くまでの手数が最も少なくなりそうな賭け方のこと？だとしたらリスクガン無視で全ツッパだけど
現実的には手数が多くなることを減点要素としないから、なるべく小さく張っていけば良いと思う
所持金がゼロになることの「罰」はどれくらいなのか、だよね
等面四面体Sの各側面は、3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形Tである。
0<a≤b≤c<a+bかつa+b+c=1の条件下で実数a,b,cを動かすとき、Sの体積を最大にするa,b,cを求めよ。
0<a≤b≤c<a+bかつa+b+c=1の条件下で実数a,b,cを動かすとき、Sの体積を最大にするa,b,cを求めよ。
nを3以上の奇数とする。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。
>>273
スレチです
くだらねぇ問題はここへ書け
http://2chb.net/r/math/1412425325/
スレチです
くだらねぇ問題はここへ書け
http://2chb.net/r/math/1412425325/
以下を示せ。
・a[n] = √(3n^2 + 1) が整数となる自然数nは有限個しか存在しない。
・任意の正の実数εに対し、ある自然数の組(k,m)が存在して、|a[k] - m| < εとなるようにできる。
・a[n] = √(3n^2 + 1) が整数となる自然数nは有限個しか存在しない。
・任意の正の実数εに対し、ある自然数の組(k,m)が存在して、|a[k] - m| < εとなるようにできる。
成立しない
mm - 3nn = 1 (いわゆるペル方程式)の自然数解(m,n)は無数にある。 >>279
(m,n) = (1,0) (2,1) (7,4) (26,15) (97,56) ････
・混合漸化式
m_(i+1) = 2m_i + 3n_i, n_(i+1) = m_i + 2n_i,
・漸化式
m_(i+1) = 4m_i - m_(i-1), n_(i+1) = 4n_i - n_(i-1),
・特性値
α = 2-√3, β = 2+√3,
・ビネの公式
m_i = (β^i ＋ α^i)/2, n_i = (β^i - α^i)/(2√3),
m_i http://oeis.org/A001075
n_i http://oeis.org/A001353
(m,n) = (1,0) (2,1) (7,4) (26,15) (97,56) ････
・混合漸化式
m_(i+1) = 2m_i + 3n_i, n_(i+1) = m_i + 2n_i,
・漸化式
m_(i+1) = 4m_i - m_(i-1), n_(i+1) = 4n_i - n_(i-1),
・特性値
α = 2-√3, β = 2+√3,
・ビネの公式
m_i = (β^i ＋ α^i)/2, n_i = (β^i - α^i)/(2√3),
m_i http://oeis.org/A001075
n_i http://oeis.org/A001353
mm - 3nn = 1, a[n] > (√3)n より
|a[n] - m| = 1/(a[n] + m) < 1/(2a[n]) < 1/{2(√3)n} < ε,
|a[n] - m| = 1/(a[n] + m) < 1/(2a[n]) < 1/{2(√3)n} < ε,
一筆書きで書く☆マークに2本の線を引いてできる三角形の数って最大何個ですか？
すいません
「f(x)を三次式とする
f(f(x))=g(x)とする時
g(x)-xはf(x)-xで割れることを示せ」
という問題の解説がわかりません
剰余の定理について重解の時は情報が足りないので微分して示す、と聞いたのですが
なぜ重解のケースも一緒に処理できるのでしょうか？
「f(x)を三次式とする
f(f(x))=g(x)とする時
g(x)-xはf(x)-xで割れることを示せ」
という問題の解説がわかりません
剰余の定理について重解の時は情報が足りないので微分して示す、と聞いたのですが
なぜ重解のケースも一緒に処理できるのでしょうか？
例えば重解がひとつあるとして、f(x)-x=(x-α)(x-α)(x-β)とおくと
g(α)=α g(β)=β しか分からないので因数定理からいえるのはg(x)-xが(x-α)(x-β)で割れることだけではないかと思ったのですが
なぜg(x)-xが(x-α)^2で割れることも言えるのでしょうか
g(α)=α g(β)=β しか分からないので因数定理からいえるのはg(x)-xが(x-α)(x-β)で割れることだけではないかと思ったのですが
なぜg(x)-xが(x-α)^2で割れることも言えるのでしょうか
(x-α)(x-α)(x-β)
>>287
その解答はダメなんじゃないかな？
一応重解を持たない多項式の列fiでlim fi(x)→f(x)となるものを用意してgi(x)=fi(fi(x))とおけば、lim gi(x)-x = g(x)-x、全てのiでgi(x)-xがfi(x)-xで割り切れる事から行けるといえばいける。
でも今の議論を省略するのはダメだろし。
その解答はダメなんじゃないかな？
一応重解を持たない多項式の列fiでlim fi(x)→f(x)となるものを用意してgi(x)=fi(fi(x))とおけば、lim gi(x)-x = g(x)-x、全てのiでgi(x)-xがfi(x)-xで割り切れる事から行けるといえばいける。
でも今の議論を省略するのはダメだろし。
>>289
ありがとうございます。
なるほどそれなら言えそうですね
これ一応河合塾が出してる「ハイレベル理系数学」という有名な参考書なので
何か説明しなくてもよい根拠があるのだろうという気がしてるのですが
わかる方いたらお願いします。
ありがとうございます。
なるほどそれなら言えそうですね
これ一応河合塾が出してる「ハイレベル理系数学」という有名な参考書なので
何か説明しなくてもよい根拠があるのだろうという気がしてるのですが
わかる方いたらお願いします。
f(x) を任意の n 次多項式とする。
h(x) := f(x) - x
とおく。
f(f(x)) - x = h(h(x) + x) + h(x) + x - x = h(h(x) + x) + h(x)
(f(f(x)) - x) / (f(x) - x) = (h(h(x) + x) + h(x)) / h(x)
である。
h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)
は、
とかける。
よって、
f(f(x)) - x は f(x) - x で割り切れる。
h(x) := f(x) - x
とおく。
f(f(x)) - x = h(h(x) + x) + h(x) + x - x = h(h(x) + x) + h(x)
(f(f(x)) - x) / (f(x) - x) = (h(h(x) + x) + h(x)) / h(x)
である。
h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)
は、
とかける。
よって、
f(f(x)) - x は f(x) - x で割り切れる。
>>291
なぜ、このような解答にしないのでしょうか？
因数定理など使う必要もありません。
簡単で分かりやすいですよね。
なぜ、このような解答にしないのでしょうか？
因数定理など使う必要もありません。
簡単で分かりやすいですよね。
>>290
もちろん、ダメです。
g(x) = x^2 - 3*x + 2 = (x - 1) * (x - 2)
f(x) = x^2 - 2*x + 1 = (x - 1)^2
f(1) = 0 ですが、 g(x) は (x - 1)^2 で割れません。
もちろん、ダメです。
g(x) = x^2 - 3*x + 2 = (x - 1) * (x - 2)
f(x) = x^2 - 2*x + 1 = (x - 1)^2
f(1) = 0 ですが、 g(x) は (x - 1)^2 で割れません。
>>290
つまり一般には通用しない論法を使っています。
しかし、これはひどいですね。
というか、このような間違った論法を使う高校生は結構いそうですよね。
一応、数学の講師ならば、そういう高校生をいままで見てきたはずです。
講師ならば、そのような高校生の誤りを正すという立場のはずです。
恥さらしですね。
つまり一般には通用しない論法を使っています。
しかし、これはひどいですね。
というか、このような間違った論法を使う高校生は結構いそうですよね。
一応、数学の講師ならば、そういう高校生をいままで見てきたはずです。
講師ならば、そのような高校生の誤りを正すという立場のはずです。
恥さらしですね。
> h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)
>
> は、
>
> とかける。
これ何？因数定理使っているんじゃないの？
改行が邪魔、見にくい
>
> は、
>
> とかける。
これ何？因数定理使っているんじゃないの？
改行が邪魔、見にくい
どこに因数定理を使ってるんでしょうか？
h(x) = a_n * x^n + … + a_1 * x + a0
h(h(x) + x)
=
a_n * (h(x) + x)^n + … + a_1 * (h(x) + x) + a0
=
(h(x) の 1 次以上の多項式) + a_n * x^n + … + a_1 * x + a0
=
(h(x) の 1 次以上の多項式) + h(x)
h(h(x) + x)
=
a_n * (h(x) + x)^n + … + a_1 * (h(x) + x) + a0
=
(h(x) の 1 次以上の多項式) + a_n * x^n + … + a_1 * x + a0
=
(h(x) の 1 次以上の多項式) + h(x)
予備校の講師の説明のほうが数学者の説明よりも分かりやすいと感じる人がいるというのが理解できません。
長岡さんとかなぜ人気があるのでしょうか？
長岡さんとかなぜ人気があるのでしょうか？
メチャクチャwwww
このスレッドは知的障害者が私物化したスレです
このスレで質問するより知恵袋を使った方がマシなので知恵袋を使いましょう
このスレで質問するより知恵袋を使った方がマシなので知恵袋を使いましょう
xの3次式fに対してf=0が3つの異なる解x=αβγをもつと仮定した場合、
因数定理から、より高次の多項式gがfで割り切れることが言える場合、
fが重複度1の重解αを持つ場合も、gは(x-α)^2で割り切れる、が一般に言えるのでしょうか？
それはなぜでしょうか？
極限を使う説明はなんとなく理解できますが高校範囲でいうとしたらどうなりますでしょうか
因数定理から、より高次の多項式gがfで割り切れることが言える場合、
fが重複度1の重解αを持つ場合も、gは(x-α)^2で割り切れる、が一般に言えるのでしょうか？
それはなぜでしょうか？
極限を使う説明はなんとなく理解できますが高校範囲でいうとしたらどうなりますでしょうか
g(x)がf(x)で割り切れてf(x)が(x-α)^2で割り切れるならg(x)が(x-α)^2で割り切れるのは当然のように思えるが問題違ってきてないか？
>>304
言いたいことはこうです。
三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と割れたとします(Rは余りで2次式以下)
この時gがf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、
Rは0でgはfで割れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)
α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました
言いたいことはこうです。
三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と割れたとします(Rは余りで2次式以下)
この時gがf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、
Rは0でgはfで割れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)
α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました
すいません、割り算の「割る」と「割り切れる」をきちんと区別しない日本語で書いてしまいました。
式でわかるとは思われますので意図をくんでください
式でわかるとは思われますので意図をくんでください
コレは？
f(f(x)) - x
=f(f(x)) - f(x) + f(x) - x
=(f(x)-a)(f(x)-b)(f(x)-c) + (f(x)-x)
第２項がf(x)-xで割り切れるのは自明。
第1項のカッコ内がそれぞれx-a、x-b、x-cで割り切れるので桶
f(f(x)) - x
=f(f(x)) - f(x) + f(x) - x
=(f(x)-a)(f(x)-b)(f(x)-c) + (f(x)-x)
第２項がf(x)-xで割り切れるのは自明。
第1項のカッコ内がそれぞれx-a、x-b、x-cで割り切れるので桶
>>307
ありがとうございます。
そういう別解は2つほど載っていて、理解できております。(因数定理で解いたあとうまく行かないなぁと思ってそれで解きました)
ありがとうございます。
そういう別解は2つほど載っていて、理解できております。(因数定理で解いたあとうまく行かないなぁと思ってそれで解きました)
>>305
すいません、書き方が悪かったので改めます
三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と書けたとします(Rは余りで2次式以下)
この時gの各項の係数がα,β,γの対称式で定まり、
gはf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、
Rは0でgはfで割り切れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)
α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました
すいません、書き方が悪かったので改めます
三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と書けたとします(Rは余りで2次式以下)
この時gの各項の係数がα,β,γの対称式で定まり、
gはf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、
Rは0でgはfで割り切れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)
α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました
1830
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
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このスレの質問及び回答は全て知的障害者が行います
健常者の方は知恵袋を使いましょう
健常者の方は知恵袋を使いましょう
>>313
私はいつも出題してる人ではないのですが…
普通に勉強しててわからなかったので聞いています
私はいつも出題してる人ではないのですが…
普通に勉強しててわからなかったので聞いています
>>309
gをαβγxの式と見なしてαβxを固定してγを動かすとすると
gはx=γで0という条件から因数定理よりgは(γ-x)では割り切れますね
同様にgは(x-α)(x-β)(x-γ)で割れる
のはわかりました
ここから単純にγ=αとすれば良い？んですかね。なんかわかったような分からないような…
剰余定理で考えるのが悪かった感じでしょうか。
gをαβγxの式と見なしてαβxを固定してγを動かすとすると
gはx=γで0という条件から因数定理よりgは(γ-x)では割り切れますね
同様にgは(x-α)(x-β)(x-γ)で割れる
のはわかりました
ここから単純にγ=αとすれば良い？んですかね。なんかわかったような分からないような…
剰余定理で考えるのが悪かった感じでしょうか。
>>318
ん、gはαβγxの式でx=αβγに対してg=0が条件なので言えているのではないでしょうか？
ん、gはαβγxの式でx=αβγに対してg=0が条件なので言えているのではないでしょうか？
>>317
重解とはどのようなものだと定義するんですか？
上の方ではα=γのとき重解と呼ぶとあなたが言ったので、(x-α)^2で割れるのは明らかですよね
もし、α=γで重解を定義しないのであれば、あなたの疑問に意味が出るかもしれませんよね
重解とはなんでしょうか
重解とはどのようなものだと定義するんですか？
上の方ではα=γのとき重解と呼ぶとあなたが言ったので、(x-α)^2で割れるのは明らかですよね
もし、α=γで重解を定義しないのであれば、あなたの疑問に意味が出るかもしれませんよね
重解とはなんでしょうか
g(x)＝f(f(x))という関係式は
関数の形によらず「fの任意の解」について証明に使われているような
関係式を導き出せるため実質的に重解の場合をフォロー出来ていてg(x)-xがf(x)-xで割り切れる事は慣れてれば分かるといえば分かる
ただし剰余の定理、としてはもちろん直接重解の場合には使えないので極限などでフォローする必要はある
関数の形によらず「fの任意の解」について証明に使われているような
関係式を導き出せるため実質的に重解の場合をフォロー出来ていてg(x)-xがf(x)-xで割り切れる事は慣れてれば分かるといえば分かる
ただし剰余の定理、としてはもちろん直接重解の場合には使えないので極限などでフォローする必要はある
近似でやるなら真面目にやるなら
F(x)＝f(x)-x＝(x-α)(x-α)(x-β)
とでもおいて
f(x)＝F(x)+xに注意して
F_n(x)＝(x-α-(β-α)/2n)(x-α)(x-β)
f_n(x)＝F_n(x)＋x
g_n(x)＝f_n(f_n(x) )
G_n(x)＝g_n(x)-x
とでも置けばF_n(x)は重解を持たないので
同じように
G_n(x)＝F_n(x) Q_n(x)
と表せる事がわかる
極限を飛ばすとある整式Qで
G(x)＝F(x)Q(x)
となる事がわかる
一応高校の範囲でできるとは思う
ただしチェックがすごく面倒
F(x)＝f(x)-x＝(x-α)(x-α)(x-β)
とでもおいて
f(x)＝F(x)+xに注意して
F_n(x)＝(x-α-(β-α)/2n)(x-α)(x-β)
f_n(x)＝F_n(x)＋x
g_n(x)＝f_n(f_n(x) )
G_n(x)＝g_n(x)-x
とでも置けばF_n(x)は重解を持たないので
同じように
G_n(x)＝F_n(x) Q_n(x)
と表せる事がわかる
極限を飛ばすとある整式Qで
G(x)＝F(x)Q(x)
となる事がわかる
一応高校の範囲でできるとは思う
ただしチェックがすごく面倒
演習問題に
∫ 1/{aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^2 dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう積分を見たときに、それに応じてどういう置き換えを考えればいいか
を思いつかないといけないですよね。
∫ 1/{aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^2 dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう積分を見たときに、それに応じてどういう置き換えを考えればいいか
を思いつかないといけないですよね。
>>323
f(x)-x=0の重解が g(x)-x=0の解であることは分かるが、g(x)-x=0の
重解でもあるとどうして言えるのかってことなのでは？
確かに自明とはいいがたいような、、、
ということで、
f(x)-x = 0 の重解をαとすると、f(x)-x=Q(x)(x-α)^2とおけるので、
f(x) =x+Q(x)(x-α)^2
よって、
g(x)=f(f(x))
（ここで、一旦 f(x)をf で置き換えてからf(x)に戻すと簡単で）
=f(x)+Q(f(x))(f(x)-α)^2
=x+Q(x)(x-α)^2+Q(f(x))(f(x)-α)^2
よって、
g(x)-x= {Q(x)+Q(f(x)｝(x-α)^2
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
f(x)-x=0の重解が g(x)-x=0の解であることは分かるが、g(x)-x=0の
重解でもあるとどうして言えるのかってことなのでは？
確かに自明とはいいがたいような、、、
ということで、
f(x)-x = 0 の重解をαとすると、f(x)-x=Q(x)(x-α)^2とおけるので、
f(x) =x+Q(x)(x-α)^2
よって、
g(x)=f(f(x))
（ここで、一旦 f(x)をf で置き換えてからf(x)に戻すと簡単で）
=f(x)+Q(f(x))(f(x)-α)^2
=x+Q(x)(x-α)^2+Q(f(x))(f(x)-α)^2
よって、
g(x)-x= {Q(x)+Q(f(x)｝(x-α)^2
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
>>326,327
あっ、簡単に修正できるわ。何度も自己レス、すまんｗ
最後の「よって」以降をこう書き換えてくれ。
ここで、
f(x)-α= Q(x)(x-α)^2+(x-α)=(x-α){Q(x)(x-α)+1}
より、
g(x)-x =(x-α)^2{Q(x)+Q(f(x))[Q(x)(x-α)+1]^2}
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
あっ、簡単に修正できるわ。何度も自己レス、すまんｗ
最後の「よって」以降をこう書き換えてくれ。
ここで、
f(x)-α= Q(x)(x-α)^2+(x-α)=(x-α){Q(x)(x-α)+1}
より、
g(x)-x =(x-α)^2{Q(x)+Q(f(x))[Q(x)(x-α)+1]^2}
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
>>286
h(x,y)=f(y)-f(x)
h(x,x)=0
h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(f(x))-f(x)={f(x)-x}k(x,f(x))
g(x)-x=f(f(x))-x=f(f(x))-f(x)+f(x)-x={f(x)-x}{k(x,f(x))+1}
h(x,y)=f(y)-f(x)
h(x,x)=0
h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(f(x))-f(x)={f(x)-x}k(x,f(x))
g(x)-x=f(f(x))-x=f(f(x))-f(x)+f(x)-x={f(x)-x}{k(x,f(x))+1}
>>330
>h(x,y)=f(y)-f(x)
>h(x,x)=0
>h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(x)=anx^n+…+a1x+a0
f(y)-f(x)=an(y^n-x^n)+…+a1(y-x)=(y-x)[an{y^(n-1)+…+x^(n-1)}+…+a1]
>h(x,y)=f(y)-f(x)
>h(x,x)=0
>h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(x)=anx^n+…+a1x+a0
f(y)-f(x)=an(y^n-x^n)+…+a1(y-x)=(y-x)[an{y^(n-1)+…+x^(n-1)}+…+a1]
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第2週 解析性』を読んでいます。
テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、
exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。
次に、
log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第1週 極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように
説明してます。
R_n = (-1)^(n+1) * x^n / (n * (1 + θ*x)^n)
の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。
最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。
もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、
|R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞
となってしまいます。
R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。
志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？
テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、
exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。
次に、
log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第1週 極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように
説明してます。
R_n = (-1)^(n+1) * x^n / (n * (1 + θ*x)^n)
の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。
最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。
もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、
|R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞
となってしまいます。
R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。
志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？
n=1,2,...に対し以下の性質を全て持つ数列{a[n]}は存在しないことを示せ。
・a[1]=2019
・a[i]が平方数にならないiはちょうど2019個存在する。
・a[n]は、ある自然数k,mを用いて、漸化式a[n+1]=k*a[n]+mにより定義される。
・a[1]=2019
・a[i]が平方数にならないiはちょうど2019個存在する。
・a[n]は、ある自然数k,mを用いて、漸化式a[n+1]=k*a[n]+mにより定義される。
コーシー型の剰余項であれば直接いける
ラグランジュ剰余項では難しい
ラグランジュ剰余項では難しい
>>335
そうだね。xを任意の定数とみなして、h(y)=f(y)-f(x)
とおけば理解しやすいかも。
そうだね。xを任意の定数とみなして、h(y)=f(y)-f(x)
とおけば理解しやすいかも。
多角形の内角の和の公式(n-2)πに対応するような多面体の公式ってあるのですか？
4面体に分割して計算してみなよ
>>336
-1 < x < 0 < θ < 1 から
1+θx > 1-θ > 0 かつ 1+θx > 1+x > 0,
f(x) = log(1+x),
| f^(n)(θx) | = (n-1)! /(1+θx)^n < (n-1)! /[(1+x)(1-θ)^(n-1)],
∴ コーシー剰余は
| R_n | = {1/(n-1)!} |f^(n)(θx) (1-θ)^(n-1) x^n |
< |x|^n /(1+x) → 0 (n→∞)
でござったか。。。。
-1 < x < 0 < θ < 1 から
1+θx > 1-θ > 0 かつ 1+θx > 1+x > 0,
f(x) = log(1+x),
| f^(n)(θx) | = (n-1)! /(1+θx)^n < (n-1)! /[(1+x)(1-θ)^(n-1)],
∴ コーシー剰余は
| R_n | = {1/(n-1)!} |f^(n)(θx) (1-θ)^(n-1) x^n |
< |x|^n /(1+x) → 0 (n→∞)
でござったか。。。。
f(x)=sin(x)に対し、関数g(x)とh(x)を
g[1](x)=f(x), g[n+1](x)=f(g[n](x))
h[1](x)=f(x), h[n+1](x)=g[n](f(x))
と定める。
aを実数とするとき、以下の極限を求めよ。
lim[n to infty] g[n](a)/h[n](a)
g[1](x)=f(x), g[n+1](x)=f(g[n](x))
h[1](x)=f(x), h[n+1](x)=g[n](f(x))
と定める。
aを実数とするとき、以下の極限を求めよ。
lim[n to infty] g[n](a)/h[n](a)
wwwww
ワッチョイ、IP表示議論スレ
http://2chb.net/r/math/1567953023/
http://2chb.net/r/math/1567953023/
この関数のxでの微分を教えていただけないでしょうか？
項が3つあって苦戦してます。できれば過程も書いていただけると助かります。
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
項が3つあって苦戦してます。できれば過程も書いていただけると助かります。
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
>>345
ありがたく思え
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
g(x)＝(x^n)(1-2x)
h(x)＝(1-x)^n
とおき
f'=g'h+gh'を計算
ありがたく思え
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
g(x)＝(x^n)(1-2x)
h(x)＝(1-x)^n
とおき
f'=g'h+gh'を計算
皆さんの力を借りたいのですが
1×10²-1×x²-1×(10-x)²=42
という2次方程式があってこれを解くと
x²-10x+21=0
(x-3)(x-7)
x=3,x=7
と解説集に書いてあるんですけど
何度解いても
-x²+10x-21
にしかなりません。
途中式も入れて解いていただけませんでしょうか？
1×10²-1×x²-1×(10-x)²=42
という2次方程式があってこれを解くと
x²-10x+21=0
(x-3)(x-7)
x=3,x=7
と解説集に書いてあるんですけど
何度解いても
-x²+10x-21
にしかなりません。
途中式も入れて解いていただけませんでしょうか？
マイナスかけるとどうなりますか？
>>345
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
3つの関数の積の微分は2関数の積の微分公式から導けて
(fgh)'=(fg)'h+fgh'=(f'g+fg')h+fgh'
=f'gh+fg'h+fgh'
=fgh*[(f'/f)+(g'/g)+(h'/h)]
よって
f'=f(x)*[(n/x)-(2/1-2x)-(n/1-x)]
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
3つの関数の積の微分は2関数の積の微分公式から導けて
(fgh)'=(fg)'h+fgh'=(f'g+fg')h+fgh'
=f'gh+fg'h+fgh'
=fgh*[(f'/f)+(g'/g)+(h'/h)]
よって
f'=f(x)*[(n/x)-(2/1-2x)-(n/1-x)]
∫ f(x)dx = ∫{x(1-x)}^n (1-2x)dx
= ∫{x(1-x)}^n {x(1-x)}' dx
= ∫ y^n dy
= 1/(n+1) y^(n+1) + c,
= ∫{x(1-x)}^n {x(1-x)}' dx
= ∫ y^n dy
= 1/(n+1) y^(n+1) + c,
これって確か阪大のπの無理性の問題かな？
あれははっきり言って相当難しいので3関数の積の微分ができない人が触らないほうがいいと思うけど。部分積分漸化式の単純計算ものでは多分一番難しいまである
区間[0,1] でn-1次以下のすべての多項式と直交する、n次の多項式は？
ルジャンドルの多項式
P_n(x) = (-1)^n･(1/n!)･(d/dx)^n {x(1-x)}^n,
・参考書
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
§36．Legendreの球函数 p.119～122
ルジャンドルの多項式
P_n(x) = (-1)^n･(1/n!)･(d/dx)^n {x(1-x)}^n,
・参考書
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
§36．Legendreの球函数 p.119～122
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。
関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件
g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0
をみたすものとする。
このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。
以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。
関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件
g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0
をみたすものとする。
このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。
以下の簡単な解答でOKだと思いますがどうでしょうか？
解答：
関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、
h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
0 = h(α) = a_0
であり、
h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …
0 ≠ h'(α) = a_1
であるから、
α の近くで、
h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0
である。
h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]
である。
f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …
は
点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、
g(z) / f(z)
も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、
g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
解答：
関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、
h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
0 = h(α) = a_0
であり、
h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …
0 ≠ h'(α) = a_1
であるから、
α の近くで、
h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0
である。
h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]
である。
f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …
は
点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、
g(z) / f(z)
も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、
g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
g(z) / h(z)
=
(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]
=
b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …
は
g(z) / h(z)
のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。
=
(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]
=
b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …
は
g(z) / h(z)
のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。
任意の実数x,yに対して f(x)f(y)=f(xy)を満たす関数はf(x)=x^t のようなべき関数だけですか？
あ、よく考えたら、
川平さんの本では、べき級数の話は付録に登場するだけでした。
べき級数で表される関数が正則であることは証明されていませんね。
川平さんの本では、べき級数の話は付録に登場するだけでした。
べき級数で表される関数が正則であることは証明されていませんね。
Cn H 2nの構造異性体の種類ってどうやって数え上げるんでしょうか。
べき級数で表される関数が正則であること
を使わないで証明するとすると面倒なことになりますね。
を使わないで証明するとすると面倒なことになりますね。
>>361
Cが輪になって繋がって2本ずつHがくっついてるとしたとき
nがものすごく多かったら自由度高くなってノットにできるよねたぶん
Cが輪になって繋がって2本ずつHがくっついてるとしたとき
nがものすごく多かったら自由度高くなってノットにできるよねたぶん
f(x)=|x| や f(x)=sign(x) も明らかに解だが f(x)≠x^t
f(x)=|sign(x)| = sign(|x|) も明らかに解だが f(x)=lim[t→0] |x|^t
f(x) = 1 (x≠0)
f(0) = 0
f(x) = 1 (x≠0)
f(0) = 0
これ模範解答は極座標でパラメータ表示で解いてたんですが
どなたか腕自慢の方
zをz=a+biのパラメータで表示して計算、あるいはωでzを表示してzの範囲に代入して解けませんか？
その方針で時間掛けて撃沈して悔しいのですが無理筋なのでしょうか？
偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思えるのですが。求積ですし
どなたか腕自慢の方
zをz=a+biのパラメータで表示して計算、あるいはωでzを表示してzの範囲に代入して解けませんか？
その方針で時間掛けて撃沈して悔しいのですが無理筋なのでしょうか？
偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思えるのですが。求積ですし
>>367
>偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思える
思えん
>偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思える
思えん
かなり無理筋では
複素数見るとすぐ成分分けちゃう人多いけど、よくないと思う
複素数見るとすぐ成分分けちゃう人多いけど、よくないと思う
>>367
|z|を固定してarg zだけ変化させると楕円の一部でr:1→2の時、少しずつ膨らんで行く様子を調べれば元の領域の境界の写り先がwの範囲の境界になる事を頑張って示せばいいんじゃない？
境界の写り先は双曲線と楕円と|z|=1の写り先はぺちゃんと潰れちゃうし。
|z|を固定してarg zだけ変化させると楕円の一部でr:1→2の時、少しずつ膨らんで行く様子を調べれば元の領域の境界の写り先がwの範囲の境界になる事を頑張って示せばいいんじゃない？
境界の写り先は双曲線と楕円と|z|=1の写り先はぺちゃんと潰れちゃうし。
１－1/2＋1/3－1/4＋1/5－1/6＋…＝log2となりますが、
この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。
ㅤㅤㅤㅤㅤ
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－２(1/2＋1/4＋1/6＋…)
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－(1＋1/2＋1/3＋…)
＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…
となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？
この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。
ㅤㅤㅤㅤㅤ
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－２(1/2＋1/4＋1/6＋…)
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－(1＋1/2＋1/3＋…)
＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…
となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？
絶対収束しない級数は足す順番を変えるとどんな値にも収束するようにできる
有名な定理です
有名な定理です
>>371
全然不思議じゃないです。
任意の実数に収束させることができます。
+∞, -∞ に発散させることもできます。
全然不思議じゃないです。
任意の実数に収束させることができます。
+∞, -∞ に発散させることもできます。
以下のリーマンの定理が演習問題にあります。
f(z) = … + a_{-2} / (z - α)^2 + a_{-1} / (z - α) + a_0 + a_{1} * (z - α) + a_{2} * (z - α)^2 + …
と書いてみれば、
lim_{z → α} |a_{-n} / (z - α)^n| = +∞
なので明らかであるようにも見えます。
この線で、リーマンの定理を証明できませんか？
ちなみに、川平さんの解答では、 ML不等式を使って分かりやすく証明しています。
リーマンの定理：
関数 f(z) が穴あき円板 D = {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} 上で正則かつ有界であるとき、
α は f(z) の除去可能な特異点であることを示せ。
f(z) = … + a_{-2} / (z - α)^2 + a_{-1} / (z - α) + a_0 + a_{1} * (z - α) + a_{2} * (z - α)^2 + …
と書いてみれば、
lim_{z → α} |a_{-n} / (z - α)^n| = +∞
なので明らかであるようにも見えます。
この線で、リーマンの定理を証明できませんか？
ちなみに、川平さんの解答では、 ML不等式を使って分かりやすく証明しています。
リーマンの定理：
関数 f(z) が穴あき円板 D = {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} 上で正則かつ有界であるとき、
α は f(z) の除去可能な特異点であることを示せ。
>>367
第 ３ 問
複素数zが 1≦|z|≦2 かつ -π/4 ≦ arg(z) ≦ π/4 を満たして動くとき、
複素数 w = z + 1/z の表わす点w が複素数平面上で動く領域の面積を求めよ。
第 ３ 問
複素数zが 1≦|z|≦2 かつ -π/4 ≦ arg(z) ≦ π/4 を満たして動くとき、
複素数 w = z + 1/z の表わす点w が複素数平面上で動く領域の面積を求めよ。
○○を示せっていう定理初めて見たわ
arg(z) = θ, 1≦|z|≦2 のとき、zの像 w=u+iv は
双曲線 v = ±(sinθ）√{(u/cosθ)^2 -4} のうち 2cosθ≦u≦(5/2)cosθ の部分。
θ=±π/4： v = ±√(uu-2),
S(双) =∫v du =∫[√2, 5/(2√2)] 2√(uu-2) du = 15/8 - 2log(2) = 0.48870563888
|z|=r, -π/4≦arg(z)≦π/4 のとき、zの像 w=u+iv は
楕円 ｖ ＝ ±(r-1/r)√{1 - [u/(r+1/r)]^2} のうち (r+1/r)/√2 ≦u≦(r+1/r) の部分
r=1： v = 0, √2 ≦ u ≦ 2 ････ 潰れる。
r=2： v = ±(3/2)√{1 - (2u/5)^2},
S(楕) =∫v du =∫[5/(2√2),5/2] 3√{1-(2u/5)^2} du = (15/16)(π-2) = 1.07024311274
以上から
S = S(双) + S(楕) = (15/16)π - 2log(2) = 1.55894875162
双曲線 v = ±(sinθ）√{(u/cosθ)^2 -4} のうち 2cosθ≦u≦(5/2)cosθ の部分。
θ=±π/4： v = ±√(uu-2),
S(双) =∫v du =∫[√2, 5/(2√2)] 2√(uu-2) du = 15/8 - 2log(2) = 0.48870563888
|z|=r, -π/4≦arg(z)≦π/4 のとき、zの像 w=u+iv は
楕円 ｖ ＝ ±(r-1/r)√{1 - [u/(r+1/r)]^2} のうち (r+1/r)/√2 ≦u≦(r+1/r) の部分
r=1： v = 0, √2 ≦ u ≦ 2 ････ 潰れる。
r=2： v = ±(3/2)√{1 - (2u/5)^2},
S(楕) =∫v du =∫[5/(2√2),5/2] 3√{1-(2u/5)^2} du = (15/16)(π-2) = 1.07024311274
以上から
S = S(双) + S(楕) = (15/16)π - 2log(2) = 1.55894875162
極座標でのやり方はわかるので
直交座標でやり方教えてもらえませんか…
直交座標でやり方教えてもらえませんか…
無理だと思いますよめんどくさくて
うん、極座標も使いこなせないで大学で勉強する資格ありません。
言うほど無理筋でもなくね？解けるっしょ。面倒だけど
永田の可換体論 p.37 の定理1.7.7 の証明に
Rの組成列 R=M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 をとると,
各 M{i-1}/Mi は R/m (ある極大イデアルmにより) に R 加群として同型. ...
(前後文脈は
にて)
とあるのですが、なぜこうなるのか分かりません。誰か解説お願いします。
流れ的に Jordan-Hölder-Schreierの定理 (一つ前の定理1.7.6 で証明しています)
の使うのかと思ったのですが、ちょっと分かりませんでした。
Rの組成列 R=M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 をとると,
各 M{i-1}/Mi は R/m (ある極大イデアルmにより) に R 加群として同型. ...
(前後文脈は
にて) とあるのですが、なぜこうなるのか分かりません。誰か解説お願いします。
流れ的に Jordan-Hölder-Schreierの定理 (一つ前の定理1.7.6 で証明しています)
の使うのかと思ったのですが、ちょっと分かりませんでした。
M[i+1] が M[i] の極大部分加群ならその商加群は単純加群、すなわち0と自分自身しか部分加群を持たない。
一方でNを単純加群、x∈Nを0でない元とするとxRはNの0でない部分加群だからN全体に一致。
この時p={r∈R | xr=0}とおく時NはR/pに同型でpは極大イデアル。
一方でNを単純加群、x∈Nを0でない元とするとxRはNの0でない部分加群だからN全体に一致。
この時p={r∈R | xr=0}とおく時NはR/pに同型でpは極大イデアル。
>>385 ありがとうございます理解できました。
準同型写像 f: R → N, f(a) := ax とすると
R/ker.f ≃ im.f = N , p = ker.f は極大イデアル
準同型写像 f: R → N, f(a) := ax とすると
R/ker.f ≃ im.f = N , p = ker.f は極大イデアル
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
以下の演習問題があります。
「
関数 f(z) は穴あき円板 D = {z ∈C | 0 < |z - α| < R} 上で正則であり、 α は f(z) の除去可能特異点であるとする。
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で、 D 上 g(z) = f(z) をみたすようなものが存在することを示せ。
」
これは非常に簡単な問題ですが、べき級数の理論を使わない川平さんの解答は恐ろしく長いです。
以下のように、ほぼ自明な問題であるにもかかわらずです。
z ∈ D とする。
f(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とローラン展開できる。
g(z) := f(z) if z ∈ D
g(z) := a_0 if z = α
で定義される D(α, R) 上の関数 g(z) は D(α, R) 上の正則関数である。
あと、
「
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で
」
と書いてありますが、明らかに、
「
このとき、 D(α, R) 上の正則関数 g(z) で
」
としたほうがいいですよね？
以下の演習問題があります。
「
関数 f(z) は穴あき円板 D = {z ∈C | 0 < |z - α| < R} 上で正則であり、 α は f(z) の除去可能特異点であるとする。
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で、 D 上 g(z) = f(z) をみたすようなものが存在することを示せ。
」
これは非常に簡単な問題ですが、べき級数の理論を使わない川平さんの解答は恐ろしく長いです。
以下のように、ほぼ自明な問題であるにもかかわらずです。
z ∈ D とする。
f(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とローラン展開できる。
g(z) := f(z) if z ∈ D
g(z) := a_0 if z = α
で定義される D(α, R) 上の関数 g(z) は D(α, R) 上の正則関数である。
あと、
「
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で
」
と書いてありますが、明らかに、
「
このとき、 D(α, R) 上の正則関数 g(z) で
」
としたほうがいいですよね？
複素平面の領域D内の複素数zを、w=az+(b/z)により複素数wに移す。
w全体からなる領域をE(a,b)と書く。
いま、Dが以下のように定められている。
D={ z | 1≤|z|≤2, 0≤arg(z)≤θ }
ここにθは0<θ<2πの実定数である。
E(a,b)の面積がDの面積と等しくなるとき、実数a,bをθで表せ。
w全体からなる領域をE(a,b)と書く。
いま、Dが以下のように定められている。
D={ z | 1≤|z|≤2, 0≤arg(z)≤θ }
ここにθは0<θ<2πの実定数である。
E(a,b)の面積がDの面積と等しくなるとき、実数a,bをθで表せ。
複素平面上の円弧C：
|z|=1かつθ≤arg(z)≤(θ+π/4)
上の点P(z)を、
u=z^2-2z
により点Q(u)に移す。
PがC上を動くとき、Qが動いてできる図形をKとする。
Kの長さを最大にする実数θを求めよ。ただし0≤θ<2πとする。
|z|=1かつθ≤arg(z)≤(θ+π/4)
上の点P(z)を、
u=z^2-2z
により点Q(u)に移す。
PがC上を動くとき、Qが動いてできる図形をKとする。
Kの長さを最大にする実数θを求めよ。ただし0≤θ<2πとする。
>>378
では極座標でのやり方を…
|w|=R, arg(w)=φ とおくと、領域の像 w=R･e^(iφ) は
(双曲線) (楕円)
1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} ≦ RR ≦ 2/cos(2φ),
ただし -φ｡ ≦ φ ≦ φ｡ = arctan(3/5),
S = ∫[-φ｡,φ｡] (1/2)RR dφ = ∫[0,φ｡] RR dφ だから
S(双) = ∫[0,φ｡] 2/cos(2φ) dφ = [ log{(1+tanφ)/(1-tanφ)} ] = 2 log(2),
S(楕) = ∫[0,φ｡] 1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} dφ
= [ (15/4)arctan((5/3)tanφ) ] = (15/16)π,
S = S(楕) - S(双) = (15/16)π - 2 log(2) = 1.55894875162
では極座標でのやり方を…
|w|=R, arg(w)=φ とおくと、領域の像 w=R･e^(iφ) は
(双曲線) (楕円)
1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} ≦ RR ≦ 2/cos(2φ),
ただし -φ｡ ≦ φ ≦ φ｡ = arctan(3/5),
S = ∫[-φ｡,φ｡] (1/2)RR dφ = ∫[0,φ｡] RR dφ だから
S(双) = ∫[0,φ｡] 2/cos(2φ) dφ = [ log{(1+tanφ)/(1-tanφ)} ] = 2 log(2),
S(楕) = ∫[0,φ｡] 1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} dφ
= [ (15/4)arctan((5/3)tanφ) ] = (15/16)π,
S = S(楕) - S(双) = (15/16)π - 2 log(2) = 1.55894875162
>>390
arg(z) = θ とし、
|z|=1 かつ α≦θ≦α+π/4 としよう。
z = e^(iθ),
|dz| = dθ,
また
u = zz -2z,
du/dz = 2(z-1),
|du| = 4 sin(θ/2) dθ
よって
(Kの長さ) =∫[α,α+π/4] |du|
=∫[α,α+π/4] 4 sin(θ/2) dθ
= 8{cos(α/2) - cos((α+π/4)/2)}
= 16 sin(π/16) sin((α+π/8)/2) (←和積公式)
≦ 16 sin(π/16)
= 3.121445152258
等号は α = 7π/8 のとき。
なお、uの軌跡Kは外サイクロイドの一部。
半径1の円Cが単位円に外接しながら滑らずに回るときのC上の１点の軌跡。
(周長:16, 面積:5π)
arg(z) = θ とし、
|z|=1 かつ α≦θ≦α+π/4 としよう。
z = e^(iθ),
|dz| = dθ,
また
u = zz -2z,
du/dz = 2(z-1),
|du| = 4 sin(θ/2) dθ
よって
(Kの長さ) =∫[α,α+π/4] |du|
=∫[α,α+π/4] 4 sin(θ/2) dθ
= 8{cos(α/2) - cos((α+π/4)/2)}
= 16 sin(π/16) sin((α+π/8)/2) (←和積公式)
≦ 16 sin(π/16)
= 3.121445152258
等号は α = 7π/8 のとき。
なお、uの軌跡Kは外サイクロイドの一部。
半径1の円Cが単位円に外接しながら滑らずに回るときのC上の１点の軌跡。
(周長:16, 面積:5π)
整式を二次式で割ると余りが一次式以下になる理由を説明してくれ
それは定理として証明されるべきものであるが、
普通の学校では当たり前のように（或いは、剰余を求めるやり方を教えるだけで）扱われている。
一般的には2次に限らず、体上の一変数多項式の除法として次数に関する帰納法で証明される。
普通の学校では当たり前のように（或いは、剰余を求めるやり方を教えるだけで）扱われている。
一般的には2次に限らず、体上の一変数多項式の除法として次数に関する帰納法で証明される。
わからんかあ、大変だな
整式A,B,Q,Rに関して、
A=BQ+R
が成り立つとする。
このとき、Bの最高次の項がax^n、Rの最高次の項がbx^n
であるとすれば、
R’＝R- B(b/a) とおくと、n次の項が消えて、R’はたかだか n -1次の整式になり、
A=BQ+R =B{Q+(b/a)}+R’ =BQ’+R’
となり、余りR’はn-1次以下の整式になる。
Rの次数がnより大きいときは、Rの最高次の項をcx^m (m>n)とおいて、
R’=R- B(c/a)x^(m-n) とおけば、R’はRより次数が少なくとも1減って、
A=B(Q+(c/a)x^(m-n))+R’と書ける。
これを繰り返せば、最終的に余りの次数はn-1以下になる。
みたいな直感的に当たり前のことを、形式を整えてやればよいのでは？
A=BQ+R
が成り立つとする。
このとき、Bの最高次の項がax^n、Rの最高次の項がbx^n
であるとすれば、
R’＝R- B(b/a) とおくと、n次の項が消えて、R’はたかだか n -1次の整式になり、
A=BQ+R =B{Q+(b/a)}+R’ =BQ’+R’
となり、余りR’はn-1次以下の整式になる。
Rの次数がnより大きいときは、Rの最高次の項をcx^m (m>n)とおいて、
R’=R- B(c/a)x^(m-n) とおけば、R’はRより次数が少なくとも1減って、
A=B(Q+(c/a)x^(m-n))+R’と書ける。
これを繰り返せば、最終的に余りの次数はn-1以下になる。
みたいな直感的に当たり前のことを、形式を整えてやればよいのでは？
あまりの定義なんだと思ってます？
x^2=0*x+x^2だから、x^2をxで割った余りはx^2になるでしょうか
x^2=0*x+x^2だから、x^2をxで割った余りはx^2になるでしょうか
√(x^4+1)をxで割った余りは定義できる？
整式の割り算しか考えませんよね
三角形ABCの頂点Aを底辺BCに平行に動かし、二等辺三角形にする．
この二等辺三角形の底角をB'とするときtanB'をtanBとtanCで表せ
この二等辺三角形の底角をB'とするときtanB'をtanBとtanCで表せ
高さ (頂点Aと底辺BCの距離） をhとする。
2h/tan(B') = h/tan(B) + h/tan(C)
2h/tan(B') = h/tan(B) + h/tan(C)
>>372
正項だけからなる部分列と負項だけからなる部分列に分ける。
部分和S_nが目標値αより低いときは正項(未使用)を取り出してS_nに加え、
目標値αより高いときは負項(未使用)を取り出してS_nに加える。
正項ばかり取ると+∞に発散し、負項ばかり取ると-∞に発散するので
正項も負項も無数に含むはず。
∴ n→∞ のとき目標値αとの差 < ε となる。
正項だけからなる部分列と負項だけからなる部分列に分ける。
部分和S_nが目標値αより低いときは正項(未使用)を取り出してS_nに加え、
目標値αより高いときは負項(未使用)を取り出してS_nに加える。
正項ばかり取ると+∞に発散し、負項ばかり取ると-∞に発散するので
正項も負項も無数に含むはず。
∴ n→∞ のとき目標値αとの差 < ε となる。
留数について質問です。
f(z) は {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定をしますが、
なぜ、
f(z) は {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定はしないのでしょうか？
f(z) は {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定をしますが、
なぜ、
f(z) は {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定はしないのでしょうか？
z=αについての留数を考えたいんですよね？
>>414
そうです。
f(z) が {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとき、ローラン展開できます。
したがって、 1/(z - α) の係数 A_{-1} も定まります。
この場合にも、留数を A_{-1} として定義しないのはなぜか？という質問です。
そうです。
f(z) が {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとき、ローラン展開できます。
したがって、 1/(z - α) の係数 A_{-1} も定まります。
この場合にも、留数を A_{-1} として定義しないのはなぜか？という質問です。
留数便利なのは特異点の場合だからじゃないですか？
x^2 +y^2−4x = 0について、(1) dy/dx (2) d(dy/dx)/dx を各々求めよ
という問題で(2)がわかりません
よろしくお願いします
という問題で(2)がわかりません
よろしくお願いします
>>417
(dy/dx)=fとおけばdf/dxで普通の1変数の微分
分からないのはこれ？これじゃない？
(dy/dx)=fとおけばdf/dxで普通の1変数の微分
分からないのはこれ？これじゃない？
x^2+y^2-4x=0
をxで微分
2x +2y y' - 4 = 0
もう一回
2 + 2y' y' + 2y y'' = 0
をy', y''について解く。
をxで微分
2x +2y y' - 4 = 0
もう一回
2 + 2y' y' + 2y y'' = 0
をy', y''について解く。
dy/dx=(2-x)/y
というのは分かったのですが
これをxで微分する方法がわかりません
というのは分かったのですが
これをxで微分する方法がわかりません
留数は特異点周りの展開じゃないと求めるのが難しいからねー
正則なら留数は0よ
>>226 >>251 >>356 >>387
川平友規「入門 複素関数」裳華房 (2019/Feb)
240p．2640円
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1579-5.htm
川平友規「入門 複素関数」裳華房 (2019/Feb)
240p．2640円
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1579-5.htm
>>226 >>251 >>356 >>387
著者のサポートページもある。。。
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/nyumonfukuso.html
著者のサポートページもある。。。
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/nyumonfukuso.html
ホモロジー群についての質問なんですがr:X→A;レトラクト、i:X→A:包含写像であるとき
これらから導かれるホモロジー群間の準同型写像r_*,i_*について
(r*i)_*が全単射であるからi_*が単射とわかり
H_q(X)=Im(i_*)+ker(r_*)(+:直和)と分解されるとあったのですが何故ですか？
これらから導かれるホモロジー群間の準同型写像r_*,i_*について
(r*i)_*が全単射であるからi_*が単射とわかり
H_q(X)=Im(i_*)+ker(r_*)(+:直和)と分解されるとあったのですが何故ですか？
ｒかiが逆
ri=1
r*i*=1
直和
ri=1
r*i*=1
直和
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
∫_{-∞}^{∞} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
という等式を示す例題があります。
その例題では、
lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
を示しています。
本来示すべきは、
lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
ですよね。
lim_{R → ∞} 2 * ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
lim_{R → ∞} ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} (1/2) * ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / (2 * sqrt(2))
なので、
lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx
=
π / sqrt(2)ですけど。
∫_{-∞}^{∞} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
という等式を示す例題があります。
その例題では、
lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
を示しています。
本来示すべきは、
lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
ですよね。
lim_{R → ∞} 2 * ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
lim_{R → ∞} ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} (1/2) * ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / (2 * sqrt(2))
なので、
lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx
=
π / sqrt(2)ですけど。
これなんや
更新したらなおった
普段くだらないことばっかり検索してるんでしょうね
劣等感爺は普段エロサイトばっか見てそうなイメージ
因数分解の問題で困っています。
x^3-174x-308=0
因数分解すると(x-14)(x^2+14x+22)=0で実数解は14のみ、となるんですけど、
いい因数分解の導き方が思いつかないので、あれば是非教えてほしいです。
(現状は308の約数を総当たりしてたまたま(x-14)で割れたので因数分解できたという感じです)
x^3-174x-308=0
因数分解すると(x-14)(x^2+14x+22)=0で実数解は14のみ、となるんですけど、
いい因数分解の導き方が思いつかないので、あれば是非教えてほしいです。
(現状は308の約数を総当たりしてたまたま(x-14)で割れたので因数分解できたという感じです)
x(x^2-174)=2^2x7x11
整数解があるとすれば、308の約数でかつ偶数だが4の倍数ではない
ということはすぐにわかる。
整数解が正なら14以上20以下、負なら-13以上というのもちょっと
計算すればわかる。
この条件を満たす整数は-2か14しかないので、代入すれば14が解
だとわかる。
整数解があるとすれば、308の約数でかつ偶数だが4の倍数ではない
ということはすぐにわかる。
整数解が正なら14以上20以下、負なら-13以上というのもちょっと
計算すればわかる。
この条件を満たす整数は-2か14しかないので、代入すれば14が解
だとわかる。
>>434
整数解があるなら偶数だからそれを2aとすると2a^3-87a-77=0
これに整数解があるとすると±7か±11
変形するとa(2a^2-87)=7*11
aが±7か±11だからa^2は49か121
2a^2-87が±7か±11になるのはaが±7のときでそのとき2a^2-87は11だからaは7
元の方程式の整数解は14
2a^3-87a-77=0にしたあとは計算速くない人でもしらみつぶしで十分かも知れない
±11がダメなのはきちんと計算しなくてもわかるので
計算速い人なら最初からしらみつぶしでいいような気もする
308の因数のうちほとんどはきちんと計算するまでもなく除外されるし
整数解があるなら偶数だからそれを2aとすると2a^3-87a-77=0
これに整数解があるとすると±7か±11
変形するとa(2a^2-87)=7*11
aが±7か±11だからa^2は49か121
2a^2-87が±7か±11になるのはaが±7のときでそのとき2a^2-87は11だからaは7
元の方程式の整数解は14
2a^3-87a-77=0にしたあとは計算速くない人でもしらみつぶしで十分かも知れない
±11がダメなのはきちんと計算しなくてもわかるので
計算速い人なら最初からしらみつぶしでいいような気もする
308の因数のうちほとんどはきちんと計算するまでもなく除外されるし
>>436
>変形するとa(2a^2-87)=7*11
>aが±7か±11だからa^2は49か121
変形したのはいいアイデアだと思う。けど、|a|の候補として
1と77があるのを忘れてないか？すぐ除外できるからいいけど。
>変形するとa(2a^2-87)=7*11
>aが±7か±11だからa^2は49か121
変形したのはいいアイデアだと思う。けど、|a|の候補として
1と77があるのを忘れてないか？すぐ除外できるからいいけど。
>>434
308を素因数分解すると、
308=2^2×7×11
f(x)=x^3-174x-308とおくと、
f(2)＜0
f(7)＜0
f(11)＜0
困ったら微分、
f'(x)=3x^2-174=0
x^2-58=0
x=±√58
7＜√58＜8
f(14)=14･196-174･14-308
=14･22-308
=0
∴f(x)=(x-14)(x^2+14x+22)
f(x)=0のとき、
x=14,-7±3√3
308を素因数分解すると、
308=2^2×7×11
f(x)=x^3-174x-308とおくと、
f(2)＜0
f(7)＜0
f(11)＜0
困ったら微分、
f'(x)=3x^2-174=0
x^2-58=0
x=±√58
7＜√58＜8
f(14)=14･196-174･14-308
=14･22-308
=0
∴f(x)=(x-14)(x^2+14x+22)
f(x)=0のとき、
x=14,-7±3√3
>>437
失礼した
2a^3-87a-77=0にしたときに真っ先に除外して±7と±11に絞り込んだので書き込みをするときにそこから先しか思い出さなかったｗ
失礼した
2a^3-87a-77=0にしたときに真っ先に除外して±7と±11に絞り込んだので書き込みをするときにそこから先しか思い出さなかったｗ
xについての方程式
x^k+131x+377=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
x^k+131x+377=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
|x|>14 のとき
xx - 174 >22, |x(xx-174)| > 308 (不適)
0≦x≦13 のとき
xx-174 <0、x(xx-174) ≦ 0 < 308 (不適)
-11≦x≦-2 のとき
|x|(174-xx) > |x|(169-xx) = |x|(13-|x|)(13+|x|)
≧ 22(13+|x|) ≧ 22･15 = 330 > 308 (不適)
よって整数解は -14 ～ -12、-1、14 のどれか。
xx - 174 >22, |x(xx-174)| > 308 (不適)
0≦x≦13 のとき
xx-174 <0、x(xx-174) ≦ 0 < 308 (不適)
-11≦x≦-2 のとき
|x|(174-xx) > |x|(169-xx) = |x|(13-|x|)(13+|x|)
≧ 22(13+|x|) ≧ 22･15 = 330 > 308 (不適)
よって整数解は -14 ～ -12、-1、14 のどれか。
数値間違ってる
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。
a > 0 とする。
∫_{-∞}^{∞} x^4 / (x^2 + a^2)^4 dx
の値を求めよ。
定石通りに計算すれば、答えが求まりますが、
g(z) := z^4 / (z + a*i)^4
の3次導関数を計算しなければなりません。
g(z) を 1 / (z + a*i) についての4次多項式で表して、なんとか3次導関数を計算しましたが、
かなり苦労しました。
簡単に計算する方法はありますか？
第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。
a > 0 とする。
∫_{-∞}^{∞} x^4 / (x^2 + a^2)^4 dx
の値を求めよ。
定石通りに計算すれば、答えが求まりますが、
g(z) := z^4 / (z + a*i)^4
の3次導関数を計算しなければなりません。
g(z) を 1 / (z + a*i) についての4次多項式で表して、なんとか3次導関数を計算しましたが、
かなり苦労しました。
簡単に計算する方法はありますか？
>>441 (補足)
2≦|x|≦11 のとき
|x|(13-|x|) = 22 + (|x|-2)(11-|x|) ≧ 22,
13 + |x| ≧ 15,
2≦|x|≦11 のとき
|x|(13-|x|) = 22 + (|x|-2)(11-|x|) ≧ 22,
13 + |x| ≧ 15,
>>429
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,
1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,
1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
= 1/(4√2)・log[(1+x√2 +xx)/(1 -x√2 +xx)]
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arxtan(1-x√2)},
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,
1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,
1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
= 1/(4√2)・log[(1+x√2 +xx)/(1 -x√2 +xx)]
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arxtan(1-x√2)},
n次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して(a_ij)=iである。Aの逆行列を求めよ。
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。
∫_{0}^{∞} exp(-x^2) dx = sqrt(π) / 2 を用いて、
∫_{0}^{∞} sin(x^2) dx = ∫_{0}^{∞} cos(x^2) dx = sqrt(π) / (2 * sqrt(2))
を示せ。
この問題を自力で解けました。
結構すごいですか？
第4章に出てくる積分の積分路は決まって半円だったので、最初は戸惑いました。
が、↓が閃きました。
f(z) := exp(z^2)
とおくと、
f(i*t) = exp(-t^2)
f(sqrt(i) * t) = exp(i * t^2) = cos(t^2) + i * sin(t^2)
なかなか冴えていますか？
この問題が第4章の章末問題のラストを飾る問題です。
しかも、☆印つきの問題です。
「はじめに」には、
「
とくに発展的な問題には*をつけ区別してある。
」
などと書かれています。
気持ちよく、最終章第5章へと進むことができそうです。
第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。
∫_{0}^{∞} exp(-x^2) dx = sqrt(π) / 2 を用いて、
∫_{0}^{∞} sin(x^2) dx = ∫_{0}^{∞} cos(x^2) dx = sqrt(π) / (2 * sqrt(2))
を示せ。
この問題を自力で解けました。
結構すごいですか？
第4章に出てくる積分の積分路は決まって半円だったので、最初は戸惑いました。
が、↓が閃きました。
f(z) := exp(z^2)
とおくと、
f(i*t) = exp(-t^2)
f(sqrt(i) * t) = exp(i * t^2) = cos(t^2) + i * sin(t^2)
なかなか冴えていますか？
この問題が第4章の章末問題のラストを飾る問題です。
しかも、☆印つきの問題です。
「はじめに」には、
「
とくに発展的な問題には*をつけ区別してある。
」
などと書かれています。
気持ちよく、最終章第5章へと進むことができそうです。
>>449
の問題を自力で解けたということは、もう既に、「玲瓏なる境地」に達していると考えていいですか？
の問題を自力で解けたということは、もう既に、「玲瓏なる境地」に達していると考えていいですか？
>>451
n次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して(a_ij)=iである。Aの逆行列を求めよ。
n次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して(a_ij)=iである。Aの逆行列を求めよ。
バカなことが気に入ってんのね
xについての方程式
x^k+2020x+3777=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
x^k+2020x+3777=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
∫_{-∞}^{∞} cos(x) / (1 + x^2)^2 dx
を計算せよ。
という問題を解きました。
怪しいなと思いつつ、まず以下の積分を考えました：
∫_{C} cos(z) / (1 + z^2)^2 dz
cos(z) = (exp(i * z) + exp(-i * z)) / 2
です。
|exp(i * z)| = exp(-y)
|exp(-i * z)| = exp(y)
ですので、普通に積分路を考えると 0 と評価したい積分が 0 と評価できません。
そこで、
∫_{C} exp(i * z) / (1 + z^2)^2 dz
を考えれば、
|exp(i * z)| = exp(-y)
ですから、 z の虚部が大きくなるような場所を通る積分路を考えれば、 0 と評価したい
積分を 0 と評価できそうです。
このような推理の結果、正解を得ることができました。
∫_{-∞}^{∞} cos(x) / (1 + x^2)^2 dx
を計算せよ。
という問題を解きました。
怪しいなと思いつつ、まず以下の積分を考えました：
∫_{C} cos(z) / (1 + z^2)^2 dz
cos(z) = (exp(i * z) + exp(-i * z)) / 2
です。
|exp(i * z)| = exp(-y)
|exp(-i * z)| = exp(y)
ですので、普通に積分路を考えると 0 と評価したい積分が 0 と評価できません。
そこで、
∫_{C} exp(i * z) / (1 + z^2)^2 dz
を考えれば、
|exp(i * z)| = exp(-y)
ですから、 z の虚部が大きくなるような場所を通る積分路を考えれば、 0 と評価したい
積分を 0 と評価できそうです。
このような推理の結果、正解を得ることができました。
ここは分かった問題はここに書いてねスレではありません
あ、というか、 |exp(-y)| ≦ 1 for y ≧ 0 ですね。
だんだんやる事が狂人じみてきたな。
>>454
明らかに x<0,
{x^(k-1) + 2020}x + 3777 = 0
-x は 3777 = 3･1259 の約数だから 1, 3, 1259, 3777 のどれか。
x=-1 は (±1) -2020 +3777 >0 で不適。
x=-3, k≧8 のとき
|(-3)^(k-1) + 2020 | ≧ 8581 で不適。
∴ 1≦k≦7 に限るが････
x=-1259, x=-3777 も同様にチェックすればよい。
明らかに x<0,
{x^(k-1) + 2020}x + 3777 = 0
-x は 3777 = 3･1259 の約数だから 1, 3, 1259, 3777 のどれか。
x=-1 は (±1) -2020 +3777 >0 で不適。
x=-3, k≧8 のとき
|(-3)^(k-1) + 2020 | ≧ 8581 で不適。
∴ 1≦k≦7 に限るが････
x=-1259, x=-3777 も同様にチェックすればよい。
ちょこっと計算して数が合ってると「玲瓏なる境地」に達しているとうぬぼれながら、解析接続すら理解できていないバカですからね。
それにこの人間性じゃ受け入れ先も全くないでしょう。
それにこの人間性じゃ受け入れ先も全くないでしょう。
質問を要約すると「私は結構すごいか？」なんだよなこいつ
Prelude> [(x, (log $ abs $ 2020*x +3777)/(log $ abs $ x))|x<-[-3777..(-1)],mod 3777 (truncate x) == 0]
[(-3777.0,1.9239587674094412),(-1259.0,2.0660253126666084),(-3.0,7.039103536612637),(-1.0,Infinity)]
[(-3777.0,1.9239587674094412),(-1259.0,2.0660253126666084),(-3.0,7.039103536612637),(-1.0,Infinity)]
一様連続とリプシッツ連続の違いを教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。
よろしくお願いいたします。
見た通り
すみません、以下画像の問題ですが、なぜ答えが
k=1、k=－2ではなくk=－1、k=2になるのでしょうか。
また、3で割って～の部分なのですがなぜ3でわるのでしょうか…。ご教示ください。
k=1、k=－2ではなくk=－1、k=2になるのでしょうか。
また、3で割って～の部分なのですがなぜ3でわるのでしょうか…。ご教示ください。
>>465
前提として「ab=0ならばa=0またはb=0」ということを確認しておきます
3で割る部分は、3k^2-3k-6=0を3(k^2-k-2)=0と変形できるので3=0またはk^2-k-2=0ですが、3≠0なのでk^2-k-2=0です
k=-1,2の部分は、(k+1)(k-2)=0より k+1=0またはk-2=0、すなわちk=-1またはk=2となります
前提として「ab=0ならばa=0またはb=0」ということを確認しておきます
3で割る部分は、3k^2-3k-6=0を3(k^2-k-2)=0と変形できるので3=0またはk^2-k-2=0ですが、3≠0なのでk^2-k-2=0です
k=-1,2の部分は、(k+1)(k-2)=0より k+1=0またはk-2=0、すなわちk=-1またはk=2となります
nを整数の定数とする。
自然数a,bに対し定義された2つの関数
f=f(a,b)=a/b
g=g(a,b)=(a+nb)/(a+b)
を考える。
（1）n=3のとき、任意の自然数a,bに対して、不等式
min(f,g)<√3<Max(f,g)…[A]
が成り立つことを示せ。
（2）任意の自然数a,bについて上記の不等式[A]を成り立たせるようなnは、n=3以外に存在するか。
自然数a,bに対し定義された2つの関数
f=f(a,b)=a/b
g=g(a,b)=(a+nb)/(a+b)
を考える。
（1）n=3のとき、任意の自然数a,bに対して、不等式
min(f,g)<√3<Max(f,g)…[A]
が成り立つことを示せ。
（2）任意の自然数a,bについて上記の不等式[A]を成り立たせるようなnは、n=3以外に存在するか。
√3が不動点になるのはn=3の時のみ
gをfで表せば割とシンプルな計算
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
E を 複素平面内のコンパクト集合とする。
E_r を E から r 以下の距離にある点全体の集合とする。
このとき、 E_r がコンパクト集合であることの証明を以下のように書いています。
「
E はコンパクト集合（すなわち、有界な閉集合）なので、十分に大きな R > 0 を選んで
E ⊂ D(0, R) とできる。任意の正の数 r > 0 に対し E_r ⊂ D(0, R + r) であるから、
E_r は有界である。また、 E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点
からなる集合であり、開集合となる。すなわち、 E_r は閉集合。よって、コンパクト集合
である。
」
「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」
↑これは自明じゃないですよね？
E を 複素平面内のコンパクト集合とする。
E_r を E から r 以下の距離にある点全体の集合とする。
このとき、 E_r がコンパクト集合であることの証明を以下のように書いています。
「
E はコンパクト集合（すなわち、有界な閉集合）なので、十分に大きな R > 0 を選んで
E ⊂ D(0, R) とできる。任意の正の数 r > 0 に対し E_r ⊂ D(0, R + r) であるから、
E_r は有界である。また、 E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点
からなる集合であり、開集合となる。すなわち、 E_r は閉集合。よって、コンパクト集合
である。
」
「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」
↑これは自明じゃないですよね？
a ∈ C とする。
関数 f : C ∋ x → |x - a| ∈ R は、連続関数である。
証明：
x_0 ∈ C とする。
f(x) - f(x_0) = |x - a| - |x_0 - a| ≦ |x - x_0|
f(x_0) - f(x) = |x_0 - a| - |x - a| ≦ |x_0 - x|
∴ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0|
任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、
|x - x_0| < δ ⇒ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0| < δ = ε
が成り立つから、 f は連続関数である。
a ∈ C とする。
関数 g : E ∋ x → |x - a| ∈ R は、コンパクト集合 E 上の連続関数である。
よって、 g は E 上で最大値・最小値をとる。
x ∈ C とする。
dist(x, E) := min {|x - y| | y ∈ E}
と定義する。
関数 f : C ∋ x → |x - a| ∈ R は、連続関数である。
証明：
x_0 ∈ C とする。
f(x) - f(x_0) = |x - a| - |x_0 - a| ≦ |x - x_0|
f(x_0) - f(x) = |x_0 - a| - |x - a| ≦ |x_0 - x|
∴ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0|
任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、
|x - x_0| < δ ⇒ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0| < δ = ε
が成り立つから、 f は連続関数である。
a ∈ C とする。
関数 g : E ∋ x → |x - a| ∈ R は、コンパクト集合 E 上の連続関数である。
よって、 g は E 上で最大値・最小値をとる。
x ∈ C とする。
dist(x, E) := min {|x - y| | y ∈ E}
と定義する。
C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。
証明：
x, x_0 を任意の複素数とする。
任意の y ∈ E に対して、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y|
が成り立つ。
y_0 を
dist(x_0, E) = |x_0 - y_0|
を成り立させる E の元とする。
↑の不等式から、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y_0| = |x - x_0| + dist(x_0, E)
∴ dist(x, E) - dist(x_0, E) ≦ |x - x_0|
x と x_0 は任意だったから、
dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |x - x_0|
も成り立つ。
∴ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0|
任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、
|x - x_0| < δ ⇒|dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0| < δ = ε
が成り立つから、 C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。
証明：
x, x_0 を任意の複素数とする。
任意の y ∈ E に対して、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y|
が成り立つ。
y_0 を
dist(x_0, E) = |x_0 - y_0|
を成り立させる E の元とする。
↑の不等式から、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y_0| = |x - x_0| + dist(x_0, E)
∴ dist(x, E) - dist(x_0, E) ≦ |x - x_0|
x と x_0 は任意だったから、
dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |x - x_0|
も成り立つ。
∴ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0|
任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、
|x - x_0| < δ ⇒|dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0| < δ = ε
が成り立つから、 C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。
E_r^C ∋ x_0 とする。
dist(x_0, E) > r
である。
C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数であるから、
ε := dist(x_0, E) - r とおくと、
|x - x_0 | < δ ⇒ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε
を成り立たせるような正の実数 δ が存在する。
したがって、
|x - x_0 | < δ ⇒ dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε = dist(x_0, E) - r
が成り立つ。
|x - x_0 | < δ ⇒ r < dist(x, E)
が成り立つ。
∴ |x - x_0 | < δ ⇒ x ∈ E_r^C
よって、 x_0 は E_r^C の内点である。
以上より、
「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」
が証明された。
dist(x_0, E) > r
である。
C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数であるから、
ε := dist(x_0, E) - r とおくと、
|x - x_0 | < δ ⇒ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε
を成り立たせるような正の実数 δ が存在する。
したがって、
|x - x_0 | < δ ⇒ dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε = dist(x_0, E) - r
が成り立つ。
|x - x_0 | < δ ⇒ r < dist(x, E)
が成り立つ。
∴ |x - x_0 | < δ ⇒ x ∈ E_r^C
よって、 x_0 は E_r^C の内点である。
以上より、
「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」
が証明された。
面白そうな問題を拾ってきたんですけど解けなかったので力を借りに来ました
数字を1から順番に並べ、
(1/2)/{(3/4)/5}のように繁分数を作る。
ここでn個並べたときの最大値はいくつか？
数字を1から順番に並べ、
(1/2)/{(3/4)/5}のように繁分数を作る。
ここでn個並べたときの最大値はいくつか？
そうです。
「x=3 がこの二次方程式の解である必要十分条件は、xに3を入れたらゼロになること。」
が正解。
「x=3 がこの二次方程式の解である必要十分条件は、xに3を入れたらゼロになること。」
が正解。
S^1から単連結空間への連続写像はS^2からの連続写像に拡張できることの証明を教えてください。直感的には明らかなのですが...
例)
x=3がこの二次方程式の解ならば
(k+1)(k-1)(k+2)(k-2) = 0
この場合、kの候補は {±1, ±2} の4つ
x=3がこの二次方程式の解ならば
(k+1)(k-1)(k+2)(k-2) = 0
この場合、kの候補は {±1, ±2} の4つ
>>469
(2)において、不等式Aはmin(f,g)<√n<Max(f,g)でしょ。
f(a,b)=a/b:=xとおけば、xは正の有理数。
g(a,b)=(a+nb)/(a+b)の分母分子に1/bを乗じて
g(a,b)=(a/b+n)/(a/b+1)=(x+n)/(x+1)
ということで、f(x)=x,g(x)=(x+n)/(x+1)をxが正の有理数の
範囲で考えればいいだけ。
正の実数 x に対して、f(x)は単調増加,g(x)は単調減少なので、
f(x)=g(x)=cとなるcが存在すれば、 min(f,g)≦c≦max(f,g)は
明らか。
f(x)=g(x)⇔ x=(x+n)/(x+1)⇔x^2=n より、x=√nで、c=√n
となるcがたしかに存在するので（この点でf(x)とg(x)が交叉する）
min(f,g)≦√n≦max(f,g)
したがって、xを有理数に限定すれば、√nが無理数の時に限って、
min(f,g)<√n<max(f,g)が成立する。
(2)において、不等式Aはmin(f,g)<√n<Max(f,g)でしょ。
f(a,b)=a/b:=xとおけば、xは正の有理数。
g(a,b)=(a+nb)/(a+b)の分母分子に1/bを乗じて
g(a,b)=(a/b+n)/(a/b+1)=(x+n)/(x+1)
ということで、f(x)=x,g(x)=(x+n)/(x+1)をxが正の有理数の
範囲で考えればいいだけ。
正の実数 x に対して、f(x)は単調増加,g(x)は単調減少なので、
f(x)=g(x)=cとなるcが存在すれば、 min(f,g)≦c≦max(f,g)は
明らか。
f(x)=g(x)⇔ x=(x+n)/(x+1)⇔x^2=n より、x=√nで、c=√n
となるcがたしかに存在するので（この点でf(x)とg(x)が交叉する）
min(f,g)≦√n≦max(f,g)
したがって、xを有理数に限定すれば、√nが無理数の時に限って、
min(f,g)<√n<max(f,g)が成立する。
任意のS^n→XがD^n→Xに拡張される
⇔ π_n(X)=0
はほとんど定義じゃね。
⇔ π_n(X)=0
はほとんど定義じゃね。
平面上の閉領域D（面積S>0）が固定されている。
この平面上の直線Lを考え、DをLの周りに一回転させてできる立体の体積をV(L)とする。
Lを色々と動かすとV(L)も変化する。
以下は真ですか？
「Dの形状に関わらず、V(L)には必ず最小値が存在する」
「V(L)が最小値をとるとき、LはDの内部を通る」
この平面上の直線Lを考え、DをLの周りに一回転させてできる立体の体積をV(L)とする。
Lを色々と動かすとV(L)も変化する。
以下は真ですか？
「Dの形状に関わらず、V(L)には必ず最小値が存在する」
「V(L)が最小値をとるとき、LはDの内部を通る」
パップスギュルダンの定理より真です
x[1]=1, x[n+1] = (1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+2))で表される数列xの極限が存在することを示し、求めよ。
√3/6っぽいなとは思うんですが過程が思いつきません。。
√3/6っぽいなとは思うんですが過程が思いつきません。。
lは2パラメータの曲線でlが連続の動く時Dも連続に動くのはすぐわかる
lが外部にあるときは接するまで平行移動させればその時の方が小さいのもすぐわかる
lが外部にあるときは接するまで平行移動させればその時の方が小さいのもすぐわかる
>>492
極限が存在するならば、lim[n→∞]x[n]=αとして、
α = (1/3)*(α+√(α^2+2))
が成立することから、極限の候補が得られる
あとはx[n]の有界単調性を示せばいい
が、√(3)/6ではない
極限が存在するならば、lim[n→∞]x[n]=αとして、
α = (1/3)*(α+√(α^2+2))
が成立することから、極限の候補が得られる
あとはx[n]の有界単調性を示せばいい
が、√(3)/6ではない
>>476
多分できた
最大値は
1/(2/3/4/‥‥/n) = n!/4
∵)1～nのうち最低一つは分母に来なければならない。
しかし1を分母にもってくることはできない。
よってできる分数の分母の最小値は2。
一方で1/(2/3/4/‥‥/n)の分母にくるのは2のみ。
よってコレが最大。
多分できた
最大値は
1/(2/3/4/‥‥/n) = n!/4
∵)1～nのうち最低一つは分母に来なければならない。
しかし1を分母にもってくることはできない。
よってできる分数の分母の最小値は2。
一方で1/(2/3/4/‥‥/n)の分母にくるのは2のみ。
よってコレが最大。
>>492
x=(1/3)(x+√(x^2+2))の解をαとし(αは正のみであることに注意)
y[n]=x[n]-αとおいて漸化式を書き換え(分子の有理化)し
y[n+1]=(1/3)y[n](1+(y[n]+2α)/(√((y[n]+α)^2+2)+2α)) …(A)
この式とy[1]>0からy[n]はすべて正
不等式√((y[n]+α)^2+2)+2α>y[n]+2αを(A)に代入し
0<y[n+1]<(2/3)y[n]
これを解くと
0<y[n+1]<y[1](2/3)^n
ゆえに
lim[n→∞]y[n]=0
>>494
問題文から推測すると収束値候補αより先に収束性を示してほしそうだが...
(αの計算なしで有界単調性⇒収束性を示すのは難しそう)
ひょっとして縮小写像の知識を問う問題?
x=(1/3)(x+√(x^2+2))の解をαとし(αは正のみであることに注意)
y[n]=x[n]-αとおいて漸化式を書き換え(分子の有理化)し
y[n+1]=(1/3)y[n](1+(y[n]+2α)/(√((y[n]+α)^2+2)+2α)) …(A)
この式とy[1]>0からy[n]はすべて正
不等式√((y[n]+α)^2+2)+2α>y[n]+2αを(A)に代入し
0<y[n+1]<(2/3)y[n]
これを解くと
0<y[n+1]<y[1](2/3)^n
ゆえに
lim[n→∞]y[n]=0
>>494
問題文から推測すると収束値候補αより先に収束性を示してほしそうだが...
(αの計算なしで有界単調性⇒収束性を示すのは難しそう)
ひょっとして縮小写像の知識を問う問題?
題意より
y[1]+2α = x[1]+α = 1+α < (12/5)α,
よって
√{2 + (y[n]+α)^2} = √{(2α)^2 + (y[n]+2α)y[n]}
< 2α + (1/4α)(y[n]+2α)y[n]
≦ 2α + (1/4α)(y[1]+2α)y[n]
< 2α + (3/5)y[n],
よって
y[n+1]/y[n] > (1/3){1 + (2α+y[n])/(4α+(3/5)y[n])}
> (1/3){(3/2) + (7/10)y[n]/(4α+(3/5)y[n])}
= (1/2) + (7/30)y[n]/(4α+(3/5)y[n])
→ 1/2. (n→∞)
nが大きいとき
y[n] ≒ 0.38761057･(1/2)^n
y[1]+2α = x[1]+α = 1+α < (12/5)α,
よって
√{2 + (y[n]+α)^2} = √{(2α)^2 + (y[n]+2α)y[n]}
< 2α + (1/4α)(y[n]+2α)y[n]
≦ 2α + (1/4α)(y[1]+2α)y[n]
< 2α + (3/5)y[n],
よって
y[n+1]/y[n] > (1/3){1 + (2α+y[n])/(4α+(3/5)y[n])}
> (1/3){(3/2) + (7/10)y[n]/(4α+(3/5)y[n])}
= (1/2) + (7/30)y[n]/(4α+(3/5)y[n])
→ 1/2. (n→∞)
nが大きいとき
y[n] ≒ 0.38761057･(1/2)^n
お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に 500get していいの？😜
(分かスレ４５５-200)
俺なんかがこんなに簡単に 500get していいの？😜
(分かスレ４５５-200)
5400
かずきち@dy_dt_dt_dx 9月29日
京大オープン経済190/550しか取ってないやつにマウント取られて草
お前より90点高いんだよ黙って勉強しろ
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
かずきち@dy_dt_dt_dx 9月29日
京大オープン経済190/550しか取ってないやつにマウント取られて草
お前より90点高いんだよ黙って勉強しろ
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
>>497
極限値の候補を
> √3/6っぽいなとは思うんですが過程が思いつきません。。
と間違えているのも解けない原因だろうと思って書いた
実際x=(1/3)(x+√(x^2+2))の解は、
x=√(2/3)=√(6)/3
のみだし
これが出れば後は
x[n+1]
=(1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+2))
=(1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+3(√(2/3))
<1/3(x[n]+√(x[n]^2+3x[n]^2))
=x[n]
x[n+1]
=(1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+2))
>(1/3)*(√(2/3)+√(2/3+2))
=√(2/3)
から
x[n]>√(2/3)⇒x[n]>x[n+1]>√(2/3)
極限値の候補を
> √3/6っぽいなとは思うんですが過程が思いつきません。。
と間違えているのも解けない原因だろうと思って書いた
実際x=(1/3)(x+√(x^2+2))の解は、
x=√(2/3)=√(6)/3
のみだし
これが出れば後は
x[n+1]
=(1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+2))
=(1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+3(√(2/3))
<1/3(x[n]+√(x[n]^2+3x[n]^2))
=x[n]
x[n+1]
=(1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+2))
>(1/3)*(√(2/3)+√(2/3+2))
=√(2/3)
から
x[n]>√(2/3)⇒x[n]>x[n+1]>√(2/3)
ラマヌジャンの有名な
√1+(√2+(√3+(√4+…
これの極限はどうやれば求まりますか
√1+(√2+(√3+(√4+…
これの極限はどうやれば求まりますか
>>499
√{2 + (y[n]+α)^2} = √{(2α)^2 + (y[n]+2α)y[n]}
> 2α + (1/2)y[n],
よって
y[n+1]/y[n] < (1/3){1 + (2α+y[n])/(4α+(1/2)y[n])}
= (1/3){(3/2) + (3/4)y[n]/(4α+(1/2)y[n])}
= (1/2) + (1/4)y[n]/(4α+(1/2)y[n])
→ 1/2. (n→∞)
√{2 + (y[n]+α)^2} = √{(2α)^2 + (y[n]+2α)y[n]}
> 2α + (1/2)y[n],
よって
y[n+1]/y[n] < (1/3){1 + (2α+y[n])/(4α+(1/2)y[n])}
= (1/3){(3/2) + (3/4)y[n]/(4α+(1/2)y[n])}
= (1/2) + (1/4)y[n]/(4α+(1/2)y[n])
→ 1/2. (n→∞)
マラソンについて質問です。
マラソンをテレビで見ていると、明らかに駆け引きが存在することが分かります。
解説者も駆け引きについて説明したりします。
サッカーのような競技とは違い、普通に考えれば、他の選手のことなど一切考えずに、
ゴールするまでのタイムが最小になるようにするにはどういうペースで走ればいいかのみ
を考えて走るのが最適な戦術であるように思います。
ところが、実際には相手の走り方に影響を受けて、自分の走り方を決めているように見えます。
これについて何か合理的な説明は可能でしょうか？
マラソンをテレビで見ていると、明らかに駆け引きが存在することが分かります。
解説者も駆け引きについて説明したりします。
サッカーのような競技とは違い、普通に考えれば、他の選手のことなど一切考えずに、
ゴールするまでのタイムが最小になるようにするにはどういうペースで走ればいいかのみ
を考えて走るのが最適な戦術であるように思います。
ところが、実際には相手の走り方に影響を受けて、自分の走り方を決めているように見えます。
これについて何か合理的な説明は可能でしょうか？
心理学とかスポーツの話だと思うのでそちらの方で質問してみてください
zは複素数の変数、αは複素数の定数、rは実数の定数とする。
複素平面上において
|z-α|=r, 0≤arg(z-α)≤θ（0<θ≤π）
がなす図形を考える。
このzに対し、w=1/zにより複素数wを定め、zが動くときにwが平面上を動いてできる図形をCとする。
（問題）
図形Cの長さは有限か、無限かを述べよ。
必要があればα、r、θの値により分類して述べよ。
複素平面上において
|z-α|=r, 0≤arg(z-α)≤θ（0<θ≤π）
がなす図形を考える。
このzに対し、w=1/zにより複素数wを定め、zが動くときにwが平面上を動いてできる図形をCとする。
（問題）
図形Cの長さは有限か、無限かを述べよ。
必要があればα、r、θの値により分類して述べよ。
昔、四方六方八方～という歌詞の歌があって、
四方と八方は二次元平面での話で
四方は東西南北、八方はそれに中間45°の北東、北西、南西、南北が入ったもの、
それに対して、六方は一般的にそんな言葉はないけれど、
おそらく三次元での前後左右に上下を入れたものだと思われます
で、もしこの三次元の六方に八方と同じく45°の中間の方向を入れた場合、
全部で何方になりますか？
四方と八方は二次元平面での話で
四方は東西南北、八方はそれに中間45°の北東、北西、南西、南北が入ったもの、
それに対して、六方は一般的にそんな言葉はないけれど、
おそらく三次元での前後左右に上下を入れたものだと思われます
で、もしこの三次元の六方に八方と同じく45°の中間の方向を入れた場合、
全部で何方になりますか？
>>504
lim[n→∞]√(1+√(2+√(3+…√(n-1+√n)…))
ならNested Radical Constant:1.757932…に収束しますが、
このNested Radical Constantはよくわかっていないようです。
ラマヌジャンの有名なNested Radical
lim[n→∞]√(1+2√(1+3√(1+…(n-1)√(1+n√1)…))
ならば3に収束します。
lim[n→∞]√(1+√(2+√(3+…√(n-1+√n)…))
ならNested Radical Constant:1.757932…に収束しますが、
このNested Radical Constantはよくわかっていないようです。
ラマヌジャンの有名なNested Radical
lim[n→∞]√(1+2√(1+3√(1+…(n-1)√(1+n√1)…))
ならば3に収束します。
0から9の数字をを一つずつ使ってできる10桁の整数および1から9の数字を一つずつ使ってできる9桁の整数を小さい順に並べた順列の一般項を求めよ。
>>492
x[1]=1
x[n + 1] = (1/3) * (x[n] + sqrt(x[n]^2 + 2))
(0)
x[n] > 0 for n = 1, 2, 3, …
は明らかである。
(1)
2/3 < x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …
が成り立つ。
証明：
n = 1 のとき、
2/3 < 1 = x[1]^2
n = k のとき、
2/3 < x[k]^2
と仮定する。
x[k + 1]^2
=
(1/9) * (x[k]^2 + 2 * x[k] * sqrt(x[k]^2 + 2) + x[k]^2 + 2)
>
(1/9) * (2/3 + 2 * sqrt(2/3) * sqrt(2/3 + 2) + 2/3 + 2)
=
(1/9) * (2/3 + 2 * sqrt(2/3) * sqrt(8/3) + 2/3 + 2)
=
(1/9) * (2/3 + 2 * 4/3 + 2/3 + 2)
=
(1/9) * 6
=
2/3
x[1]=1
x[n + 1] = (1/3) * (x[n] + sqrt(x[n]^2 + 2))
(0)
x[n] > 0 for n = 1, 2, 3, …
は明らかである。
(1)
2/3 < x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …
が成り立つ。
証明：
n = 1 のとき、
2/3 < 1 = x[1]^2
n = k のとき、
2/3 < x[k]^2
と仮定する。
x[k + 1]^2
=
(1/9) * (x[k]^2 + 2 * x[k] * sqrt(x[k]^2 + 2) + x[k]^2 + 2)
>
(1/9) * (2/3 + 2 * sqrt(2/3) * sqrt(2/3 + 2) + 2/3 + 2)
=
(1/9) * (2/3 + 2 * sqrt(2/3) * sqrt(8/3) + 2/3 + 2)
=
(1/9) * (2/3 + 2 * 4/3 + 2/3 + 2)
=
(1/9) * 6
=
2/3
(2)
(0)、(1)より、
sqrt(2/3) < x[n] for n = 1, 2, 3, …
である。
(3)
4 * x[n]^2 > x[n]^2 + 2 for n = 1, 2, 3, …
が成り立つ。
証明：
2/3 < x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …
2 < 3 * x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …
x[n]^2 + 2 < 4 * x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …
(4)
x[n] - x[n + 1]
=
x[n] - (1/3) * (x[n] + sqrt(x[n]^2 + 2))
=
(2/3) * x[n] - (1/3) * sqrt(x[n]^2 + 2)
=
(1/3) * (2 * x[n] - sqrt(x[n]^2 + 2))
=
(1/3) * (srt(4 * x[n]^2) - sqrt(x[n]^2 + 2))
> (3)より
0
(0)、(1)より、
sqrt(2/3) < x[n] for n = 1, 2, 3, …
である。
(3)
4 * x[n]^2 > x[n]^2 + 2 for n = 1, 2, 3, …
が成り立つ。
証明：
2/3 < x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …
2 < 3 * x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …
x[n]^2 + 2 < 4 * x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …
(4)
x[n] - x[n + 1]
=
x[n] - (1/3) * (x[n] + sqrt(x[n]^2 + 2))
=
(2/3) * x[n] - (1/3) * sqrt(x[n]^2 + 2)
=
(1/3) * (2 * x[n] - sqrt(x[n]^2 + 2))
=
(1/3) * (srt(4 * x[n]^2) - sqrt(x[n]^2 + 2))
> (3)より
0
(5)
(4)より、 (x[n]) は単調減少数列である。
(2)より、 (x[n]) は下に有界である。
(4)より、 (x[n]) は単調減少数列である。
(2)より、 (x[n]) は下に有界である。
>>513
単調減少で下に有界なので収束します。
収束値の候補は、数列の各項が正なので、 sqrt(6)/3 しかありません。
ですので、数列は、 sqrt(6)/3 に収束します。
ですので、 sqrt(6)/3 は最大下界です。
単調減少で下に有界なので収束します。
収束値の候補は、数列の各項が正なので、 sqrt(6)/3 しかありません。
ですので、数列は、 sqrt(6)/3 に収束します。
ですので、 sqrt(6)/3 は最大下界です。
複素数zの反転について質問です。
a,b,c,dを実数の定数、z'をzの共役複素数として、az^2+bz+cz'^2+d=0が表す図形を考えます。
z≠0のとき、w=1/zでzをwに移すと、wは二次曲線（の一部）、直線（の一部）、または点、になりますか？
a,b,c,dを実数の定数、z'をzの共役複素数として、az^2+bz+cz'^2+d=0が表す図形を考えます。
z≠0のとき、w=1/zでzをwに移すと、wは二次曲線（の一部）、直線（の一部）、または点、になりますか？
普通は4つの点だよなー
>>520
ならないんじゃない？
分母払う時に(zz')^2かける必要があるから、二次曲線の範囲に収まらなくなる希ガス
ならないんじゃない？
分母払う時に(zz')^2かける必要があるから、二次曲線の範囲に収まらなくなる希ガス
ここで聞く話なのかという気もしますが、よろしくお願いします。
62円と82円の切手が廃止になるので、63円と84円に交換するのですが
旧切手が21782円あるときに、新切手が自然数になる組み合わせはどうやったらわかりますか？
63x+84y=21782で、x,yがともに自然数である組み合わせ、ということです。
62円と82円の切手が廃止になるので、63円と84円に交換するのですが
旧切手が21782円あるときに、新切手が自然数になる組み合わせはどうやったらわかりますか？
63x+84y=21782で、x,yがともに自然数である組み合わせ、ということです。
どうあがいても2円余るな。
これは返金されるのかな？
これは返金されるのかな？
いや、間違った。どうあがいても5円余る。
21777
= 84 x 2 + 63 x 343
= 84 x 5 + 63 x 339
= ‥
= 84 x (2 + 3k) + 63 x (343 - 4k) (0 ≦ k ≦ 85)
21777
= 84 x 2 + 63 x 343
= 84 x 5 + 63 x 339
= ‥
= 84 x (2 + 3k) + 63 x (343 - 4k) (0 ≦ k ≦ 85)
>>524
for i in range(350):
if (21782 - (63 * i)) % 84 == 0:
print(i)
で、総当たりで見たところでも、答えがないので無理ぽいですね。
端数は、1円切手に変えられるので、それでもらうことにします…。
無理なのが間違いないということで、ありがとうございました。
for i in range(350):
if (21782 - (63 * i)) % 84 == 0:
print(i)
で、総当たりで見たところでも、答えがないので無理ぽいですね。
端数は、1円切手に変えられるので、それでもらうことにします…。
無理なのが間違いないということで、ありがとうございました。
極値じゃない極限値
６つの四角形でできた六面体の体積を求めよ。
なお８つの端点の座標はわかっている。
これって平行六面体の体積の求め方と一緒なんですか？
行列式やベクトルの外積、内積を利用して解こうと思ったんですが、この方法って平行六面体にしか通用しないですよね、、
なお８つの端点の座標はわかっている。
これって平行六面体の体積の求め方と一緒なんですか？
行列式やベクトルの外積、内積を利用して解こうと思ったんですが、この方法って平行六面体にしか通用しないですよね、、
>>523
21世紀の解法
63x + 84y = 21(3x+4y) ≡ 0 (mod 21)
21782 = 21*1037 + 5 ≡ 5 (mod 21)
21世紀の解法
63x + 84y = 21(3x+4y) ≡ 0 (mod 21)
21782 = 21*1037 + 5 ≡ 5 (mod 21)
>>529
原点Ｏと各面からなる４角錐の有向体積をたす。(6面)
４角錐O－(P1-P2-P3-P4) の有向体積は
| x1-x4 y1-y4 z1-z4 |
(1/6)| x2 y2 z2 |
| x3 y3 z3 |
原点Ｏと各面からなる４角錐の有向体積をたす。(6面)
４角錐O－(P1-P2-P3-P4) の有向体積は
| x1-x4 y1-y4 z1-z4 |
(1/6)| x2 y2 z2 |
| x3 y3 z3 |
整数係数の方程式ax+by=cが整数解をもつのはcがa,bの最大公約数の倍数に
なっている場合に限る。
https://mathtrain.jp/axbyc
なっている場合に限る。
https://mathtrain.jp/axbyc
集合族 (A_λ | λ∈Λ) の直積 Π_{λ∈Λ} A_λ について、
すべての A_λ が同一の B であるとき、
Π_{λ∈Λ} A_λ = Map(Λ,B) になると思うのですが、正しいでしょうか。
すべての A_λ が同一の B であるとき、
Π_{λ∈Λ} A_λ = Map(Λ,B) になると思うのですが、正しいでしょうか。
正しい
>>536
ありがとうございます。
ということは、
さらに B が非空 ならば Π_{λ∈Λ} A_λ も非空である、
という主張は選択公理なしで成り立つと思うのですが、合ってますか？
ありがとうございます。
ということは、
さらに B が非空 ならば Π_{λ∈Λ} A_λ も非空である、
という主張は選択公理なしで成り立つと思うのですが、合ってますか？
合ってる
>>538
ですよね。
選択公理の気持ちが何となく分かってきた気がします。
ありがとうございました。
ですよね。
選択公理の気持ちが何となく分かってきた気がします。
ありがとうございました。
xy平面の円x^2+y^2=1の周および内部の領域をDとする。
いま、x軸に平行な2019本の直線と、y軸に平行な2019本の直線で、Dを小片に分割する。
ただし、どの直線もDとちょうど2点で交わり、またどの2つの直線も相異なる。
分割された小片の面積が全て等しくなるようにできるか。
いま、x軸に平行な2019本の直線と、y軸に平行な2019本の直線で、Dを小片に分割する。
ただし、どの直線もDとちょうど2点で交わり、またどの2つの直線も相異なる。
分割された小片の面積が全て等しくなるようにできるか。
またポエムか
>>543
なるほど、六面体の内部に点が存在するとき、その点は任意で取ってよいですよね
重心はまた違う話ですか
なるほど、六面体の内部に点が存在するとき、その点は任意で取ってよいですよね
重心はまた違う話ですか
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
問題：
領域 D 内に任意の円板 E をえらび、それを「割った卵」に見立てて、図の左側のように「黄身」と「白身」に塗り分ける。
このとき、 D 上の定数関数ではない正則関数 f(z) による E の像は、決して図の右側のようにならない。すなわち、「黄身」が「白身」よりも外側に飛び出すことはない。
その理由を説明せよ。
解答：
もしそのように「黄身」が飛び出したと仮定すると、適当な1次関数 g(z) = exp(i*θ) * z + B（回転と平行移動）を用いて、
g(f(z)) が「黄身」の部分で最大絶対値をとるようにできるが、 g(f(z)) は正則であり、「黄身」の部分に E の境界点はないので、定理5.11に矛盾。
g(z) = exp(i*θ) * z + B = exp(i*θ) * (z + exp(-i*θ) * B)
|g(f(z))| = |exp(i*θ) * (f(z) + exp(-i*θ) * B)| = |f(z) + exp(-i*θ) * B|
だから、証明に用いている g(z) は、よりシンプルな g(z) = z + B（平行移動） でOKですよね。
この問題の解答ですが、もっと大きな問題があります。
「黄身の像の部分で最大絶対値を取るように平行移動できるとは限らない」
という指摘がありました。
確かにそうだと思います。
そこで、質問ですが、実際に、「黄身は白身の外に出ない」というのは成り立ちますか？成り立ちませんか？
「黄身が白身の外に出る」の定義は何でしょうか？
方程式
Σ[k=0 to 4] (1/k!)x^k = 0
を解け。ただし0!=1である。
Σ[k=0 to 4] (1/k!)x^k = 0
を解け。ただし0!=1である。
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
「
関数 f(z) が D 上で有理型もしくは D 上の有理型関数であるとは、
・ D 内の点の集合 P := {α_1, α_2, … } が存在して、 f(z) は D - P 上で正則、かつ
・ 各 α_k （k = 1, 2, …） はそれぞれ f(z) の極
であることをいう。
」
と書いてあります。その下の「注意！」として、
「
P 自体は無限個の点を含んでもよいが、 D 内には集積点をもたない（もし集積点があれば、それは ∂D に属する）。
」
と書いてあります。
D 内に P の集積点がない理由は、以下でOKですか？
・P は孤立点からなる集合だから、 P の元は、 P の集積点ではない。
・「D - P 上で正則」だから、当然、 D - P は開集合でなければならない。D - P が開集合であれば、明らかに、 D - P の元は P の集積点ではない。
「
関数 f(z) が D 上で有理型もしくは D 上の有理型関数であるとは、
・ D 内の点の集合 P := {α_1, α_2, … } が存在して、 f(z) は D - P 上で正則、かつ
・ 各 α_k （k = 1, 2, …） はそれぞれ f(z) の極
であることをいう。
」
と書いてあります。その下の「注意！」として、
「
P 自体は無限個の点を含んでもよいが、 D 内には集積点をもたない（もし集積点があれば、それは ∂D に属する）。
」
と書いてあります。
D 内に P の集積点がない理由は、以下でOKですか？
・P は孤立点からなる集合だから、 P の元は、 P の集積点ではない。
・「D - P 上で正則」だから、当然、 D - P は開集合でなければならない。D - P が開集合であれば、明らかに、 D - P の元は P の集積点ではない。
>>547
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
有理型関数について質問です。
f(z) = sin(z) / z
は C - {0} で正則です。
ですが、 z = 0 は f(z) の極ではありません。
川平さんの本の定義では、 D 上の正則関数も有理型関数になります。
f(z) は、 f(0) := 1 と定義すれば、 C 上の正則関数になります。
f(z) は C 上の有理型関数ですか？
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
有理型関数について質問です。
f(z) = sin(z) / z
は C - {0} で正則です。
ですが、 z = 0 は f(z) の極ではありません。
川平さんの本の定義では、 D 上の正則関数も有理型関数になります。
f(z) は、 f(0) := 1 と定義すれば、 C 上の正則関数になります。
f(z) は C 上の有理型関数ですか？
>>544
いいえ
凹んだ6面体があるのです
たとえば矢の根型を平行移動させるような
あるいは三角錐の底面を凹ませるような
いいえ
凹んだ6面体があるのです
たとえば矢の根型を平行移動させるような
あるいは三角錐の底面を凹ませるような
そうでつね。
「有向」とは 内向き/外向き の区別です。
凹凸は直接には関係しないのかも。
「有向」とは 内向き/外向き の区別です。
凹凸は直接には関係しないのかも。
>>546
4! を掛けて
8(1+x) + {3+(1+x)^2}^2 = 0,
これより
x = -1 +r +i√(3+rr+2/r) = -0.270555769 ±2.5047759i
x = -1 -r ±i√(3+rr-2/r) = -1.729444231 ±0.8889744i
ここに r = √{2cos(40ﾟ) - 1} = 0.729444231
4! を掛けて
8(1+x) + {3+(1+x)^2}^2 = 0,
これより
x = -1 +r +i√(3+rr+2/r) = -0.270555769 ±2.5047759i
x = -1 -r ±i√(3+rr-2/r) = -1.729444231 ±0.8889744i
ここに r = √{2cos(40ﾟ) - 1} = 0.729444231
0 = 6Σ[k=0,3] (x^k)/k!
= 6 +6x +3xx +x^3
= 2 + 3(1+x) + (1+x)^3,
より
α = -1 +(√2 -1)^(1/3) - (√2 +1)^(1/3) = -1.596071638
β = -1 +(√2 -1)^(1/3)ω - (√2 +1)^(1/3)ω~ = -0.701964181 + 1.80733949445i
β~= -1 +(√2 -1)^(1/3)ω~ - (√2 +1)^(1/3)ω = -0.701964181 - 1.80733949445i
ω≠1 は1の3乗根。
= 6 +6x +3xx +x^3
= 2 + 3(1+x) + (1+x)^3,
より
α = -1 +(√2 -1)^(1/3) - (√2 +1)^(1/3) = -1.596071638
β = -1 +(√2 -1)^(1/3)ω - (√2 +1)^(1/3)ω~ = -0.701964181 + 1.80733949445i
β~= -1 +(√2 -1)^(1/3)ω~ - (√2 +1)^(1/3)ω = -0.701964181 - 1.80733949445i
ω≠1 は1の3乗根。
0 = 2Σ[k=0,2] (x^k)/k!
=2 +2x +x^2 = 1 + (1+x)^2,
より
x = -1±i,
=2 +2x +x^2 = 1 + (1+x)^2,
より
x = -1±i,
0 = Σ[k=0,1] (x^k)/k! = 1 + x,
より
x = -1,
nがじゅうぶん大きいとき
0 = Σ[k=0,n] (x^k)/k! の根は 半径 ~ √n の馬蹄状に並ぶかなあ。
より
x = -1,
nがじゅうぶん大きいとき
0 = Σ[k=0,n] (x^k)/k! の根は 半径 ~ √n の馬蹄状に並ぶかなあ。
1 個のさいころを 3 回続けて投げるとき，出る目の数を順に，a, b, c とする．a ≤ b であるとわかったとき，b ≤ c である確率を求めよ．
という問題ですが、条件付確率の問題だと思うのですが答えお願いします。
a≦b≦c と捉えて問題を解いたら 7/27となりました
という問題ですが、条件付確率の問題だと思うのですが答えお願いします。
a≦b≦c と捉えて問題を解いたら 7/27となりました
>>557
#{(a,b,c)∈[1,6]^3|a≦b}=126
#{(a,b,c)∈[1,6]^3|a≦b≦c}=(1*6+2*5+3*4)*2=56
56/126=4/9
#{(a,b,c)∈[1,6]^3|a≦b}=126
#{(a,b,c)∈[1,6]^3|a≦b≦c}=(1*6+2*5+3*4)*2=56
56/126=4/9
Pr(A)がa≦bで 7/12
Pr(A∧B)が a≦b ∧ b≦c (a≦b≦c)を満たすのが7/27
Pr(A∧B)/Pr(A)=7/27*12/7=4/9ということですね
回答ありがとうございました。
Pr(A∧B)が a≦b ∧ b≦c (a≦b≦c)を満たすのが7/27
Pr(A∧B)/Pr(A)=7/27*12/7=4/9ということですね
回答ありがとうございました。
>>553
1 - 3(1+rr) + (1+rr)^3 = -1 + 3r^4 + r^6 = 0,
1 - 3(1+rr) + (1+rr)^3 = -1 + 3r^4 + r^6 = 0,
双曲線の一部 y=f(x)=1/x (x>0) をCとする。
t≧0なる実定数tを考え、
a[0]=1,a[n+1]=(1+t)a[n]
により実数a[n]を定める。
さらに、4点
(a[k], 0), (a[k+1], 0), (a[k+1], f(a[k])), (a[k], f(a[k]))
を頂点とする長方形の面積をS[k]とする。
以下の問に答えよ。
（1）2以上の自然数Nに対し、以下のI[N]を求めよ。
I[N] =1 + ∫[1 to N] f(x) dx
（2）長方形の面積の和
Σ[k=0 to n] S[k]
をt,nで表せ。
（3） 以下の極限を求めよ。必要であればtの値により分類せよ。
lim[n→∞] S[n-1]/I[n]
t≧0なる実定数tを考え、
a[0]=1,a[n+1]=(1+t)a[n]
により実数a[n]を定める。
さらに、4点
(a[k], 0), (a[k+1], 0), (a[k+1], f(a[k])), (a[k], f(a[k]))
を頂点とする長方形の面積をS[k]とする。
以下の問に答えよ。
（1）2以上の自然数Nに対し、以下のI[N]を求めよ。
I[N] =1 + ∫[1 to N] f(x) dx
（2）長方形の面積の和
Σ[k=0 to n] S[k]
をt,nで表せ。
（3） 以下の極限を求めよ。必要であればtの値により分類せよ。
lim[n→∞] S[n-1]/I[n]
1 to N
(2)お願いします
q!を掛けるとこまでは分かって
①…自明そうだし直接言える
②…qについての帰納法で示す
で迷って②にして
②-ア…添字の大きいaから余りとして決める
②-イ…添字の小さいaから引いていって言える
で迷ってわからなくなりました
簡単そうなのにどう言っていいのかわかりません
悩んでますお願いします
q!を掛けるとこまでは分かって
①…自明そうだし直接言える
②…qについての帰納法で示す
で迷って②にして
②-ア…添字の大きいaから余りとして決める
②-イ…添字の小さいaから引いていって言える
で迷ってわからなくなりました
簡単そうなのにどう言っていいのかわかりません
悩んでますお願いします
リーマン積分はルベーグ積分があるので無用の長物ですか？
>>563
10進法では各桁の桁上がりが10
2進法では各桁の桁上がりが2
ここでは
1桁から2桁の桁上がりが5
2桁から3桁の桁上がりが4
3桁から4桁の桁上がりが3
4桁から5桁の桁上がりが2
こういう表記を考える
この表記で表せる4桁の数の最大は
1234でここに1を足すと桁上がりが連鎖して
10000となるがこれは数としては5!を表す
つまり0～5!-1までの自然数はこの表記で一意的に表せる
これを
qまでに拡張すれば
qｰ1桁で0～q!-1までを一意的に表す表記となる
10進法では各桁の桁上がりが10
2進法では各桁の桁上がりが2
ここでは
1桁から2桁の桁上がりが5
2桁から3桁の桁上がりが4
3桁から4桁の桁上がりが3
4桁から5桁の桁上がりが2
こういう表記を考える
この表記で表せる4桁の数の最大は
1234でここに1を足すと桁上がりが連鎖して
10000となるがこれは数としては5!を表す
つまり0～5!-1までの自然数はこの表記で一意的に表せる
これを
qまでに拡張すれば
qｰ1桁で0～q!-1までを一意的に表す表記となる
>>565
ありがとうございます。
その桁上がりのイメージは分かります（昔の東大後期で類題があった）
それをどうきちんと記述するのかが分かりませんでした
ありがとうございます。
その桁上がりのイメージは分かります（昔の東大後期で類題があった）
それをどうきちんと記述するのかが分かりませんでした
>>566
1桁から2桁の桁上がりが2
2桁から3桁の桁上がりが3
3桁から4桁の桁上がりが4
4桁から5桁の桁上がりが5
こういう表記ならすべての自然数を表記できるね
q桁で0～q!-1を表記可能
こっちの方が筋が良いから東大のはこれではない？
1桁から2桁の桁上がりが2
2桁から3桁の桁上がりが3
3桁から4桁の桁上がりが4
4桁から5桁の桁上がりが5
こういう表記ならすべての自然数を表記できるね
q桁で0～q!-1を表記可能
こっちの方が筋が良いから東大のはこれではない？
>>567
そうですね。n!/5でググると出ると思います。
余りの方はいい感じのを思いついたので、上から決定してくほうでうまい記述の方法があったらお願いします
そうですね。n!/5でググると出ると思います。
余りの方はいい感じのを思いついたので、上から決定してくほうでうまい記述の方法があったらお願いします
>>568
>上から決定してくほう
それは普通の10進法で各桁を決定していく方法と同じ
q桁目の1は(q-1)!を意味するから
(q-1)!≦n＜q!であればa(q-1)!≦n＜(a+1)(q-1)!のときq桁目はa
つまりn/q!の整数部分をmとするとaは(n-mq!)/(q-1)!の整数部分
>上から決定してくほう
それは普通の10進法で各桁を決定していく方法と同じ
q桁目の1は(q-1)!を意味するから
(q-1)!≦n＜q!であればa(q-1)!≦n＜(a+1)(q-1)!のときq桁目はa
つまりn/q!の整数部分をmとするとaは(n-mq!)/(q-1)!の整数部分
ああそうか
10進法なら
q桁目は[n/10^(q-1)]-10[n/10^q]だから
この表記では
q桁目は[n/(q-1)!]-q[n/q1]と簡潔に表記できるか
10進法なら
q桁目は[n/10^(q-1)]-10[n/10^q]だから
この表記では
q桁目は[n/(q-1)!]-q[n/q1]と簡潔に表記できるか
あああそそうか
逆だ
むしろ最初ので良くて
1未満の実数ｘの表記の問題か
小数点下q桁目から小数点下q-1桁目への桁上がりがq+1だ
[0,1)を半分
次は[0,1/2]を3等分
次は[0,1/3!]を4等分という風に分割していくわけだな
10進法でxの小数点下q桁目は[x10^q]-10[x10^(q-1)]だから
この表記だと小数点下q桁目は[x(q+1)!]-(q+1)[xq!]だ
この表記の有限小数はn/q!と表せる有理数ということになるから
すべての有理数を有限小数として表せる表記というのが題意というわけだな
逆だ
むしろ最初ので良くて
1未満の実数ｘの表記の問題か
小数点下q桁目から小数点下q-1桁目への桁上がりがq+1だ
[0,1)を半分
次は[0,1/2]を3等分
次は[0,1/3!]を4等分という風に分割していくわけだな
10進法でxの小数点下q桁目は[x10^q]-10[x10^(q-1)]だから
この表記だと小数点下q桁目は[x(q+1)!]-(q+1)[xq!]だ
この表記の有限小数はn/q!と表せる有理数ということになるから
すべての有理数を有限小数として表せる表記というのが題意というわけだな
マイクを使ってでないと調子に乗れないチンピラは氏ねよ
ひと昔前も盗聴ネタで調子に乗っていたな(大爆笑)
>>569
ありがとうございます
それをどう記述に落とし込めば良いのかよく分からないのですが569さんならどう記述しますか？
なんか上手く帰納法で書けません
ありがとうございます
それをどう記述に落とし込めば良いのかよく分からないのですが569さんならどう記述しますか？
なんか上手く帰納法で書けません
1 to N
このaxを効率よく求めるならどう考えてどういう順で解きますか？
具体的な手順をお願いします
具体的な手順をお願いします
もちろん私程度でも無理やりやれば解ける(解けた)のですが
何を消すとかどう意識したらいいのか分からずいきあたりばったりに端から代入してって偶然解けるという感じで手際が悪いので
プロの技があったら見せていただけると嬉しいです
何を消すとかどう意識したらいいのか分からずいきあたりばったりに端から代入してって偶然解けるという感じで手際が悪いので
プロの技があったら見せていただけると嬉しいです
一番上の式の両辺をMで割れば良いんじゃないの？
>>579
物理の問題だと思いますので元の問題を乗せてください
式がたくさん出てきてごちゃごちゃするときは、座標系を変換すると見通しが立ちやすくなることがよくありますね
物理の問題だと思いますので元の問題を乗せてください
式がたくさん出てきてごちゃごちゃするときは、座標系を変換すると見通しが立ちやすくなることがよくありますね
>>579
すいません、超大事なことを書き忘れました
与えられた定数はM,m,g,θ
Nの3種、T、ax,ay,bx,cy、が未知数です
すいません、超大事なことを書き忘れました
与えられた定数はM,m,g,θ
Nの3種、T、ax,ay,bx,cy、が未知数です
>>582
ありがとうございます
この式は(1)で導出させられたものですのでこのままお願いしたいです
ありがとうございます
この式は(1)で導出させられたものですのでこのままお願いしたいです
>>584
axに相当する物体を一つと見れば、垂直抗力とか余計な力を考えなくて済むようになるかもしれません
問題アップして貰えばより良い回答が得られる可能性がありますよ
axに相当する物体を一つと見れば、垂直抗力とか余計な力を考えなくて済むようになるかもしれません
問題アップして貰えばより良い回答が得られる可能性がありますよ
論理クイズ
４部屋あるアパートとその家主、そして７人の学生で実験をする。
学生は作戦会議の後、アパートの前でトランプ(ジョーカー抜き)から１枚引いて、自分のカードは見ずにお互いのカードを確認する。
その後アパートに入り、自分が入る部屋を４つから１つ選んで一斉に移動する。
家主は全ての部屋の学生のカードのマーク（ハート、スペードなど）を確認し、マークが２種類以上存在する部屋があった場合、各学生に同じ部屋にいる学生のカードをお互い確認させた上で、また一斉に部屋を移動させる(このとき移動しなくてもよい)。
これを、異なるマークが存在する部屋がなくなるまで繰り替えす。
ある作戦によって、カードの配役にかかわらずn回移動すれば実験を終了させられるとき、nの最小値とその時の作戦を考えてください。ただし作戦会議後は、相手のマークをしゃべったり、目などで合図を送ることはだめ。
４部屋あるアパートとその家主、そして７人の学生で実験をする。
学生は作戦会議の後、アパートの前でトランプ(ジョーカー抜き)から１枚引いて、自分のカードは見ずにお互いのカードを確認する。
その後アパートに入り、自分が入る部屋を４つから１つ選んで一斉に移動する。
家主は全ての部屋の学生のカードのマーク（ハート、スペードなど）を確認し、マークが２種類以上存在する部屋があった場合、各学生に同じ部屋にいる学生のカードをお互い確認させた上で、また一斉に部屋を移動させる(このとき移動しなくてもよい)。
これを、異なるマークが存在する部屋がなくなるまで繰り替えす。
ある作戦によって、カードの配役にかかわらずn回移動すれば実験を終了させられるとき、nの最小値とその時の作戦を考えてください。ただし作戦会議後は、相手のマークをしゃべったり、目などで合図を送ることはだめ。
家主さんは確認の後どの部屋に違うマークの学生がいるかは教えてくれるの？
終了してるか否か確認してまだダメ、移動！っていうだけの人？
終了してるか否か確認してまだダメ、移動！っていうだけの人？
全員スペード引いてたらどうするんですか？
初めに全員同じ部屋に入れば？
1部屋の定員は？
1部屋の定員は？
>>586
各学生が情報交換するのは禁止なのは当たり前として各学生は他の学生がどの部屋に入ったかの情報はもらえるの。
各学生が情報交換するのは禁止なのは当たり前として各学生は他の学生がどの部屋に入ったかの情報はもらえるの。
各学生が別の学生の行動を教えてもらえるなら
あらかじめどの部屋に♥♠♣♦が集まるかを決めておく。
1回目の移動では
学生1は学生2の入るべき部屋に
学生2は学生3の入るべき部屋に
‥
学生7は学生1の入るべき部屋に
入り、その情報から2回目の移動で終了できる。
一回で無理なのは明らかだからこれが最小。
あらかじめどの部屋に♥♠♣♦が集まるかを決めておく。
1回目の移動では
学生1は学生2の入るべき部屋に
学生2は学生3の入るべき部屋に
‥
学生7は学生1の入るべき部屋に
入り、その情報から2回目の移動で終了できる。
一回で無理なのは明らかだからこれが最小。
回答いろいろ聞きたいですが様子見て答え書きますね
>>592
なる。
わかった。
各スートに0～3の数字を割り当てといて自分以外の合計とmod4で合同の部屋に入ればいいのか。
なる。
わかった。
各スートに0～3の数字を割り当てといて自分以外の合計とmod4で合同の部屋に入ればいいのか。
>>585
一次方程式の解き方のうまい手順を知りたいのが主意ですので…
図形の設定は摩擦のない斜面上に置かれた直角三角形台上に置かれた紐で繋がれた二物体というものです
一次方程式の解き方のうまい手順を知りたいのが主意ですので…
図形の設定は摩擦のない斜面上に置かれた直角三角形台上に置かれた紐で繋がれた二物体というものです
誰か助けてください！
以下の命題について、真偽を判定せよ。またその理由を述べよ。
①∀x∈Q ( ∃y∈Q , x+y∈N )
②∀x∈R ( ∃y∈R , x*y∈N )
③∃x∈N ( ∀y∈Q , x≧y )
④∀x∈R ( x<1⇒∃r∈Q , x<r<1 )
以下の命題について、真偽を判定せよ。またその理由を述べよ。
①∀x∈Q ( ∃y∈Q , x+y∈N )
②∀x∈R ( ∃y∈R , x*y∈N )
③∃x∈N ( ∀y∈Q , x≧y )
④∀x∈R ( x<1⇒∃r∈Q , x<r<1 )
>>598
1.x=n/mとするとk∈Nとしてy=(km-n)/mが取れて、x+y=k∈N。真です。
2.x=0に対してはどんなyを持ってきても上手く行きません。偽です。
3.閉区間[y+|y|+1,y+|y|+2]に必ずそのようなxがあります。真です。
4.僕の実力不足でうまく説明できませんが、真だと思います。稠密性の話でしょうか…。
1.x=n/mとするとk∈Nとしてy=(km-n)/mが取れて、x+y=k∈N。真です。
2.x=0に対してはどんなyを持ってきても上手く行きません。偽です。
3.閉区間[y+|y|+1,y+|y|+2]に必ずそのようなxがあります。真です。
4.僕の実力不足でうまく説明できませんが、真だと思います。稠密性の話でしょうか…。
(1)真、y=1-xとすればx+y=1
(2)偽、x=0ならxy=0
(3)偽、y=x+1
(4)真、稠密性
(2)偽、x=0ならxy=0
(3)偽、y=x+1
(4)真、稠密性
g(x,y)=0の条件下でf(x,y)の最大値と最小値を求めることを考えます。
ラグランジュの未定乗数法で最大値最小値の候補を見つけることができると習ったのですが、g(x,y)=0を満たすようにz=f(x,y)を切り取った時、zの最大値の候補として極値以外に「区間の端」が考えられると思います。最小値についても同様だと思います。
しかし、先生は区間の端について考察することなく未定乗数法で見つけた候補の大小比較だけで最大値最小値を決定しました。
なぜそう出来るのですか？自明なことを聞いていたらすみません。
ラグランジュの未定乗数法で最大値最小値の候補を見つけることができると習ったのですが、g(x,y)=0を満たすようにz=f(x,y)を切り取った時、zの最大値の候補として極値以外に「区間の端」が考えられると思います。最小値についても同様だと思います。
しかし、先生は区間の端について考察することなく未定乗数法で見つけた候補の大小比較だけで最大値最小値を決定しました。
なぜそう出来るのですか？自明なことを聞いていたらすみません。
区間ってなんですか？
大学の課題なんですが、これの(2)がh=gとするしか全く浮かびません
だれか助けてください...
だれか助けてください...
三角不等式使えば簡単そうですね
ちょい待ち、(1)の答えが負になるのはおかしいやろ
ちゃんと見直して
ちゃんと見直して
>>607
[3] 閉区間 [-1,1] 上で定義される実数値連続関数全体の集合を C[-1,1] で表わす。
次の2つの関数を定義する。
do : C[-1,1]×C[-1,1]→R', do(f,g) = sup{|f(x)-g(x)| | -1≦x≦1 }
d1 : C[-1,1]×C[-1,1]→R', d1(f,g) = ∫[-1,1] |f(x)-g(x)| dx
do, d1は距離関数である。
また、f : [-1,1]→R, f(x) = x, g : [-1,1]→R, g(x) = 1-xx とする。
(1) do(f,g) と d1(f,g) を求めよ。
(2) 距離d1について、ε=1 としたとき、gのε-近傍に属する関数:[-1,1]→R 例を1つ挙げよ。
ただし、g≠h となるようにすること。
[3] 閉区間 [-1,1] 上で定義される実数値連続関数全体の集合を C[-1,1] で表わす。
次の2つの関数を定義する。
do : C[-1,1]×C[-1,1]→R', do(f,g) = sup{|f(x)-g(x)| | -1≦x≦1 }
d1 : C[-1,1]×C[-1,1]→R', d1(f,g) = ∫[-1,1] |f(x)-g(x)| dx
do, d1は距離関数である。
また、f : [-1,1]→R, f(x) = x, g : [-1,1]→R, g(x) = 1-xx とする。
(1) do(f,g) と d1(f,g) を求めよ。
(2) 距離d1について、ε=1 としたとき、gのε-近傍に属する関数:[-1,1]→R 例を1つ挙げよ。
ただし、g≠h となるようにすること。
(1)
do(f,g) = 5/4 (x=-1/2)
x+1 = X とおくと
|f(x)-g(x)| = |x(x+1)-1| = |X(X-1)-1|
d1(f,g) = ∫[-1,1] |f(x)-g(x)| dx
= ∫[-1,1] |x(x+1)-1| dx
= ∫[0,2] |X(X-1)-1| dX
= ∫[0,φ] (-XX+X+1) dX + ∫[φ,2] (XX-X-1) dX
= [ -(1/3)X^3 +(1/2)XX +X ](0,φ) + [ (1/3)X^3 -(1/2)XX -X ](φ,2)
= {-(1/3)φ^3 +(1/2)φ^2 +φ} + {-(1/3)φ^3 +(1/2)φ^2 +φ -4/3}
= -(2/3)φ^3 + φ^2 +2φ -4/3
= (5/3)φ - 1
= 1.6967233
φ = (1+√5)/2 = 1.618034 Golden ratio
do(f,g) = 5/4 (x=-1/2)
x+1 = X とおくと
|f(x)-g(x)| = |x(x+1)-1| = |X(X-1)-1|
d1(f,g) = ∫[-1,1] |f(x)-g(x)| dx
= ∫[-1,1] |x(x+1)-1| dx
= ∫[0,2] |X(X-1)-1| dX
= ∫[0,φ] (-XX+X+1) dX + ∫[φ,2] (XX-X-1) dX
= [ -(1/3)X^3 +(1/2)XX +X ](0,φ) + [ (1/3)X^3 -(1/2)XX -X ](φ,2)
= {-(1/3)φ^3 +(1/2)φ^2 +φ} + {-(1/3)φ^3 +(1/2)φ^2 +φ -4/3}
= -(2/3)φ^3 + φ^2 +2φ -4/3
= (5/3)φ - 1
= 1.6967233
φ = (1+√5)/2 = 1.618034 Golden ratio
(2)
h(x) = 1,
d1(g,h) = ∫[-1,1] |g(x)-h(x)| dx
= ∫[-1,1] xx dx
= [ (1/3)x^3 ](x=-1,1)
= 2/3
< ε
h(x) = 1,
d1(g,h) = ∫[-1,1] |g(x)-h(x)| dx
= ∫[-1,1] xx dx
= [ (1/3)x^3 ](x=-1,1)
= 2/3
< ε
「お役御免」と言っている馬鹿はくびになるんですか
内容が断片化しにくい代わりに解読が難しい形式を編み出したんだろうから
・あるものごったまぜで書く
・自動証明にぶち込む、人手は蟻社会にやらせる
・今回の形式に翻訳する
・人が査読する
のループでアウトプットを産出する
産業化してしまうが仕方ない
・あるものごったまぜで書く
・自動証明にぶち込む、人手は蟻社会にやらせる
・今回の形式に翻訳する
・人が査読する
のループでアウトプットを産出する
産業化してしまうが仕方ない
(2)
h(x) = 1 - (1-ε)xx,
d1(g,h) = ∫[-1,1] |g(x)-h(x)| dx
= ∫[-1,1] εxx dx
= [ (ε/3)x^3 ](x=-1,-1)
= (2/3)ε,
h(x) = 1 - (1-ε)xx,
d1(g,h) = ∫[-1,1] |g(x)-h(x)| dx
= ∫[-1,1] εxx dx
= [ (ε/3)x^3 ](x=-1,-1)
= (2/3)ε,
以下の不等式を満たす実数x,yのうち、x+yを最大にするものをすべて求めよ。
ただしx,yはともに0以上2π未満とする。
-1/2 ≤ (sinx)^2-sinxsiny+(siny)^2 ≤ 1/2
ただしx,yはともに0以上2π未満とする。
-1/2 ≤ (sinx)^2-sinxsiny+(siny)^2 ≤ 1/2
なし
環 R上の加群 (R-加群): M について
∀(α∈R, a∈M) { α・a = 0 ⇒ (α=0 ∨ a=0) }
これが真である為に R または M に必要な条件を教えてください。
Rが体(field)の時は真、 M=R={非整域} の時は偽 なのは分かりました。
R が整域なら真であると予想を立てているのですが、どうでしょうか？
∀(α∈R, a∈M) { α・a = 0 ⇒ (α=0 ∨ a=0) }
これが真である為に R または M に必要な条件を教えてください。
Rが体(field)の時は真、 M=R={非整域} の時は偽 なのは分かりました。
R が整域なら真であると予想を立てているのですが、どうでしょうか？
>>620
Rが可換とします。
それが任意の加群Mについて成立する必要十分条件はRが体である事です。
Rが体でなければRは(左)非可逆元aを持ちます。
M=R/Raとおけばα:=1+RaはMの0でない類ですがaα=0です。
Rが可換でないときは先の命題が任意の左加群について成立する必要十分条件はRの任意の0でない元が左可逆である事です。
Rが可換とします。
それが任意の加群Mについて成立する必要十分条件はRが体である事です。
Rが体でなければRは(左)非可逆元aを持ちます。
M=R/Raとおけばα:=1+RaはMの0でない類ですがaα=0です。
Rが可換でないときは先の命題が任意の左加群について成立する必要十分条件はRの任意の0でない元が左可逆である事です。
あれ？
>>620は任意の加群が忠実加群(faithful module)になる条件を聞いてるんじゃないの？
>>620は任意の加群が忠実加群(faithful module)になる条件を聞いてるんじゃないの？
8. 次の式を簡単にせよ。
(1)1/3log2 9+log2 3√75+1/6log2 25
2を何乗かして3になる数、5になる数、9になる数、15になる数、25になる数わかりません。
教科書の節末問題です。いきなりこれで絶句しました。先生、解き方をお教えください。
(1)1/3log2 9+log2 3√75+1/6log2 25
2を何乗かして3になる数、5になる数、9になる数、15になる数、25になる数わかりません。
教科書の節末問題です。いきなりこれで絶句しました。先生、解き方をお教えください。
1/3log2 9=1/3log2 3^2=2/3log2 3
log2 3√75=log2 15√3=log2 3√3+log2 5=log2 3^(3/2)+log2 5=3/2log2 3+log2 5
1/6log2 25=1/6log2 5^2=1/3log2 5
log2 3√75=log2 15√3=log2 3√3+log2 5=log2 3^(3/2)+log2 5=3/2log2 3+log2 5
1/6log2 25=1/6log2 5^2=1/3log2 5
先生大変申し訳ありませんでした。75の3乗根でした。どう書いていいかわかりませんでした。
>>617
左側は殆ど明らかなので右側のみ考える。
直線 y=x 上で考えると
sin(x)^2 -sin(x)sin(y) + sin(y)^2 = sin(x)^2,
∴ (2-1/4)π≦ x=y < 2π のとき問題の条件を満足する。
∴ x+y の最大値はない。
・蛇足
(与式) = {sin(x)}^2 -sin(x)sin(y) + {sin(y)}^2
= (3/4) + {1/4 - sin(x)sin(y) + [sin(x)sin(y)]^2} - {1-sin(x)^2}{1-sin(y)^2}
= (3/4) + {1/2 - sin(x)sin(y)}^2 - {cos(x)cos(y)}^2
= (3/4) - {1/2 + cos(x+y)}{cos(x-y) - 1/2}
(2-1/5)π ≦ x,y < 2π のとき
cos(x+y) ≧ cos(2π/5) = (φ-1)/2 = 0.309017
cos(x-y) ≧ cos(π/5) = φ/2 > 0.809017
(与式) ≦ 3/4 - φ(φ-1)/4 = 3/4 - 1/4 = 1/2,
∴問題の条件を満足する。
φ = (1+√5)/2 = 1.618034
左側は殆ど明らかなので右側のみ考える。
直線 y=x 上で考えると
sin(x)^2 -sin(x)sin(y) + sin(y)^2 = sin(x)^2,
∴ (2-1/4)π≦ x=y < 2π のとき問題の条件を満足する。
∴ x+y の最大値はない。
・蛇足
(与式) = {sin(x)}^2 -sin(x)sin(y) + {sin(y)}^2
= (3/4) + {1/4 - sin(x)sin(y) + [sin(x)sin(y)]^2} - {1-sin(x)^2}{1-sin(y)^2}
= (3/4) + {1/2 - sin(x)sin(y)}^2 - {cos(x)cos(y)}^2
= (3/4) - {1/2 + cos(x+y)}{cos(x-y) - 1/2}
(2-1/5)π ≦ x,y < 2π のとき
cos(x+y) ≧ cos(2π/5) = (φ-1)/2 = 0.309017
cos(x-y) ≧ cos(π/5) = φ/2 > 0.809017
(与式) ≦ 3/4 - φ(φ-1)/4 = 3/4 - 1/4 = 1/2,
∴問題の条件を満足する。
φ = (1+√5)/2 = 1.618034
8. 次の式を簡単にせよ。
(1)1/3log2 9+log2 3^√75+1/6log2 25
2を何乗かして3になる数、5になる数、9になる数、15になる数、25になる数、75になる数わかりません。
教科書の節末問題です。いきなりこれで絶句しました。先生、解き方をお教えください。
(1)1/3log2 9+log2 3^√75+1/6log2 25
2を何乗かして3になる数、5になる数、9になる数、15になる数、25になる数、75になる数わかりません。
教科書の節末問題です。いきなりこれで絶句しました。先生、解き方をお教えください。
8. 次の式を簡単にせよ。
(1)1/3log2 9+log2 75^(1/3)+1/6log2 25
2を何乗かして3になる数、5になる数、9になる数、15になる数、25になる数、75になる数わかりません。
教科書の節末問題です。いきなりこれで絶句しました。先生、解き方をお教えください。
(1)1/3log2 9+log2 75^(1/3)+1/6log2 25
2を何乗かして3になる数、5になる数、9になる数、15になる数、25になる数、75になる数わかりません。
教科書の節末問題です。いきなりこれで絶句しました。先生、解き方をお教えください。
log[2]3やlog[2]5などが何かを具体的に求めて計算する問題ではない
log[a](bc)=log[a]b+log[a]cを使って簡単にする問題だ
以下底の2は省略
log9=2log3
log(75^(1/3))=(1/3)*log75
log75=log3+2log5
後は頑張れ
log[a](bc)=log[a]b+log[a]cを使って簡単にする問題だ
以下底の2は省略
log9=2log3
log(75^(1/3))=(1/3)*log75
log75=log3+2log5
後は頑張れ
実数a,b,cについての以下の連立方程式を解け。
2a^2-1=b
2b^2-1=c
2c^2-1=a
2a^2-1=b
2b^2-1=c
2c^2-1=a
|a| > 1なら1 < |a| < 2a^-1 = b < c < aで矛盾
a = cos(x)とすると
cos(2x) = b
cos(4x) = c
cos(8x) = cos(x) ⇔ sin(9x/2)sin(7x/2) = 0
a = cos(x)とすると
cos(2x) = b
cos(4x) = c
cos(8x) = cos(x) ⇔ sin(9x/2)sin(7x/2) = 0
0 = T_2(T_2(T_2(a))) - a
= T_8(a) - a
= (a-1)(2a-1){2T_3(a)+1}(8a^3 +4aa-4a-1),
より
a=1, 1/2, cos(2π/9), cos(4π/9), cos(8π/9), cos(2π/7), cos(4π/7), cos(6π/7)
= T_8(a) - a
= (a-1)(2a-1){2T_3(a)+1}(8a^3 +4aa-4a-1),
より
a=1, 1/2, cos(2π/9), cos(4π/9), cos(8π/9), cos(2π/7), cos(4π/7), cos(6π/7)
問題じゃないんですがこの記号がわからないです
https://imgur.com/UOpDCsS
https://imgur.com/UOpDCsS
>>636
https://gigazine.net/news/20171025-history-of-ampersand/
これそのものではないけど昔スヌーピーの図柄で見たことがある
https://gigazine.net/news/20171025-history-of-ampersand/
これそのものではないけど昔スヌーピーの図柄で見たことがある
2/{3^(1/3)-1}
x^3 -3x^2 -6x -4
6^30の最高位の数字を求めよ。ただし，log10 2=0.3010，log10 3=0.4771とする。
6^30=180
どういう精神持ったらそんな高校数学のスレチ出題に必死になれるんだ
まともな回答が欲しければ、まともな回答をもらえるような態度をとればいいのに何をしに来たんだ？
botが答えているとでも思っているのか？
botが答えているとでも思っているのか？
なんというブーメラン
そんなこと言うなら解き方言ってみろよ
数学検定準1級取って個別指導の塾講師になるしか道がねえんだよ
他に質問できるスレがあるのかよ
数学検定準1級取って個別指導の塾講師になるしか道がねえんだよ
他に質問できるスレがあるのかよ
こんな教科書レベルの問題解けなくて口の悪い人に教わりたくはないですねぇ
たかが30乗位直接計算でもできるだろ
>>652
あと半年あるんだよ
俺が解けなかなったんだからお前も解けないんだろ
有能で性格がいい先生頼みます
あと半年あるんだよ
俺が解けなかなったんだからお前も解けないんだろ
有能で性格がいい先生頼みます
log[10]2とlog[10]3が与えられてるのに、6^30の対数を取ることすらできない人がいると聞いて飛んできますた！
>>641
log(6^30) = 30 * log(6) = 30 * (log(2) + log(3)) = 23.343
6^30 = 10^(23.343) = 10^(0.343) * 10^23
2 ≒ 10^(0.3010) < 10^(0.343) < 10^(0.4771) ≒ 3
ゆえに、答えは、 2 である。
log(6^30) = 30 * log(6) = 30 * (log(2) + log(3)) = 23.343
6^30 = 10^(23.343) = 10^(0.343) * 10^23
2 ≒ 10^(0.3010) < 10^(0.343) < 10^(0.4771) ≒ 3
ゆえに、答えは、 2 である。
実数a,b,c,dについての以下の連立方程式は解けるか。
4a^3 -3a = b,
4b^3 -3b = c,
4c^3 -3c = d,
4d^3 -3d = a,
実数a,b,c,dについての以下の連立方程式は解けるか。
3a - 4a^3 = b,
3b - 4b^3 = c,
3c - 4c^3 = d,
3d - 4d^3 = a,
4a^3 -3a = b,
4b^3 -3b = c,
4c^3 -3c = d,
4d^3 -3d = a,
実数a,b,c,dについての以下の連立方程式は解けるか。
3a - 4a^3 = b,
3b - 4b^3 = c,
3c - 4c^3 = d,
3d - 4d^3 = a,
解ける
この手の問題って>>644で終いだよな
つまり
人間が手計算では難しいことを前提とした問題だから
数学としては筋が悪い感じがしてならない
まあ
数学をやってるのが人間なのだから
素数を使った後悔暗号鍵が有効なのだし
数学も工学に応用される部分が
その存在価値の大部分とすれば
あながち悪い問題ではないのかも知れないが
つまり
人間が手計算では難しいことを前提とした問題だから
数学としては筋が悪い感じがしてならない
まあ
数学をやってるのが人間なのだから
素数を使った後悔暗号鍵が有効なのだし
数学も工学に応用される部分が
その存在価値の大部分とすれば
あながち悪い問題ではないのかも知れないが
>>651
30=11110(2)
だから
2乗の2乗の2乗の2乗を順に計算して
そこまでで求めた4つの数を全部掛けるわけね
あるいは
2乗の2乗の2乗の2乗の2乗を計算して
2乗で割るのかしら
割り算の計算量はかなり大きいから
後者は筋が良くないね
あるいは
30=1010(3)
だから
3乗の3乗の3乗を計算して3乗と掛けるとか？
計算量的に一番楽な方法って何だろ
30=11110(2)
だから
2乗の2乗の2乗の2乗を順に計算して
そこまでで求めた4つの数を全部掛けるわけね
あるいは
2乗の2乗の2乗の2乗の2乗を計算して
2乗で割るのかしら
割り算の計算量はかなり大きいから
後者は筋が良くないね
あるいは
30=1010(3)
だから
3乗の3乗の3乗を計算して3乗と掛けるとか？
計算量的に一番楽な方法って何だろ
電卓でやってみた
6^2
=36
36^2
=1,296
1,296^2
=1,679,616
1,679,616^2
=2,821,109,907,456
2,821,109,907,456^2
=7.958661109946E24
7.958661109946E24÷36
=2.210739197207E23
6^(30)
=2.210739197207E23
6^2
=36
36^2
=1,296
1,296^2
=1,679,616
1,679,616^2
=2,821,109,907,456
2,821,109,907,456^2
=7.958661109946E24
7.958661109946E24÷36
=2.210739197207E23
6^(30)
=2.210739197207E23
小問1なんですがθが大きいほど分母が大きくなって尤度関数が小さくなるのに、θ=x_maxの時に尤度関数が最大となるという説明はなぜでしょうか
最小値の方が尤度関数は大きな値になると思います
最小値の方が尤度関数は大きな値になると思います
>>661
>割り算の計算量はかなり大きいから
>後者は筋が良くないね
あ
最高位だけ求めるなら大した計算量じゃなかったね
>割り算の計算量はかなり大きいから
>後者は筋が良くないね
あ
最高位だけ求めるなら大した計算量じゃなかったね
Twitterで拾った奴なんですけど答え出してくれないので助けてください
xを求める問題です 0<x<94 までしかわかりません
スレ違ったら申し訳ないです
>>660
アホ丸出しだな
(整数)^(整数)の最高位や1の位を求める計算は高校の教科書にも載ってるし
大学入試にも出る問題なのによ
アホ丸出しだな
(整数)^(整数)の最高位や1の位を求める計算は高校の教科書にも載ってるし
大学入試にも出る問題なのによ
>>667
数値あってます 字汚くて申し訳ないんですけど左上70で左下64です
整数とは限らないっていってました
数値あってます 字汚くて申し訳ないんですけど左上70で左下64です
整数とは限らないっていってました
6^30の桁数は24桁程度だから
暗算で求めることができる人もいるのだろうね
そういう人が正しい答えを計算で得たとしても
解答にして正答とされないとしたら問題だし
出題意図はそうではないので採点者も悩むだろう
>>662
のように
6^8=1679616
を求めるぐらいは誰でもできようから
1.67<6^8/10^6<1.68
2.78<2.7889<6^16/10^12<2.8224<2.83
7.72<7.7284<6^32/10^24<8.0089<8.01
2.1444<6^30/10^23<2.2225
から2を得るのもたやすい
暗算で求めることができる人もいるのだろうね
そういう人が正しい答えを計算で得たとしても
解答にして正答とされないとしたら問題だし
出題意図はそうではないので採点者も悩むだろう
>>662
のように
6^8=1679616
を求めるぐらいは誰でもできようから
1.67<6^8/10^6<1.68
2.78<2.7889<6^16/10^12<2.8224<2.83
7.72<7.7284<6^32/10^24<8.0089<8.01
2.1444<6^30/10^23<2.2225
から2を得るのもたやすい
以下のような数値が得られたので、Mathematicaで指数関数か級数で近似式を得たいのですが、どのようにしたら良いでしょうか？
分かる方がいましたらご教授下さい。m(_ _)m
曲線のフィットか近似関数補間を使うのかなとは思って色々してみましたが
うまくいきません。
X Y
-9.79 -0.10
-8.01 -0.10
-6.00 -0.10
-4.00 -0.10
-2.01 -0.10
0.00 -0.10
0.099 -0.01
0.199 -0.01
0.301 0.00
0.402 0.01
0.499 0.11
0.600 1.10
0.701 8.51
0.708 10.0
0.732 15.0
0.749 20.0
分かる方がいましたらご教授下さい。m(_ _)m
曲線のフィットか近似関数補間を使うのかなとは思って色々してみましたが
うまくいきません。
X Y
-9.79 -0.10
-8.01 -0.10
-6.00 -0.10
-4.00 -0.10
-2.01 -0.10
0.00 -0.10
0.099 -0.01
0.199 -0.01
0.301 0.00
0.402 0.01
0.499 0.11
0.600 1.10
0.701 8.51
0.708 10.0
0.732 15.0
0.749 20.0
Interpolation[{{-9.79`, -0.1`}, {-8.01`, -0.1`}, {-6.`, -0.1`}, \
{-4.`, -0.1`}, {-2.01`, -0.1`}, {0.`, -0.1`}, {0.099`, -0.01`}, \
{0.199`, -0.01`}, {0.301`, 0.`}, {0.402`, 0.01`}, {0.499`,
0.11`}, {0.6`, 1.1`}, {0.701`, 8.51`}, {0.708`, 10.`}, {0.732`,
15.`}, {0.749`, 20.`}}]
{-4.`, -0.1`}, {-2.01`, -0.1`}, {0.`, -0.1`}, {0.099`, -0.01`}, \
{0.199`, -0.01`}, {0.301`, 0.`}, {0.402`, 0.01`}, {0.499`,
0.11`}, {0.6`, 1.1`}, {0.701`, 8.51`}, {0.708`, 10.`}, {0.732`,
15.`}, {0.749`, 20.`}}]
すいません、途中でボタンを押してしまいました。。。
以下のようにしてみましたら、何かしらの関数は描けるのですが
OUTがドメイン 、OUTPUT が スカラー ？？？ と なっています。
具体的な関数はどういった式なのでしょうか？
Interpolation[{{-9.79`, -0.1`}, {-8.01`, -0.1`}, {-6.`, -0.1`}, \
{-4.`, -0.1`}, {-2.01`, -0.1`}, {0.`, -0.1`}, {0.099`, -0.01`}, \
{0.199`, -0.01`}, {0.301`, 0.`}, {0.402`, 0.01`}, {0.499`,
0.11`}, {0.6`, 1.1`}, {0.701`, 8.51`}, {0.708`, 10.`}, {0.732`,
15.`}, {0.749`, 20.`}}]
以下のようにしてみましたら、何かしらの関数は描けるのですが
OUTがドメイン 、OUTPUT が スカラー ？？？ と なっています。
具体的な関数はどういった式なのでしょうか？
Interpolation[{{-9.79`, -0.1`}, {-8.01`, -0.1`}, {-6.`, -0.1`}, \
{-4.`, -0.1`}, {-2.01`, -0.1`}, {0.`, -0.1`}, {0.099`, -0.01`}, \
{0.199`, -0.01`}, {0.301`, 0.`}, {0.402`, 0.01`}, {0.499`,
0.11`}, {0.6`, 1.1`}, {0.701`, 8.51`}, {0.708`, 10.`}, {0.732`,
15.`}, {0.749`, 20.`}}]
単なる計算による解答を排除するには
6^1000とかではどうかな
log=1000log6=778.1
1<10^0.1～10^0.3<2
より最高位は1
手間は変わらん
779桁の計算を正確にできる人もいるかも知れないが
そういう人は奇貨居くべしで合格させた方が良いかも
6^1000とかではどうかな
log=1000log6=778.1
1<10^0.1～10^0.3<2
より最高位は1
手間は変わらん
779桁の計算を正確にできる人もいるかも知れないが
そういう人は奇貨居くべしで合格させた方が良いかも
ほぼ全ての人にとって直接計算するよりも対数を利用した方がずっと簡単という問題にするべきか
対数を利用した方が面倒なんて問題をやらせると数学嫌いを作ることになるかもね
その問題の場合はもっとべき数が大きかったら対数計算の方が簡単だなと想像がつくけど
行列は何が便利なのかさっぱりわからなかった
よくあんなものを考えついた人がいたもんだと感心する
対数を利用した方が面倒なんて問題をやらせると数学嫌いを作ることになるかもね
その問題の場合はもっとべき数が大きかったら対数計算の方が簡単だなと想像がつくけど
行列は何が便利なのかさっぱりわからなかった
よくあんなものを考えついた人がいたもんだと感心する
>>677
その場合のように最高位が1とか2になるやつならいけるけど答えが8とか9になる問題が出せなくなる。
0.9030,0.9542とか区別するには対数の近似値が二桁近く信頼できないと。
その場合のように最高位が1とか2になるやつならいけるけど答えが8とか9になる問題が出せなくなる。
0.9030,0.9542とか区別するには対数の近似値が二桁近く信頼できないと。
出さなきゃいいだけじゃん
いや、それだとlog[10]2とlog[10]3の値から極力出せるlog[10]aを出して最高位が8とか9の処理ができるかの力が問えなくなる。
いずれにしてもこのスレ向きの話題じゃない
というか出題厨の相手しちゃいけない
というか出題厨の相手しちゃいけない
>>641
6^9 = (2^10) ・ (3^9)/2 = 1024 ・ 9841.5 = 1.0077696 ・ 10^m
を使う。
6^3 の最高位と同じ。
6^9 = (2^10) ・ (3^9)/2 = 1024 ・ 9841.5 = 1.0077696 ・ 10^m
を使う。
6^3 の最高位と同じ。
2/{3^(1/3)-1}?
2/{3^(1/3)-1}
=0.386722548701
=0.386722548701
x=x(s,t)
y=y(s,t)
からs,tを消去してf(x,y)=0となるfを求められるかどうかを一般的に判定する方法があれば教えてください
y=y(s,t)
からs,tを消去してf(x,y)=0となるfを求められるかどうかを一般的に判定する方法があれば教えてください
どうせ人工的なら、際どいところを狙って出題すべきでしたね
既に解決済みの簡単な高校数学の基礎問題にいつまであーだこーだ言い続けるんだろうか
松坂くんと同レベルのことやってるって自覚ないのかな
松坂くんと同レベルのことやってるって自覚ないのかな
松坂和夫著『解析入門中』を読んでいます。
「
A が距離空間 X の開集合であるとき、
A の各点 a に対して B(a ; r(a)) ⊂ A となる正の実数 r(a) が存在し、明らかに
A = ∪_{a ∈ A} B(a ; r(a))
となる。
」
という記述があります。
これって選出公理を使っていますよね。
それにもかかわらず、選出公理を使っていることを書いていません。
これはOKなんですか？
「
A が距離空間 X の開集合であるとき、
A の各点 a に対して B(a ; r(a)) ⊂ A となる正の実数 r(a) が存在し、明らかに
A = ∪_{a ∈ A} B(a ; r(a))
となる。
」
という記述があります。
これって選出公理を使っていますよね。
それにもかかわらず、選出公理を使っていることを書いていません。
これはOKなんですか？
>>682
与えられた対数値を使えば
log_10(6) = log_10(2) + log_10(3)
= 0.30103000 + 0.47712125
= 0.77815125 ←これを見てヒラメく
= (7/9) + 0.00037347
より
6^9 = 1.0077696・10^7
与えられた対数値を使えば
log_10(6) = log_10(2) + log_10(3)
= 0.30103000 + 0.47712125
= 0.77815125 ←これを見てヒラメく
= (7/9) + 0.00037347
より
6^9 = 1.0077696・10^7
そのようなことをヒラメいて、何か意味があるのですか？
>>658
f(x)=4x^3-3xとして、f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)=x を解け と同型
y=f(x)は、三次関数で(-1,-1),(-√3/2,0),(-1/2,1),(0,0),(1/2,-1),(√3/2,0),(1,1) らを通る。
f(x)=k は、|k|>1 で1実数解、|k|=1で二実数解、|k|<1で3実数解を持つ
ところで、|a|>1だと、|b|=|4a^3-3a|=|a|*|a^2+3(a^2-1)|>|a| だが、同様の操作で
|d|>|c|>|b|>|a|>|d| が 導かれるので、|a|≦1
f(x)=k は、|k|≦1 で最大3実数解を持ち、f^{2}(x)=k は、|k|≦1 で最大9実数解を持ち
f^{3}(x)=k は、|k|≦1 で最大27実数解を持ち、f^{4}(x)=k は、|k|≦1 で最大81実数解を持つ
従って、f^{4}(x)=x は、|x|≦1の範囲で、最大81実数解を持つ
4x^3-3x=k と 三倍角の公式 4cos^3(x)-3cos(x)=cos(3x) を見比べ、
a=cosθ,b=cos(3θ),c=cos(9θ),d=cos(27θ) の形のものが解になることが判るが、
4cos^3(27θ)-3cos(27θ)=cos(81θ)=cosθ より
a=cos(kπ/41),b=cos(3kπ/41),c=cos(9kπ/41),d=cos(27kπ/41) , k=0,...,41
a=cos(kπ/40),b=cos(3kπ/40),c=cos(9kπ/40),d=cos(27kπ/40) , k=1,...,39 (k=0,40は、上と重複するので除外した)
の81通りが、解となる
f(x)=4x^3-3xとして、f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)=x を解け と同型
y=f(x)は、三次関数で(-1,-1),(-√3/2,0),(-1/2,1),(0,0),(1/2,-1),(√3/2,0),(1,1) らを通る。
f(x)=k は、|k|>1 で1実数解、|k|=1で二実数解、|k|<1で3実数解を持つ
ところで、|a|>1だと、|b|=|4a^3-3a|=|a|*|a^2+3(a^2-1)|>|a| だが、同様の操作で
|d|>|c|>|b|>|a|>|d| が 導かれるので、|a|≦1
f(x)=k は、|k|≦1 で最大3実数解を持ち、f^{2}(x)=k は、|k|≦1 で最大9実数解を持ち
f^{3}(x)=k は、|k|≦1 で最大27実数解を持ち、f^{4}(x)=k は、|k|≦1 で最大81実数解を持つ
従って、f^{4}(x)=x は、|x|≦1の範囲で、最大81実数解を持つ
4x^3-3x=k と 三倍角の公式 4cos^3(x)-3cos(x)=cos(3x) を見比べ、
a=cosθ,b=cos(3θ),c=cos(9θ),d=cos(27θ) の形のものが解になることが判るが、
4cos^3(27θ)-3cos(27θ)=cos(81θ)=cosθ より
a=cos(kπ/41),b=cos(3kπ/41),c=cos(9kπ/41),d=cos(27kπ/41) , k=0,...,41
a=cos(kπ/40),b=cos(3kπ/40),c=cos(9kπ/40),d=cos(27kπ/40) , k=1,...,39 (k=0,40は、上と重複するので除外した)
の81通りが、解となる
>>693
ありがとうございました。
ずっと待っていた甲斐があり、とても助かりました。
Mathematicaはどのような操作をしましたか？
もしよろしければご教授頂ければありがたいです。
感謝ですm(_ _)m
ありがとうございました。
ずっと待っていた甲斐があり、とても助かりました。
Mathematicaはどのような操作をしましたか？
もしよろしければご教授頂ければありがたいです。
感謝ですm(_ _)m
>>690
ここがわかりませんでした
> = (7/9) + 0.00037347
> より
> 6^9 = 1.0077696・10^7
ここがわかりませんでした
> = (7/9) + 0.00037347
> より
> 6^9 = 1.0077696・10^7
私が仕事をすると
「仕事ができない人」
がどうのこうのというメールが飛んでくる♪
「仕事ができない人」
がどうのこうのというメールが飛んでくる♪
選出公理を使っているかいないかというのはどういう風に考えればいいんですか？
A ∋ a に対して、有界で連結な実数の集合 S_a が対応するとき、
a → (1/2) * (sup S_a + inf S_a) ∈ S_a
という写像が存在します。
A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうのに選出公理は不要です。
A ∋ a に対して、有界な実数の集合 S_a が対応するとき、
A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうためには、
選出公理は必要ですよね？
S_a に対する条件が空でないというだけの場合には選出公理を使わなくてはならない。
S_a に対する条件が強くなると選出公理を使わなくてもいいケースが増えてくる。
みたいなイメージですか？
A ∋ a に対して、有界で連結な実数の集合 S_a が対応するとき、
a → (1/2) * (sup S_a + inf S_a) ∈ S_a
という写像が存在します。
A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうのに選出公理は不要です。
A ∋ a に対して、有界な実数の集合 S_a が対応するとき、
A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうためには、
選出公理は必要ですよね？
S_a に対する条件が空でないというだけの場合には選出公理を使わなくてはならない。
S_a に対する条件が強くなると選出公理を使わなくてもいいケースが増えてくる。
みたいなイメージですか？
n次関数をaからbまで積分するときの、リーマン積分での計算量とルベーグ積分での計算量の大小を比較せよ。
（１）
S が空でない集合であるとき、 r ∈ S を取ることができる。
（２）
任意の A ∋ a に対して、 S_a ≠ φ とする。
任意の A ∋ a に対して、 r(a) ∈ S_a を取ることができる。
（２）ではなぜ選出公理が必要なのでしょうか？
S が空でない集合であるとき、 r ∈ S を取ることができる。
（２）
任意の A ∋ a に対して、 S_a ≠ φ とする。
任意の A ∋ a に対して、 r(a) ∈ S_a を取ることができる。
（２）ではなぜ選出公理が必要なのでしょうか？
Aが無限集合だからです
空でない閉集合
マルチ馬鹿は不快だな
>>684
教科書の問題も解けなくてユーモアのセンスもない馬鹿が数学者気取ってここにいるんじゃねえよ！低脳ｗ
このスレに相応しい頭のいい先生、2/{3^(1/3)-1} を簡単にしてください
教科書の問題も解けなくてユーモアのセンスもない馬鹿が数学者気取ってここにいるんじゃねえよ！低脳ｗ
このスレに相応しい頭のいい先生、2/{3^(1/3)-1} を簡単にしてください
途中の計算式もよろしくお願いします
>>683
a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + a*b + b^2)
が成り立ちますので、
1 / (a - b) = (a^2 + a*b + b^2) / (a^3 - b^3)
が成り立ちます。
a = 3^(1/3)
b = 1
とすると、
1 / (a - b)
=
(a^2 + a*b + b^2) / (a^3 - b^3)
=
(3^(2/3) + 3^(1/3) + 1) / (3 - 1)
=
(3^(2/3) + 3^(1/3) + 1) / 2
が成り立ちます。
この結果を使うと、
2 / (3^(1/3) - 1)
=
2 / (a - b)
=
2 * (3^(2/3) + 3^(1/3) + 1) / 2
=
3^(2/3) + 3^(1/3) + 1
となります。
「簡単」の定義が分からないのでこれが正解かどうかは分かりません。
a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + a*b + b^2)
が成り立ちますので、
1 / (a - b) = (a^2 + a*b + b^2) / (a^3 - b^3)
が成り立ちます。
a = 3^(1/3)
b = 1
とすると、
1 / (a - b)
=
(a^2 + a*b + b^2) / (a^3 - b^3)
=
(3^(2/3) + 3^(1/3) + 1) / (3 - 1)
=
(3^(2/3) + 3^(1/3) + 1) / 2
が成り立ちます。
この結果を使うと、
2 / (3^(1/3) - 1)
=
2 / (a - b)
=
2 * (3^(2/3) + 3^(1/3) + 1) / 2
=
3^(2/3) + 3^(1/3) + 1
となります。
「簡単」の定義が分からないのでこれが正解かどうかは分かりません。
>>705
この前、常用対数の問題解けなかったバカか？教科書レベルも解けないカス
こんなのが塾講師とかw生徒が可哀想ww
この前、常用対数の問題解けなかったバカか？教科書レベルも解けないカス
こんなのが塾講師とかw生徒が可哀想ww
常用対数と聞いてlog[2]を連想する貴方は情報科学屋さんですか？
c,sを実数とする。
実数x,yについての連立方程式
cx-sy=1
sx+cy=2
が-1≤x≤1かつ-1≤y≤1の範囲に解(x,y)を持つとき、|c|+|s|の取りうる値の範囲を求めよ。
実数x,yについての連立方程式
cx-sy=1
sx+cy=2
が-1≤x≤1かつ-1≤y≤1の範囲に解(x,y)を持つとき、|c|+|s|の取りうる値の範囲を求めよ。
明らかに (c,s)≠(0,0)
cc+ss > 0
与式から
x = (c+2s)/(cc+ss), y = (2c-s)/(cc+ss),
(cc+ss)^2 (1-xx) = (cc+ss)^2 - (c+2s)^2
= (cc+c+ss+2s)(cc-c+ss-2s)
= {(c+1/2)^2 +(s+1)^2 -5/4] {(c-1/2)^2 +(s-1)^2 -5/4},
xx≦1 ⇒ 原点で接する2円の外側。
(cc+ss)^2 (1-yy) = (cc+ss)^2 - (2c-s)^2
= (cc+2c+ss-s)(cc-2c+ss+s)
= {(c+1)^2 +(s-1/2)^2 -5/4] {(c-1)^2 +(s+1/2)^2 -5/4},
yy≦1 ⇒ 原点で接する2円の外側。
よって求める領域は、原点を通る4円の外側。
|c|+|s| はそれらの交点で最小になる。
交点 (c,s) = (3/2,1/2) (-1/2,3/2) (-3/2,-1/2) (1/2,-3/2)
|c|+|s| = 2.
cc+ss > 0
与式から
x = (c+2s)/(cc+ss), y = (2c-s)/(cc+ss),
(cc+ss)^2 (1-xx) = (cc+ss)^2 - (c+2s)^2
= (cc+c+ss+2s)(cc-c+ss-2s)
= {(c+1/2)^2 +(s+1)^2 -5/4] {(c-1/2)^2 +(s-1)^2 -5/4},
xx≦1 ⇒ 原点で接する2円の外側。
(cc+ss)^2 (1-yy) = (cc+ss)^2 - (2c-s)^2
= (cc+2c+ss-s)(cc-2c+ss+s)
= {(c+1)^2 +(s-1/2)^2 -5/4] {(c-1)^2 +(s+1/2)^2 -5/4},
yy≦1 ⇒ 原点で接する2円の外側。
よって求める領域は、原点を通る4円の外側。
|c|+|s| はそれらの交点で最小になる。
交点 (c,s) = (3/2,1/2) (-1/2,3/2) (-3/2,-1/2) (1/2,-3/2)
|c|+|s| = 2.
松坂和夫著『解析入門中』を読んでいます。
以下の命題の証明で、「選出公理」を使っていますよね？
A を距離空間 X の部分集合、 a を X の点とする。 a が A の触点であるためには、 lim_{n → ∞} x_n = a となる
ような A の点列 (x_n) の存在することが必要かつ十分である。
証明
a ∈ 「A の閉包」ならば、任意の n = 1, 2, 3, … に対して
B(a ; 1/n) ∩ A ≠ φ
である。そこで B(a ; 1/n) ∩ A から点 x_n をとれば、 (x_n) は A の点列で、
d(x_n, a) < 1/n であるから、 x_n → a となる。
以下の命題の証明で、「選出公理」を使っていますよね？
A を距離空間 X の部分集合、 a を X の点とする。 a が A の触点であるためには、 lim_{n → ∞} x_n = a となる
ような A の点列 (x_n) の存在することが必要かつ十分である。
証明
a ∈ 「A の閉包」ならば、任意の n = 1, 2, 3, … に対して
B(a ; 1/n) ∩ A ≠ φ
である。そこで B(a ; 1/n) ∩ A から点 x_n をとれば、 (x_n) は A の点列で、
d(x_n, a) < 1/n であるから、 x_n → a となる。
〔710の類題〕
c, s を実数とする。
実数 x, y についての連立方程式
cx-sy = 1
sx+cy = 2
が xx+yy ≦ 2 の範囲に解 (x, y) を持つとき、|c|+|s| の取りうる値の範囲を求めよ。
c, s を実数とする。
実数 x, y についての連立方程式
cx-sy = 1
sx+cy = 2
が xx+yy ≦ 2 の範囲に解 (x, y) を持つとき、|c|+|s| の取りうる値の範囲を求めよ。
松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。
以下の定義ですが、 ε は任意の正の実数ですが、ある正の実数ではなぜいけないのでしょうか？
ある正の実数 ε に対して、半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもてば、任意の ε に対しても
半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもつように思います。
定義：
距離空間 X の部分集合 A は、任意の ε > 0 に対し、半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもつとき、
全有界またはプレコンパクト（precompact）とよばれる。
以下の定義ですが、 ε は任意の正の実数ですが、ある正の実数ではなぜいけないのでしょうか？
ある正の実数 ε に対して、半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもてば、任意の ε に対しても
半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもつように思います。
定義：
距離空間 X の部分集合 A は、任意の ε > 0 に対し、半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもつとき、
全有界またはプレコンパクト（precompact）とよばれる。
あ、一般の距離空間では成り立ちませんね。
ユークリッド空間の場合にはどうですか？
ユークリッド空間の場合にはどうですか？
有限次元なら証明可能
>>716
[ √(5/2), ∞)
ラグランジュの恒等式で
(cc+ss)(xx+yy) = (cx-sy)^2 + (sx+cy)^2 = 5,
xx+yy ≦ 2 ⇔ cc+ss ≧ 5/2,
よって、求める領域は 半径√(5/2) の円の外側。
|c|+|s| ≧ √(cc+ss) ≧ √(5/2),
[ √(5/2), ∞)
ラグランジュの恒等式で
(cc+ss)(xx+yy) = (cx-sy)^2 + (sx+cy)^2 = 5,
xx+yy ≦ 2 ⇔ cc+ss ≧ 5/2,
よって、求める領域は 半径√(5/2) の円の外側。
|c|+|s| ≧ √(cc+ss) ≧ √(5/2),
行列[a,-b][b,a]（a,bは実数）が長さを保ったままの回転を表す一次変換である必要十分条件は、
「ある実数x,yが存在して、a=cos(x),b=sin(x)と表せること」
で合っていますか？
「ある実数x,yが存在して、a=cos(x),b=sin(x)と表せること」
で合っていますか？
無限次元の球はコンパクトにはならない
有限次元である事が必要十分
有限次元である事が必要十分
長さ保たない回転ってあるん？
松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。
距離空間 X が完備かつ全有界 ⇒ X はコンパクト
の証明ですが、おかしなことを書いています。
背理法で証明しているのですが、
「(U_λ) λ∈ Λ を X の任意の被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
などと書かれています。
これはまずいですよね。
「X の任意の被覆 (U_λ) λ∈ Λ に対して、 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
とも解釈できますよね。
「(U_λ) λ∈ Λ を X のある被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
と書くべきですよね。
距離空間 X が完備かつ全有界 ⇒ X はコンパクト
の証明ですが、おかしなことを書いています。
背理法で証明しているのですが、
「(U_λ) λ∈ Λ を X の任意の被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
などと書かれています。
これはまずいですよね。
「X の任意の被覆 (U_λ) λ∈ Λ に対して、 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
とも解釈できますよね。
「(U_λ) λ∈ Λ を X のある被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
と書くべきですよね。
その訂正後の日本語もおかしい
構うなや
メルカトル図法で大円に相当するものは地図上では曲線に見えますが
どういう曲線なんでしょうか？北（南）回帰線もどんな曲線？
どういう曲線なんでしょうか？北（南）回帰線もどんな曲線？
計算して式を見せろよ
回帰線は直線だったな
回帰線は直線だったな
k cosθcosφ=sinφ
だから
φ=arctan(k cosθ)
だから
φ=arctan(k cosθ)
なんて気持ち悪い式だ
Q=[1,1][1,1]とする。
以下の等式を同時に満たす2次正方行列A,Pの組を1つ与えよ。
Eは2次の単位行列である。
P^(-1)AP=E
A^(n)=(Q-E)
以下の等式を同時に満たす2次正方行列A,Pの組を1つ与えよ。
Eは2次の単位行列である。
P^(-1)AP=E
A^(n)=(Q-E)
A=[a,a+d][a+2d,a+3d]
が対角化可能でない非負整数a,dを全て決定せよ。
が対角化可能でない非負整数a,dを全て決定せよ。
自然数nを２進法表記したとき、その数字列に現れる1の数をa[n]、0の数をb[n]とおく。
また自然数kに対して
S_k = Σ[n=2^k to 2^(k+1)-1] a[n]
T_k = Σ[n=2^k to 2^(k+1)-1] b[n]
とするとき、極限
lim[k→∞] T_k/S_k
を求めよ。
また自然数kに対して
S_k = Σ[n=2^k to 2^(k+1)-1] a[n]
T_k = Σ[n=2^k to 2^(k+1)-1] b[n]
とするとき、極限
lim[k→∞] T_k/S_k
を求めよ。
0でないある実数s,tを用いて
[0,s][t,0]
の形で表される2次正方行列を逆対角行列と呼ぶこととする。
行列A=[a,b][c,d]を考える。
このとき、以下の命題を真とするような実数a,b,c,dの条件を述べよ。
『Aに対しある2次正方行列Pが存在し、P^(-1)APが逆対角行列となる。』
[0,s][t,0]
の形で表される2次正方行列を逆対角行列と呼ぶこととする。
行列A=[a,b][c,d]を考える。
このとき、以下の命題を真とするような実数a,b,c,dの条件を述べよ。
『Aに対しある2次正方行列Pが存在し、P^(-1)APが逆対角行列となる。』
trace
a+d = tr(A) = tr(P^(-1)AP) = tr([0,s][t,0]) = 0,
ad-bc = det(A) = det(P^(-1)AP) = det([0,s][t,0]) = -st,
少し緩めて
『Aに対しある2次正方行列 P≠O が存在し、AP = P(逆対角行列) となる。』
にすると
a+d = 0 以外に (a-d)^2 + 4bc ≧0,
もかな？ stは
(st +ad -bc)^2 - (a+d)^2･st = 0,
から････
ad-bc = det(A) = det(P^(-1)AP) = det([0,s][t,0]) = -st,
少し緩めて
『Aに対しある2次正方行列 P≠O が存在し、AP = P(逆対角行列) となる。』
にすると
a+d = 0 以外に (a-d)^2 + 4bc ≧0,
もかな？ stは
(st +ad -bc)^2 - (a+d)^2･st = 0,
から････
>>734
各kについて、2^k個のnがある。
上1桁はすべて1であり、下k桁は 1と0が同数である。
S_k = 2^(k-1)･(k+2)
T_k = 2^(k-1)･k
より
T_k/S_k = k/(k+2),
各kについて、2^k個のnがある。
上1桁はすべて1であり、下k桁は 1と0が同数である。
S_k = 2^(k-1)･(k+2)
T_k = 2^(k-1)･k
より
T_k/S_k = k/(k+2),
>>730
緯度をφ、経度(方位角)をθとする。
デカルト座標に直すと
x = R cosθcosφ, y = R sinθcosφ, z = R sinφ,
Rは地球の半径
さて、大円は中心を通る平面との交線だからデカルト座標で
kx = z
と表わせる。極座標では
k cosθcosφ = sinφ
ところで、メルカトル図法は、横軸が経度θ、縦軸が tanφ だから
(縦) = k cos(横)
つまり、余弦曲線。
緯度をφ、経度(方位角)をθとする。
デカルト座標に直すと
x = R cosθcosφ, y = R sinθcosφ, z = R sinφ,
Rは地球の半径
さて、大円は中心を通る平面との交線だからデカルト座標で
kx = z
と表わせる。極座標では
k cosθcosφ = sinφ
ところで、メルカトル図法は、横軸が経度θ、縦軸が tanφ だから
(縦) = k cos(横)
つまり、余弦曲線。
どうでもいいけど、
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ････ = log(2)
もメルカトル級数って云うらしいよ。
1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ・・・・ = 1/(1+x),
を積分する？
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ････ = log(2)
もメルカトル級数って云うらしいよ。
1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ・・・・ = 1/(1+x),
を積分する？
面白スレ２９－934 にありますた。
>>738
A = [ [a,b] [c,d] ]
P = [ [p11,p12] [p21,p22] ]
Q = [ [0,s] [t,0] ]
とする。
AP = PQ
を成分で表わせば
a p11 -t p12 +b p21 = 0,
-s p11 +a p12 +b p22 = 0,
c p11 +d p21 -t p22 = 0,
c p12 -s p21 +d p22 = 0,
これが解 (p11,p12,p21,p22) ≠ (0,0,0,0) をもつ条件は
0 = det([a,-t,b,0] [-s,a,0,b] [c,0,d,-t] [0,c,-s,d])
= (st +ad -bc)^2 - (a+d)^2･st,
これが実解stをもつ条件は、判別式
D = (aa+dd+2bc)^2 - 4(ad-bc)^2
= (a+d)^2 {(a-d)^2 + 4bc}
≧ 0,
∴ a+d = 0 または (a-d)^2 + 4bc ≧ 0,
A = [ [a,b] [c,d] ]
P = [ [p11,p12] [p21,p22] ]
Q = [ [0,s] [t,0] ]
とする。
AP = PQ
を成分で表わせば
a p11 -t p12 +b p21 = 0,
-s p11 +a p12 +b p22 = 0,
c p11 +d p21 -t p22 = 0,
c p12 -s p21 +d p22 = 0,
これが解 (p11,p12,p21,p22) ≠ (0,0,0,0) をもつ条件は
0 = det([a,-t,b,0] [-s,a,0,b] [c,0,d,-t] [0,c,-s,d])
= (st +ad -bc)^2 - (a+d)^2･st,
これが実解stをもつ条件は、判別式
D = (aa+dd+2bc)^2 - 4(ad-bc)^2
= (a+d)^2 {(a-d)^2 + 4bc}
≧ 0,
∴ a+d = 0 または (a-d)^2 + 4bc ≧ 0,
これは、どうパラメータ置いて何に注目して解くのがいいと思いますか？
円C1の中心D(0,t)を固定し、C2上の点P(x,x³)をとり、
xの関数f(x)=DP²をとる
①単純に微分していってf(x)の最小値を探る
→円と三次曲線の接し方が言い切れないので却下(y=x³と直線y=0みたいに交差しつつ接するかもしれない)
②接点をA(a,a³)B(b,b³)とおきf(x)が
(x-a)²(x-b)²で割り切れることから係数条件で求める
→6次は計算が鬼過ぎ、解ける自信もなく挫折
③「f(x)=0かつf'(x)=0」に関数の互助法を使っていって次数下げを試みる
→まだ試していないが、②よりマシそうだが、これも計算がきつそうではある
④A(a,a³)B(b,b³)を固定して、法線に着目し、法線の交点Eがy軸上に来て、かつAE=BEとなる条件を満たすabを探して解く
→a³+1/3a²=b³+1/3b²かつa²+1/9a²=b²+1/9b²みたいな変な連立方程式になって解けそうにもなく挫折
どれを使う、あるいはこれ以外では何に注目するのが良い手段と思われますか？
円C1の中心D(0,t)を固定し、C2上の点P(x,x³)をとり、
xの関数f(x)=DP²をとる
①単純に微分していってf(x)の最小値を探る
→円と三次曲線の接し方が言い切れないので却下(y=x³と直線y=0みたいに交差しつつ接するかもしれない)
②接点をA(a,a³)B(b,b³)とおきf(x)が
(x-a)²(x-b)²で割り切れることから係数条件で求める
→6次は計算が鬼過ぎ、解ける自信もなく挫折
③「f(x)=0かつf'(x)=0」に関数の互助法を使っていって次数下げを試みる
→まだ試していないが、②よりマシそうだが、これも計算がきつそうではある
④A(a,a³)B(b,b³)を固定して、法線に着目し、法線の交点Eがy軸上に来て、かつAE=BEとなる条件を満たすabを探して解く
→a³+1/3a²=b³+1/3b²かつa²+1/9a²=b²+1/9b²みたいな変な連立方程式になって解けそうにもなく挫折
どれを使う、あるいはこれ以外では何に注目するのが良い手段と思われますか？
③は誤記しましたすいません
円の半径をrとおいて、「f(x)-r²=0、かつ、f'(x)=0」に互助法を～が正しいです
円の半径をrとおいて、「f(x)-r²=0、かつ、f'(x)=0」に互助法を～が正しいです
②も同じ誤記してますね…長文なのにミスし過ぎですいません
「円の半径をrとおき、f(x)-r²が(x-a)²(x-b)²で割り切れることから～」でした
「円の半径をrとおき、f(x)-r²が(x-a)²(x-b)²で割り切れることから～」でした
無限に広い平面に、密度ρで点をポアソン配置(つまりランダムの配置)して
点と点の最近接距離の分布をみるとレイリー分布になることが分かるそうです。
http://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/ishijima/NND-01.html
f(x) = x/σ^2 * exp(- 1/2 * (x/σ)^2), σ^2=1/(2πρ)
ところで上記を、ポアソン配置ではなく中心からの距離にしたがって
N個の点が分散ξ^2のガウス分布をしているとするとどうなるでしょうか。
ξ^2=1で数値実験して最近接距離の分布をみるとレイリー分布から
ずれるようです。Nが十分大きければ、
f(x) = 12/(πδ)^2 * x/(1 + exp(x/δ))
δもNに依存して、大体δ～1/√Nになりそう。
これらはあくまで実験式でまちがってるかもです。
基本は上のサイトみたいな方針なのでしょうが、まともに計算できそうもないし
どういう方針で証明すればよいでしょうか。
点と点の最近接距離の分布をみるとレイリー分布になることが分かるそうです。
http://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/ishijima/NND-01.html
f(x) = x/σ^2 * exp(- 1/2 * (x/σ)^2), σ^2=1/(2πρ)
ところで上記を、ポアソン配置ではなく中心からの距離にしたがって
N個の点が分散ξ^2のガウス分布をしているとするとどうなるでしょうか。
ξ^2=1で数値実験して最近接距離の分布をみるとレイリー分布から
ずれるようです。Nが十分大きければ、
f(x) = 12/(πδ)^2 * x/(1 + exp(x/δ))
δもNに依存して、大体δ～1/√Nになりそう。
これらはあくまで実験式でまちがってるかもです。
基本は上のサイトみたいな方針なのでしょうが、まともに計算できそうもないし
どういう方針で証明すればよいでしょうか。
>>746
＞→a³+1/3a²=b³+1/3b²かつa²+1/9a²=b²+1/9b²みたいな変な連立方程式になって解けそうにもなく挫折
問題見てないけど、これは落ち着けば普通に解けるでしょ
＞→a³+1/3a²=b³+1/3b²かつa²+1/9a²=b²+1/9b²みたいな変な連立方程式になって解けそうにもなく挫折
問題見てないけど、これは落ち着けば普通に解けるでしょ
>>746
⑤a,b,rを変数に取る
A,B起点にC2の法線ベクトルを長さr伸ばした点α、βが一致し、かつy軸上に来る条件を探る
長さをあとから考えると計算がより複雑になる
⑤a,b,rを変数に取る
A,B起点にC2の法線ベクトルを長さr伸ばした点α、βが一致し、かつy軸上に来る条件を探る
長さをあとから考えると計算がより複雑になる
>>750
どう見ても初等的には解けないと思うけどw
まさか適当解答じゃあるまいし
750が鮮やかに解いてくれるだろうからみんなしっかり見とけよ
どう見ても初等的には解けないと思うけどw
まさか適当解答じゃあるまいし
750が鮮やかに解いてくれるだろうからみんなしっかり見とけよ
傾きに着目した方が楽な予感はする。
A(t,t^3), B(u,u^3)での接線の偏角をα、βとすると直線ABの偏角は(α+β)/2だから
tan α=3t^2、tan β=3u^2、tan(α+β)/2=t^2+tu+u^2
なので
(3t^2+3u^2)/(1-9t^2u^2)
=2(t^2+tu+u^2)/(1-(t^2+tu+u^2)^2)
これの解だけどt^2+u^2=p、t^2+tu+u^2=qとかおいて整理すると、そこそこ簡単になるよう。
これのp≧2(q-p)≧0における解からt,u求めて行けそうで無理そうで。
ここで力尽きたのであてにすな。
A(t,t^3), B(u,u^3)での接線の偏角をα、βとすると直線ABの偏角は(α+β)/2だから
tan α=3t^2、tan β=3u^2、tan(α+β)/2=t^2+tu+u^2
なので
(3t^2+3u^2)/(1-9t^2u^2)
=2(t^2+tu+u^2)/(1-(t^2+tu+u^2)^2)
これの解だけどt^2+u^2=p、t^2+tu+u^2=qとかおいて整理すると、そこそこ簡単になるよう。
これのp≧2(q-p)≧0における解からt,u求めて行けそうで無理そうで。
ここで力尽きたのであてにすな。
>>752
ああ、もしかして(a^3+1)/(3a^2)じゃなくてa^3+1/(3a^2)なのか
分母に括弧つけてないから分子の方も省略してるのかと思ったわてへぺろ
ああ、もしかして(a^3+1)/(3a^2)じゃなくてa^3+1/(3a^2)なのか
分母に括弧つけてないから分子の方も省略してるのかと思ったわてへぺろ
出題ガイジやイナ以下のゴミだな
>>746,>>751
④と⑤は本質的に同じものだろうから計算テクの違いでしかないと思う
解いてみたが、質問者は計算ミスしてる
ab≠0の条件下で
a^2+1/(9a^2)=b^2+1/(9b^2)
a^3+1/(3a)=b^3+1/(3b)
これが条件
下の式からabの正負は一致するから対称性から両方正としていい
上の式は実はb^2=BとおいてBについて単に二次方程式の解の公式で解けて、B=a^2、1/(9a^2)
a、b正でa≠bだからb=1/(3a)
下の式に戻って整理すると27a^6-27a^4+9a^2+1=0
上の式を一階微分するとa>0で解なしが言える
だからそういう円が存在するならab=0が必要でb=0とすると一変数になるから適当にやるとすぐ解ける
④と⑤は本質的に同じものだろうから計算テクの違いでしかないと思う
解いてみたが、質問者は計算ミスしてる
ab≠0の条件下で
a^2+1/(9a^2)=b^2+1/(9b^2)
a^3+1/(3a)=b^3+1/(3b)
これが条件
下の式からabの正負は一致するから対称性から両方正としていい
上の式は実はb^2=BとおいてBについて単に二次方程式の解の公式で解けて、B=a^2、1/(9a^2)
a、b正でa≠bだからb=1/(3a)
下の式に戻って整理すると27a^6-27a^4+9a^2+1=0
上の式を一階微分するとa>0で解なしが言える
だからそういう円が存在するならab=0が必要でb=0とすると一変数になるから適当にやるとすぐ解ける
a,bを正の実数とする。2つの放物線
C1:y=x^2
C2:y=(x-a)^2+b
の共通接線をlとする。
（1）以下の閉領域Dがただ1つ存在することを示せ。
「DはC1とC2とlで囲まれ、Dの面積は有限値である。」
（2）lの方向ベクトルで長さ1のものをv↑=[s,t]とおく。ただしs>0とする。
C2をp*v↑だけ平行移動した放物線をC3とすると、C1,C3,lで囲まれる領域の面積EはE=2Dとなった。
実数pの値を求めよ。
C1:y=x^2
C2:y=(x-a)^2+b
の共通接線をlとする。
（1）以下の閉領域Dがただ1つ存在することを示せ。
「DはC1とC2とlで囲まれ、Dの面積は有限値である。」
（2）lの方向ベクトルで長さ1のものをv↑=[s,t]とおく。ただしs>0とする。
C2をp*v↑だけ平行移動した放物線をC3とすると、C1,C3,lで囲まれる領域の面積EはE=2Dとなった。
実数pの値を求めよ。
>>746
C2の接線でC2と接点で交差するものは(0,0)でだけだから①の方針でも解ける
C2のAにおける接線はy=3aax-2aaa
y=xxxと差を取るとy=xxx-3aax+2aaa、微分してy'=3(xx-aa)
a=0以外だとx=aの前後でy'が符号変化するので交差しない
C2の接線でC2と接点で交差するものは(0,0)でだけだから①の方針でも解ける
C2のAにおける接線はy=3aax-2aaa
y=xxxと差を取るとy=xxx-3aax+2aaa、微分してy'=3(xx-aa)
a=0以外だとx=aの前後でy'が符号変化するので交差しない
どうやっても6次方程式は出てくる。これは当たり前
どうやると計算量少ないかは腕
どうやると計算量少ないかは腕
この問題について教えて頂けないでしょうか。
https://imgur.com/Qkkm0k2
画像のように、2点A,Bが円Oの周上にあります。円Oの周上に、点Oが∠APBの内部に
あるように点Pをとり、直線POと孤ABとの交点のうち、PではないほうをCとします。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1)∠AOC=2∠APCとなることを、円周角の定理を用いずに証明しなさい。
(2)∠APB=1/2∠AOBとなることを証明しなさい。ただし、(1)の結果を利用しても
構いません。
https://imgur.com/Qkkm0k2
画像のように、2点A,Bが円Oの周上にあります。円Oの周上に、点Oが∠APBの内部に
あるように点Pをとり、直線POと孤ABとの交点のうち、PではないほうをCとします。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1)∠AOC=2∠APCとなることを、円周角の定理を用いずに証明しなさい。
(2)∠APB=1/2∠AOBとなることを証明しなさい。ただし、(1)の結果を利用しても
構いません。
（↓）がニュー速に貼られた問題なのですが
色々な解答が出ていて、さらにブログの解答は間違えているという人もいて混乱しています。
数学板の人からみて、何が正解なのでしょうか？
問・1枚だけページが破れた本があります。
破れていないページ番号を合計すると15000になります。
破れたページは何ページ目でしょうか？
色々な解答が出ていて、さらにブログの解答は間違えているという人もいて混乱しています。
数学板の人からみて、何が正解なのでしょうか？
問・1枚だけページが破れた本があります。
破れていないページ番号を合計すると15000になります。
破れたページは何ページ目でしょうか？
１枚目からページが振られてると仮定して
172ページまでなら計14878なので足りない。
174ページまでなら計15225で112+113は不可。
176ページ以上なら抜けたページが最終ページでも計15225以上なので多すぎ。
0ページ目からスタートしてるとか、最終ページは片面白紙とかその手の事情が許されないと解なしになるな。
172ページまでなら計14878なので足りない。
174ページまでなら計15225で112+113は不可。
176ページ以上なら抜けたページが最終ページでも計15225以上なので多すぎ。
0ページ目からスタートしてるとか、最終ページは片面白紙とかその手の事情が許されないと解なしになるな。
下三角行列の積は可換ですか？可換でないと思うんだけど、その例を挙げられない（2*2とか3*3で1つ例を挙げることは出来そうだけど、一般にn*nの場合ではどうなるの？）
> 2*2 とか 3*3 で1つ例を挙げることは出来そうだけど、
A = { [1,0] [a, -1] }
B = { [1,0] [b, -1] }
AB = { [1,0] [a-b, 1] }
BA = { [1,0] [b-a, 1] }
A = { [1,0] [a, -1] }
B = { [1,0] [b, -1] }
AB = { [1,0] [a-b, 1] }
BA = { [1,0] [b-a, 1] }
> 一般に n*n の場合ではどうなるの？
n → r + (n-r)
C = { [E_r, O] [A, -E_(n-r)] }
D = { [E_r, O] [B, -E_(n-r)] }
CD = { [E_r, O] [A-B, E_(n-r)] }
DC = { [E_r, O] [B-A, E_(n-r)] }
n → r + (n-r)
C = { [E_r, O] [A, -E_(n-r)] }
D = { [E_r, O] [B, -E_(n-r)] }
CD = { [E_r, O] [A-B, E_(n-r)] }
DC = { [E_r, O] [B-A, E_(n-r)] }
>>746
第４問
xy座標平面において、
y軸上に中心を持つ円 Ｃ1
y=x^3 で表わされる曲線 Ｃ2
は異なる2つの共有点Ａ，Ｂをもち、
ＡおよびＢの両方の点においてＣ1とＣ2は共通の接線をもつとする。
(1) 点Ａまたは点Ｂは原点Ｏと一致することを示せ。
(2) 円Ｃ1の中心の座標を求めよ。
第４問
xy座標平面において、
y軸上に中心を持つ円 Ｃ1
y=x^3 で表わされる曲線 Ｃ2
は異なる2つの共有点Ａ，Ｂをもち、
ＡおよびＢの両方の点においてＣ1とＣ2は共通の接線をもつとする。
(1) 点Ａまたは点Ｂは原点Ｏと一致することを示せ。
(2) 円Ｃ1の中心の座標を求めよ。
>>746
(1)
f(x) -rr = xx + (x^3 -t)^2 -rr, (t,r≧0 は定数)
f’(x) = 2x + 6xx(x^3 -t)
= 6x(x^4 -tx +1/3) ････ (I)
これより、根a=0
(2)
∴ f(0)-rr = 0
∴ t=±r,
f(x) -rr = xx(x^4 -2tx+1) ････ (II)
もう一方の根bについては (I)(II) から
b^4 -bt +1/3 = 0,
b^4 -2bt +1 = 0,
bを消去して
t = ±2/{3^(3/4)} = 0.8773826753
Ｃ1の中心は(0,t)
なお、f(x) -rr = x^2･(x-b)^2･(xx+2bx+3bb)
(1)
f(x) -rr = xx + (x^3 -t)^2 -rr, (t,r≧0 は定数)
f’(x) = 2x + 6xx(x^3 -t)
= 6x(x^4 -tx +1/3) ････ (I)
これより、根a=0
(2)
∴ f(0)-rr = 0
∴ t=±r,
f(x) -rr = xx(x^4 -2tx+1) ････ (II)
もう一方の根bについては (I)(II) から
b^4 -bt +1/3 = 0,
b^4 -2bt +1 = 0,
bを消去して
t = ±2/{3^(3/4)} = 0.8773826753
Ｃ1の中心は(0,t)
なお、f(x) -rr = x^2･(x-b)^2･(xx+2bx+3bb)
>>770
最初が白ページでその裏が1ページ目なら174ページで112+113も可能
最後も白ページ
最初が白ページでその裏が1ページ目なら174ページで112+113も可能
最後も白ページ
あるいは173ページで合計は15225-174=15051=15000+25+26
最後の裏ページが白ページ
あるいは51ページの裏がページ番号無しとか
最後の裏ページが白ページ
あるいは51ページの裏がページ番号無しとか
前>>767
>>769数学板の人はプロの作家とかではないとして、文芸雑誌に投稿する本の場合、応募原稿を両面印刷したりしないから、すべてのページは片面印刷とし、ページナンバーはゴム印で1から順に打つものとし、最終ページをn、破れているページをa(1≦a≦n)とすると、
{(1+n)/2}n-a=15000
n^2+n-30000-2a=0
n=-1+√(1+30000+2a)
(n+1)^2=30001+2a
2a=(n+1)^2-30001
n=173のときa=137.5
四捨五入すると、
a=138
もし仮に破れているページがP138で、それ以外のすべてのページ番号を足したとしたら、
{(1+173)/2}･173-138=14913
15000-14913=87
P87を2枚印刷していたと推測する。
破れているページがP137とすると、P86を2枚印刷していたと疑われる。
あとは字組だな。縦横の字数をどうするかで枚数変わるから。
>>769数学板の人はプロの作家とかではないとして、文芸雑誌に投稿する本の場合、応募原稿を両面印刷したりしないから、すべてのページは片面印刷とし、ページナンバーはゴム印で1から順に打つものとし、最終ページをn、破れているページをa(1≦a≦n)とすると、
{(1+n)/2}n-a=15000
n^2+n-30000-2a=0
n=-1+√(1+30000+2a)
(n+1)^2=30001+2a
2a=(n+1)^2-30001
n=173のときa=137.5
四捨五入すると、
a=138
もし仮に破れているページがP138で、それ以外のすべてのページ番号を足したとしたら、
{(1+173)/2}･173-138=14913
15000-14913=87
P87を2枚印刷していたと推測する。
破れているページがP137とすると、P86を2枚印刷していたと疑われる。
あとは字組だな。縦横の字数をどうするかで枚数変わるから。
2019個の連続する自然数の和としても、31個の連続する自然数の和としても表せる自然数が存在すれば求めよ。
62589n+2065437
>>770>>778
ありがとうございました。
元は数学オリンピックの問題らしくて、下のブログだと「解答は25・26ページのみ」
となっているのですが、これは本のページのふり方の解釈如何という事なのでしょうね。
https://sist8.com/torn
ありがとうございました。
元は数学オリンピックの問題らしくて、下のブログだと「解答は25・26ページのみ」
となっているのですが、これは本のページのふり方の解釈如何という事なのでしょうね。
https://sist8.com/torn
nを自然数、kを1≤k≤2n-1の整数とする。
いま袋の中に、k個の赤玉と(2n-k)個の青玉、合計2n個の玉がある。これらに対して以下の操作（ア）（イ）を繰り返し行う。
（ア）袋の中から1つの玉を無作為に取り出す（どの玉が選ばれるかは同様に確からしい）。
（イ）取り出した玉を捨て、捨てた玉とは異なる色の玉を1つ袋に入れる。袋に入れるための玉は十分に用意されているとする。
これらをm回行った後の、袋の中の赤玉の数がn個である確率をP(m,n,k)とおく。極限
lim[m→∞] P(m,n,k)
について、以下(a)～(c)のいずれが正しいか述べよ。
(a) P(m,n,k)はn,kに依らない数である
(b) P(m,n,k)はnまたはkのいずれか一方のみを使った式で表される
(c) P(m,n,k)はnとkの両方を使った式で表される
いま袋の中に、k個の赤玉と(2n-k)個の青玉、合計2n個の玉がある。これらに対して以下の操作（ア）（イ）を繰り返し行う。
（ア）袋の中から1つの玉を無作為に取り出す（どの玉が選ばれるかは同様に確からしい）。
（イ）取り出した玉を捨て、捨てた玉とは異なる色の玉を1つ袋に入れる。袋に入れるための玉は十分に用意されているとする。
これらをm回行った後の、袋の中の赤玉の数がn個である確率をP(m,n,k)とおく。極限
lim[m→∞] P(m,n,k)
について、以下(a)～(c)のいずれが正しいか述べよ。
(a) P(m,n,k)はn,kに依らない数である
(b) P(m,n,k)はnまたはkのいずれか一方のみを使った式で表される
(c) P(m,n,k)はnとkの両方を使った式で表される
l周期2の有限マルコフ過程。
収束すらしない。
収束すらしない。
「極限について」といいつつ、各選択肢では極限を取ってないのは何故なのか
ax^2=a^x
a>0の時 x=1以外の解を求めたい
のだが方針を教えてくれ
a>0の時 x=1以外の解を求めたい
のだが方針を教えてくれ
対数
a>0で y=x^2 とy=x/x+a の交点がちょうど2つのとき、aの値を求めよ。 さらにこのとき2つの曲線で囲まれた面積を求めよ。
この問いのやり方を教えていただきたいです。
aの値は求まったのですが、2曲線の交点の座標が求められません…
どなたかよろしくお願い致します
この問いのやり方を教えていただきたいです。
aの値は求まったのですが、2曲線の交点の座標が求められません…
どなたかよろしくお願い致します
aの値求まったの？
お願いします。
(2m-1)個の二項係数 2m_C_t (1≦t≦2m-1) の最大公約数を求めよ。
(2m-1)個の二項係数 2m_C_t (1≦t≦2m-1) の最大公約数を求めよ。
>>789
ax^2=a^x → log(ax^2)=log(a^x)
log(a)+2logx=xlog(a)
2logx=(x-1)log(a)
x^{2/(x-1)}=a
何か余計にややこしくなってしまった
ヒントくれ
ax^2=a^x → log(ax^2)=log(a^x)
log(a)+2logx=xlog(a)
2logx=(x-1)log(a)
x^{2/(x-1)}=a
何か余計にややこしくなってしまった
ヒントくれ
>>793
gcd{ nＣt | 1≦t≦n-1 } = p (nがpベキ (pは素数)のとき)
= 1 (nが素因数を2つ以上もつとき)
gcd{ nＣt | 1≦t≦n-1 } = p (nがpベキ (pは素数)のとき)
= 1 (nが素因数を2つ以上もつとき)
m,n,aを自然数とする。
いま袋の中に2m個の白玉、n個の黒玉、a個の赤玉がある。
この袋の中から玉を1個ずつ取り出していき、取り出した順に左から右へと1列に並べる。
ただし取り出した玉は元に戻さないとし、またどの玉が取れ出されるかは同様に確からしいとする。
これら(2m+n+a)個の玉を並び終えた後、左から数えてちょうどm番目の白玉が現れる位置をpとする。
例えばm=2,n=1,a=2のとき、玉が列の左から
白赤黒白白白赤
と並んだ場合、左から4番目に2番目の白玉が現れるから、p=4である。
pの期待値をm,n,aで表せ。
いま袋の中に2m個の白玉、n個の黒玉、a個の赤玉がある。
この袋の中から玉を1個ずつ取り出していき、取り出した順に左から右へと1列に並べる。
ただし取り出した玉は元に戻さないとし、またどの玉が取れ出されるかは同様に確からしいとする。
これら(2m+n+a)個の玉を並び終えた後、左から数えてちょうどm番目の白玉が現れる位置をpとする。
例えばm=2,n=1,a=2のとき、玉が列の左から
白赤黒白白白赤
と並んだ場合、左から4番目に2番目の白玉が現れるから、p=4である。
pの期待値をm,n,aで表せ。
(n+a)/(2m+1)×2+2
ちょっと違うな
2m-1ならｍ個目は真ん中だが
2mなら差半の最後だからなあ
2m-1ならｍ個目は真ん中だが
2mなら差半の最後だからなあ
p=m+(n+a)m/(2m+1)
かな
かな
いずれにせよ赤黒区別する必要がない問題だけど
ホントにこの問題文？
ホントにこの問題文？
2m個並べてその間と両端で2m+1箇所にn+a個を分配すると考えると
平均で(n+a)/(2m+1)個ずつなのでm番目の左にはm(n+a)/(2m+1)個あるから
p=m+m(n+a)/(2m+1)
平均で(n+a)/(2m+1)個ずつなのでm番目の左にはm(n+a)/(2m+1)個あるから
p=m+m(n+a)/(2m+1)
m番目か。
例が2番目だから2番目で計算してた。
今更のクソ有名問題だから問題文あんま読んでなかったよ。
例が2番目だから2番目で計算してた。
今更のクソ有名問題だから問題文あんま読んでなかったよ。
座標空間に
O(0,0,0)
A(a,0,0)
B(0,b,0)
C(0,0,b)
の4点を取る。a>0,b>0とする。
△ABCの外接円の半径が1の時、
平面ABCとOの距離hの取りうる範囲を求めよ。
東大模試の問題ですが、簡単そうに見えて難しすぎて手が付きません。
お願いします
O(0,0,0)
A(a,0,0)
B(0,b,0)
C(0,0,b)
の4点を取る。a>0,b>0とする。
△ABCの外接円の半径が1の時、
平面ABCとOの距離hの取りうる範囲を求めよ。
東大模試の問題ですが、簡単そうに見えて難しすぎて手が付きません。
お願いします
>>810
A(1,0,0)
B(x=cosθ,sinθ,0)
C(cosθ,-sinθ,0)
0<θ<π
O(k,0,h)
AO=(k-1,0,h)
BO=(k-cosθ,-sinθ,h)
CO=(k-cosθ,sinθ,h)
AO・BO=AO・CO=(k-1)(k-cosθ)+h^2=0
BO・CO=(k-cosθ)^2-sin^2θ+h^2=0
(cosθ-1)(k-cosθ)+sin^2θ=0
k=cosθ+sin^2θ/(1-cosθ)=1+2cosθ
h^2=sin^2θ-(1+cosθ)^2=-2cosθ-2cos^2θ=-2x^2-2x=-2x(x+1)≦1/2
0<h≦1/√2
A(1,0,0)
B(x=cosθ,sinθ,0)
C(cosθ,-sinθ,0)
0<θ<π
O(k,0,h)
AO=(k-1,0,h)
BO=(k-cosθ,-sinθ,h)
CO=(k-cosθ,sinθ,h)
AO・BO=AO・CO=(k-1)(k-cosθ)+h^2=0
BO・CO=(k-cosθ)^2-sin^2θ+h^2=0
(cosθ-1)(k-cosθ)+sin^2θ=0
k=cosθ+sin^2θ/(1-cosθ)=1+2cosθ
h^2=sin^2θ-(1+cosθ)^2=-2cosθ-2cos^2θ=-2x^2-2x=-2x(x+1)≦1/2
0<h≦1/√2
h=1/√2
x=-1/2
θ=2π/3
△ABCは一辺√3の正三角形
a=b=√(3/2)
C(0,0,c),c>0でも答えは同じだろうが面倒くさそう
x=-1/2
θ=2π/3
△ABCは一辺√3の正三角形
a=b=√(3/2)
C(0,0,c),c>0でも答えは同じだろうが面倒くさそう
>>797
Ｃ(n,1) = C(n,n-1) = n,
∴ gcd はnの約数。
∴ nの素因数pを見よう。
・nがpベキのとき
pの指数を見ると
e(t) = e(n-t) ≦ e(n) -1,
e{Ｃ(n,t)} = e{n!/[t!(n-t)!]} = e(n) - e(t) ≧ 1,
e(gcd) = 1,
gcd = p,
・nが素因数を2つ以上もつとき
n = p^e･r (r>1, rとpは素)
t = p^e
とする。(t < n)
下記の補題2より
Ｃ(n, t) ≡ r ≠ 0 (mod p)
∴ e(C(n,t)) = 0 なるtがある。
∴ e(gcd) = 0, ････ nのすべての素因数pについて
∴ gcd = 1,
〔補題2〕(Wielandt)
pが素数、e≧0 ならば
Ｃ(p^e･r, p^e) ≡ r (mod p)
彌永昌吉・彌永健一「代数学」岩波全書285 (1976) p.141
Ｃ(n,1) = C(n,n-1) = n,
∴ gcd はnの約数。
∴ nの素因数pを見よう。
・nがpベキのとき
pの指数を見ると
e(t) = e(n-t) ≦ e(n) -1,
e{Ｃ(n,t)} = e{n!/[t!(n-t)!]} = e(n) - e(t) ≧ 1,
e(gcd) = 1,
gcd = p,
・nが素因数を2つ以上もつとき
n = p^e･r (r>1, rとpは素)
t = p^e
とする。(t < n)
下記の補題2より
Ｃ(n, t) ≡ r ≠ 0 (mod p)
∴ e(C(n,t)) = 0 なるtがある。
∴ e(gcd) = 0, ････ nのすべての素因数pについて
∴ gcd = 1,
〔補題2〕(Wielandt)
pが素数、e≧0 ならば
Ｃ(p^e･r, p^e) ≡ r (mod p)
彌永昌吉・彌永健一「代数学」岩波全書285 (1976) p.141
3次方程式x^3-3a^2x+a=0が異なる3個の実数解をもつように，定数aのとり得る値の範囲を定めよ。
y=a，y=-x^3+3a^2x
『x＜1のとき』と『x＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。
y=a，y=-x^3+3a^2x
『x＜1のとき』と『x＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。
3次方程式x^3-3a^2x+a=0が異なる3個の実数解をもつように，定数aのとり得る値の範囲を定めよ。
y=a，y=-x^3+3a^2x
『a＜1のとき』と『a＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。すいません、xではなくてaでした。
y=a，y=-x^3+3a^2x
『a＜1のとき』と『a＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。すいません、xではなくてaでした。
>>814
f(x)=x^3-3a^2x+a
f'(x)=3x^2-3a^2=0
x=±a
f(a)f(-a)=(-2a^3+a)(2a^3+a)=(-2a^2+1)(2a^2+1)a^2<0
-2a^2+1<0
a<-1/√2, 1/√2<a
f(x)=x^3-3a^2x+a
f'(x)=3x^2-3a^2=0
x=±a
f(a)f(-a)=(-2a^3+a)(2a^3+a)=(-2a^2+1)(2a^2+1)a^2<0
-2a^2+1<0
a<-1/√2, 1/√2<a
a＜0のとき，a＜-√2/2，a＞√2/2
かつ
a＜0
答えa＜-√2/2
となってしまいます。
かつ
a＜0
答えa＜-√2/2
となってしまいます。
a＜0
a(2a^2-1)＜0
a(2a^2-1)＜0
>>810
AB = √(aa+bb) ≧ √(2ab),
BC = √(bb+cc) ≧ √(2bc),
CA = √(cc+aa) ≧ √(2ca),
四面体O-ABC の体積は
V = abc/6,
よって
h = 3V/S
= abc/(2S)
= abc{2R/(AB･BC･CA)}
≦ R/√2,
Sは△ABCの面積, Rは△ABCの外接円の半径
なお、 S = (1/2)√(aabb+bbcc+ccaa),
簡単そうに見えて簡単すぎてすいません。
AB = √(aa+bb) ≧ √(2ab),
BC = √(bb+cc) ≧ √(2bc),
CA = √(cc+aa) ≧ √(2ca),
四面体O-ABC の体積は
V = abc/6,
よって
h = 3V/S
= abc/(2S)
= abc{2R/(AB･BC･CA)}
≦ R/√2,
Sは△ABCの面積, Rは△ABCの外接円の半径
なお、 S = (1/2)√(aabb+bbcc+ccaa),
簡単そうに見えて簡単すぎてすいません。
>>820
外接円の中心は
x = (a/2){1 - (bbcc)/(aabb+bbcc+ccaa)},
y = (b/2){1 - (ccaa)/(aabb+bbcc+ccaa)},
z = (c/2){1 - (aabb)/(aabb+bbcc+ccaa)},
x/a + y/b + z/c = 1,
外接円の中心は
x = (a/2){1 - (bbcc)/(aabb+bbcc+ccaa)},
y = (b/2){1 - (ccaa)/(aabb+bbcc+ccaa)},
z = (c/2){1 - (aabb)/(aabb+bbcc+ccaa)},
x/a + y/b + z/c = 1,
自己解決しました。aのときが極大極小にもなり、-aのときも極大極小になるということでした。
つまり、-a＞aもありえるということでした。
つまり、-a＞aもありえるということでした。
f(x)=x^2-3x+1
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x)=f(x)
g_[n+1](x)=f(x)
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x)=f(x)
g_[n+1](x)=f(x)
f(x)=x^2-3x+1
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x) = f(x)
g_[n+1](x) = | g_[n](x) - |x-1| |
このとき、極限
lim[n→∞] g_[n](1/2)
を求めよ。
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x) = f(x)
g_[n+1](x) = | g_[n](x) - |x-1| |
このとき、極限
lim[n→∞] g_[n](1/2)
を求めよ。
高校入試の問題ですけど分かりません
三角比などを使わずに中学数学の知識で解くにはどうすればよいですか？
三角比などを使わずに中学数学の知識で解くにはどうすればよいですか？
面積がどれだけ小さい領域であっても長さ無限大の曲線はその領域内に存在できるのでしょうか？
境界線の内側から厚さεのセロテープを貼り付けてゆく。
中心まで貼り付けると、
テープの長さ ≒ (面積)/ε
ここで、ε→0 とする。
中心まで貼り付けると、
テープの長さ ≒ (面積)/ε
ここで、ε→0 とする。
それはあかん
>>827
Mは円の中心。
〈略証〉
AHの延長と円の交点をD、
AMの延長と円の交点をEとすると、
弧BD=弧CE なので
DE//BC
よってAD⊥DE
ゆえにAEは円の直径
その中点Mは円の中心
(1) BC=√(aa+bb)
△ABH∽△CBAよりAB:BH=CB:BA
BH=AB^2/BC=aa/√(aa+bb)
(2) ∠HAM=θとおくと
∠BAH=∠CAM=3θ=∠MCA
∠ABM=∠MAB=4θ
△ABCの内角の和=14θ=180°
∠BAH=3θ=270°/7
Mは円の中心。
〈略証〉
AHの延長と円の交点をD、
AMの延長と円の交点をEとすると、
弧BD=弧CE なので
DE//BC
よってAD⊥DE
ゆえにAEは円の直径
その中点Mは円の中心
(1) BC=√(aa+bb)
△ABH∽△CBAよりAB:BH=CB:BA
BH=AB^2/BC=aa/√(aa+bb)
(2) ∠HAM=θとおくと
∠BAH=∠CAM=3θ=∠MCA
∠ABM=∠MAB=4θ
△ABCの内角の和=14θ=180°
∠BAH=3θ=270°/7
（1）p,qを互いに素な2以上の自然数とするとき、(q/p)+(p/q)は整数でないことを示せ。
（2）2以上の自然数p,q,rのどの2つも互いに素である。このとき、(q/p)+(r/q)+(p/r)は整数でないことを示せ。
（2）2以上の自然数p,q,rのどの2つも互いに素である。このとき、(q/p)+(r/q)+(p/r)は整数でないことを示せ。
v(p)>0⇒v((q/p)+(r/q)+(p/r))<0
>>829
長さ無限の曲線の例
y = f(x) = x･sin(π/2x), (0<|x|≦1)
= 0, (x=0)
f(1/(2n-1)) = (-1)^(n-1) /(2n-1),
f(1/(2n+1)) = (-1)^n /(2n+1),
∴ |f(1/(2n-1)) - f(1/(2n+1))| = 1/(2n-1) + 1/(2n+1) > 1/n,
0<x≦1 における曲線の長さ > ζ(1) = ∞
-1≦x<0 でも同様。
それを縮小してコピペする。
長さ無限の曲線の例
y = f(x) = x･sin(π/2x), (0<|x|≦1)
= 0, (x=0)
f(1/(2n-1)) = (-1)^(n-1) /(2n-1),
f(1/(2n+1)) = (-1)^n /(2n+1),
∴ |f(1/(2n-1)) - f(1/(2n+1))| = 1/(2n-1) + 1/(2n+1) > 1/n,
0<x≦1 における曲線の長さ > ζ(1) = ∞
-1≦x<0 でも同様。
それを縮小してコピペする。
>>827
(高校数学・2枚のうち2)
４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
線分BCの中点をMとする。
また AH⊥BC となるように直線BC上に点Hをとる。
このとき，∠BAH = ∠CAM となった。
次の問いに答えよ。
(1) AB=a, AC=b とおくとき，BHの長さを a, b を用いて表わせ。
(2) ∠BAH = (1/3)∠HAM のとき，∠BAHの大きさを求めよ。
る点のうち，頂点Aに近い方の点をそれぞれ P, Q とし，
R, S とする。
を V を用いて表わせ。
(高校数学・2枚のうち2)
４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
線分BCの中点をMとする。
また AH⊥BC となるように直線BC上に点Hをとる。
このとき，∠BAH = ∠CAM となった。
次の問いに答えよ。
(1) AB=a, AC=b とおくとき，BHの長さを a, b を用いて表わせ。
(2) ∠BAH = (1/3)∠HAM のとき，∠BAHの大きさを求めよ。
る点のうち，頂点Aに近い方の点をそれぞれ P, Q とし，
R, S とする。
を V を用いて表わせ。
>>834
(1) (q/p) + (p/q) = k とおくと
qq + pp = pq k,
よって
qq = p(qk-p),
pp = q(pk-q),
(2) (q/p) + (r/q) + (p/r) = n とおくと
qqr + rrp + ppq = pqr n,
よって
qqr = p(qrn -rr -pq),
rrp = q(rpn -pp -qr),
ppq = r(pqn -qq -rp),
(1) (q/p) + (p/q) = k とおくと
qq + pp = pq k,
よって
qq = p(qk-p),
pp = q(pk-q),
(2) (q/p) + (r/q) + (p/r) = n とおくと
qqr + rrp + ppq = pqr n,
よって
qqr = p(qrn -rr -pq),
rrp = q(rpn -pp -qr),
ppq = r(pqn -qq -rp),
>>832はMが円の中心を示すところでギャップはあるけど結論は合ってるのでは？
直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
一方でBは元の円O上でFはその直径に関する対称点だからFもまたO上にある。
よってOは△BCFの外接円。
直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
一方でBは元の円O上でFはその直径に関する対称点だからFもまたO上にある。
よってOは△BCFの外接円。
>>838
( 1/(2n-1), (-1)^(n-1) /(2n-1)),
( 1/(2n+1), (-1)^n /(2n+1) ),
を線分で結んだ折れ線でもいいんぢゃね？
( 1/(2n-1), (-1)^(n-1) /(2n-1)),
( 1/(2n+1), (-1)^n /(2n+1) ),
を線分で結んだ折れ線でもいいんぢゃね？
>>841
>直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
Mが円の中心だとこの論証成り立たないね
>直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
Mが円の中心だとこの論証成り立たないね
論証が不十分なのであって結論がでたらめなわけではないだろう
それを結論に対してでたらめというのであればその指摘の仕方もでたらめということになる
それを結論に対してでたらめというのであればその指摘の仕方もでたらめということになる
Mを通るBCの垂線で対称の図形を描くと対称性から中心だなとわかるんだけど
ちゃんと論証しようとするとなかなか面倒だな
すげえ回りくどい方法しか思いつかない
ちゃんと論証しようとするとなかなか面倒だな
すげえ回りくどい方法しか思いつかない
Mが円の中心とは限らないのでは？
>>849
△ABEと△AECが合同になることを言えばいいんでないかい？
まず直角三角形ABHから∠ABC+∠BAH=∠R
円周角の定理と題意から∠EBC=∠EAC=∠BAH
ゆえに、∠ABE=∠ABC+∠EBC=∠R
△ABEは円に内接する直角三角形なのでAEは円の直径。
したがって、∠ACE=∠Rで△AECも直角三角形。
一方、三角形の面積を考えると、BM=MCより、△ABM=△AMC,△EBM=△EMC
なので、△ABE(=△ABM+△EBM)=△AEC=△AMC+△EMC)
△ABEと△AECは面積が同じで斜辺を共有する直角三角形なので、
△ABE≡△AEC（ここ、さらに証明がいる？）
ってことで、∠A=∠BAE+∠EAC=∠BAE+∠BEA=∠Rとなり、
△ABCは円に内接する直角三角形なので、BCは円の直径である。
故にBCの中点は円の中心。
△ABEと△AECが合同になることを言えばいいんでないかい？
まず直角三角形ABHから∠ABC+∠BAH=∠R
円周角の定理と題意から∠EBC=∠EAC=∠BAH
ゆえに、∠ABE=∠ABC+∠EBC=∠R
△ABEは円に内接する直角三角形なのでAEは円の直径。
したがって、∠ACE=∠Rで△AECも直角三角形。
一方、三角形の面積を考えると、BM=MCより、△ABM=△AMC,△EBM=△EMC
なので、△ABE(=△ABM+△EBM)=△AEC=△AMC+△EMC)
△ABEと△AECは面積が同じで斜辺を共有する直角三角形なので、
△ABE≡△AEC（ここ、さらに証明がいる？）
ってことで、∠A=∠BAE+∠EAC=∠BAE+∠BEA=∠Rとなり、
△ABCは円に内接する直角三角形なので、BCは円の直径である。
故にBCの中点は円の中心。
AEからみてBと同じ高さになる点はAEに関して線対称の点と中心に対して対称の点と二つあってCが後者になる事は示さないとダメでは？
結論は出ているようだが、納得できていない人のために、別解説
B(-1,0),M(0,0),C(1,0),A(x,y),H(x,0),Z(1000,0)
∠ABZ=α、∠AMZ=β、∠ACZ=γ
と置くと、∠BAH=∠CAM という条件は、tan(π/2-α)=tan(γ-β)になるが、
tanα=y/(x+1),tanβ=y/x,tanγ=y/(x-1)
を使って、条件式を整理すると x(x^2+y^2-1)=0 が出てくる。
Aは単位円上の点で無ければならない。つまり、BCの中点Mは、三点A,B,Cを通る円の中心で無ければならない。
B(-1,0),M(0,0),C(1,0),A(x,y),H(x,0),Z(1000,0)
∠ABZ=α、∠AMZ=β、∠ACZ=γ
と置くと、∠BAH=∠CAM という条件は、tan(π/2-α)=tan(γ-β)になるが、
tanα=y/(x+1),tanβ=y/x,tanγ=y/(x-1)
を使って、条件式を整理すると x(x^2+y^2-1)=0 が出てくる。
Aは単位円上の点で無ければならない。つまり、BCの中点Mは、三点A,B,Cを通る円の中心で無ければならない。
前>>779
>>827
題意より、a＜b
∠BAH=xとおくと、
BH=Asinx
HM=AMsin3x
HC=bsin4x
AH=acosx=bcos4x
BH+HM=asinx+AMsin3x=BC/2
正弦定理より、
BC/sin∠BAC=AC/sin∠ABC
(BH+HM+MC)/sin5x=b/cosx
(asinx+AMsin3x+BM)/sin(2x+3x)=b/cosx
2(asinx+AMsin3x)/(sin2xcos3x+cos2xsin3x)=b/cosx
AH^2=AB^2-BH^2=AM^2-HM^2
a^2-(asinx)^2=AM^2-(AMsin3x)^2
acosx=AMcos3x
=AM(4cos^3x-3cosx)
難しいな。
図を描きなおすと、
3x+2x=90°でいい気がする。
∠BAC=x=18°
>>827
題意より、a＜b
∠BAH=xとおくと、
BH=Asinx
HM=AMsin3x
HC=bsin4x
AH=acosx=bcos4x
BH+HM=asinx+AMsin3x=BC/2
正弦定理より、
BC/sin∠BAC=AC/sin∠ABC
(BH+HM+MC)/sin5x=b/cosx
(asinx+AMsin3x+BM)/sin(2x+3x)=b/cosx
2(asinx+AMsin3x)/(sin2xcos3x+cos2xsin3x)=b/cosx
AH^2=AB^2-BH^2=AM^2-HM^2
a^2-(asinx)^2=AM^2-(AMsin3x)^2
acosx=AMcos3x
=AM(4cos^3x-3cosx)
難しいな。
図を描きなおすと、
3x+2x=90°でいい気がする。
∠BAC=x=18°
>>858
直径に対して直線AE対称になる点をFと置いてる。
MはAE上なので論を待たずBM=FM。
もしC=FとなってしまったらコレでCはBの直径対称点になり、その場合BCとAEは垂直になってH=Mになる。
この場合には確かにMが円の中心でない場合にはなるけど図が与えられててM=Hにはなってないからそのケースは抜いていいんじゃない？
直径に対して直線AE対称になる点をFと置いてる。
MはAE上なので論を待たずBM=FM。
もしC=FとなってしまったらコレでCはBの直径対称点になり、その場合BCとAEは垂直になってH=Mになる。
この場合には確かにMが円の中心でない場合にはなるけど図が与えられててM=Hにはなってないからそのケースは抜いていいんじゃない？
>>861
酷い日本語。
直線AEに対するBの線対称点がFね。
暗黙にCとFが一致しないと仮定してるけどC=Fのケースは問題文のAB<ACに反するから図無関係に排除されるね。
酷い日本語。
直線AEに対するBの線対称点がFね。
暗黙にCとFが一致しないと仮定してるけどC=Fのケースは問題文のAB<ACに反するから図無関係に排除されるね。
数式5chで綺麗かつ簡単ににかけるようにならないかな
>>856
そうでした！△ABE≡△AECで裏返しの場合も考慮すべきでした。
△ABEと△AECが裏返しの場合にはAB=ACとなってしまうので、AB<ACという題意に
反するので除外できる。
そうでした！△ABE≡△AECで裏返しの場合も考慮すべきでした。
△ABEと△AECが裏返しの場合にはAB=ACとなってしまうので、AB<ACという題意に
反するので除外できる。
>>868
>>結論は出ているようだが、納得できていない人のために、別解説
と書いたように、最初から、中学生相手の模範解答を書いたつもりはありません。
「必ずMは円の中心になる」に疑問を持っている人に、「結論は正しい」ことを
納得してもらう手段として、呈しました。
もし、中学生相手なら、
BCが対角線で、四角形ABDCが平行四辺形になるように、点Dを取り、角度を調べていくと、
四角形ABDCは長方形で無ければならないことになるという方法はどうでしょう。
これなら、問題ないですよね。
>>結論は出ているようだが、納得できていない人のために、別解説
と書いたように、最初から、中学生相手の模範解答を書いたつもりはありません。
「必ずMは円の中心になる」に疑問を持っている人に、「結論は正しい」ことを
納得してもらう手段として、呈しました。
もし、中学生相手なら、
BCが対角線で、四角形ABDCが平行四辺形になるように、点Dを取り、角度を調べていくと、
四角形ABDCは長方形で無ければならないことになるという方法はどうでしょう。
これなら、問題ないですよね。
そんなのそもそも成立しないのでは？
AB≠ACの場合ですよ？
AB≠ACの場合ですよ？
>>869
中学生向けには拘らない解説とのこと、失礼いたしました。
>四角形ABDCが平行四辺形になるように、点Dを取り
ABDCが平行四辺形になるような点Dを円周上に取れるという保証は
ないので、その方針では駄目なのでは？
中学生向けには拘らない解説とのこと、失礼いたしました。
>四角形ABDCが平行四辺形になるように、点Dを取り
ABDCが平行四辺形になるような点Dを円周上に取れるという保証は
ないので、その方針では駄目なのでは？
やっぱりかなり回りくどいことになるんかな
記述問題で出されたらかなわんな
答えだけでいいならMが円の中心なら条件を満たすからそれで計算して答え出すけど
受験問題としては悪問の気がする
記述問題で出されたらかなわんな
答えだけでいいならMが円の中心なら条件を満たすからそれで計算して答え出すけど
受験問題としては悪問の気がする
>>839
>４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
Aを通る直径に関してB,Cが同じ側ではどう？
>４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
Aを通る直径に関してB,Cが同じ側ではどう？
>>875
この場合明らかにMは円の中心ではないけど
これを排除できるのは図からというのも
元々Mが円の中心と推測できないように描いたある意味正しくない図であるし
問題文を少々変更して
Hの定義を直線BCに下ろしたではなく線分BCに下ろしたとすればよいかな
でもその場合線分BCには下ろせないから問題に不備とか言われそう
この場合明らかにMは円の中心ではないけど
これを排除できるのは図からというのも
元々Mが円の中心と推測できないように描いたある意味正しくない図であるし
問題文を少々変更して
Hの定義を直線BCに下ろしたではなく線分BCに下ろしたとすればよいかな
でもその場合線分BCには下ろせないから問題に不備とか言われそう
>>829
長さ無限の曲線（単位円内）の例
r = 1/√θ, (θ>1)
s > ∫r dθ = ∫(1/√θ)dθ = [ 2√θ ](1,∞) = ∞
長さ無限の曲線（単位円内）の例
r = 1/√θ, (θ>1)
s > ∫r dθ = ∫(1/√θ)dθ = [ 2√θ ](1,∞) = ∞
>>875,878
ほんとだね。
問題文だけからだと、Hは「線分BC」上ではなく「直線BC上」にあるので、
円の外でもいいことになっちゃう。その場合、解けるんかねぇ？
円の中心をOとして、AM//OCとなるような三角形になるはずだけど、
そこで手詰まり。
ほんとだね。
問題文だけからだと、Hは「線分BC」上ではなく「直線BC上」にあるので、
円の外でもいいことになっちゃう。その場合、解けるんかねぇ？
円の中心をOとして、AM//OCとなるような三角形になるはずだけど、
そこで手詰まり。
前>>876
直角三角形の辺の比は、
a:b:√(a^2+b^2)
BH=a^2/√(a^2+b^2)
=a^2√(a^2+b^2)/(a^2+b^2)
直角三角形の辺の比は、
a:b:√(a^2+b^2)
BH=a^2/√(a^2+b^2)
=a^2√(a^2+b^2)/(a^2+b^2)
20bitの値をランダムに選んだ時、1のbitが16個以上存在している確率はどう計算したらいい？
(20C0+20C1+20C2+20C3+20C4)/(2^20)
いつもお世話になっております 質問させて下さい
これを求めるのに
t=tanθとおいて、0<θ≦π/4として
t=tanθの時のA,BをAθ、Bθとして
△OAθBθはxz平面となす角がθなので
△OAθBθをz軸中心に微小角⊿θ回転させた微小体積⊿Vを寄せ集めると考えて、
その微小体積⊿Vは(⊿θ/2π)*π*(tanθ^6+tanθ^4)*(2/3)で与えられるので(問題の直角三角形をz軸中心に一周させると円柱から円錐をくり抜いた形になるため)、これをθで積分する、
とやったら全然違う答えになりました。
前も対数螺旋っぽい回転体の問題でこういうことやって全然違う答えが出たのですが
こういう手法はどういう理由で成り立たないのでしょうか？
この求積はどんな形の立体を求積していることになるんでしょうか？
これを求めるのに
t=tanθとおいて、0<θ≦π/4として
t=tanθの時のA,BをAθ、Bθとして
△OAθBθはxz平面となす角がθなので
△OAθBθをz軸中心に微小角⊿θ回転させた微小体積⊿Vを寄せ集めると考えて、
その微小体積⊿Vは(⊿θ/2π)*π*(tanθ^6+tanθ^4)*(2/3)で与えられるので(問題の直角三角形をz軸中心に一周させると円柱から円錐をくり抜いた形になるため)、これをθで積分する、
とやったら全然違う答えになりました。
前も対数螺旋っぽい回転体の問題でこういうことやって全然違う答えが出たのですが
こういう手法はどういう理由で成り立たないのでしょうか？
この求積はどんな形の立体を求積していることになるんでしょうか？
平面の極座標の積分はなんかこんな感じでやってるしいけるかなあ？と思ったらいけなかったのですが
逆にどういう時なら行けますかね？
（そもそも計算ミスしてたら申し訳ありません）
逆にどういう時なら行けますかね？
（そもそも計算ミスしてたら申し訳ありません）
答えは？
底面が1/2 (sinθ/cos^2θ)^2dθ、高さがtan^2θなので微小体積は
dV=1/2 tan^4θ/cos^2θdθ
でないの？
dV=1/2 tan^4θ/cos^2θdθ
でないの？
すいません、よく考えたら
微小部分のハサミうちの原理考えればこの求積はうまくいくに決まってるんだから多分計算ミスですね
スレ汚し失礼しました
微小部分のハサミうちの原理考えればこの求積はうまくいくに決まってるんだから多分計算ミスですね
スレ汚し失礼しました
変な事書いた。
微小体積は柱じゃないね。
底面が(tanθ/cosθ)dθ×(tanθ)^2で高さが(tanθ/cosθ)の四角錐ですな。
微小体積は柱じゃないね。
底面が(tanθ/cosθ)dθ×(tanθ)^2で高さが(tanθ/cosθ)の四角錐ですな。
すみません、次の確率を教えて貰ってもいいですか？
・１から30までの30個の数値うち、１・２・３が当たりとします
・30個の中から３つ、ランダムで引きます
・１つでも当たりを引く確率
私が求めた計算式は以下の通り
1回目で当たる確率・・・30分の3
2回目で当たる確率・・・30分の27（1回目ハズレの確率）×29分の3
3回目で当たる確率・・・｛30分の27×29分の26｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の3
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＝これが解
……だと考えたのですが、間違ってますよね？
・１から30までの30個の数値うち、１・２・３が当たりとします
・30個の中から３つ、ランダムで引きます
・１つでも当たりを引く確率
私が求めた計算式は以下の通り
1回目で当たる確率・・・30分の3
2回目で当たる確率・・・30分の27（1回目ハズレの確率）×29分の3
3回目で当たる確率・・・｛30分の27×29分の26｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の3
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＝これが解
……だと考えたのですが、間違ってますよね？
訂正一箇所
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋3回目で当たる確率＝これが解
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋3回目で当たる確率＝これが解
あってんじゃね？
答えないの？
答えないの？
おっ マジか
良かったこの計算式でいいんですね
いや、計算するだけしといて間違ってたら悲しいので再確認してしまいました
ありがとうございます
良かったこの計算式でいいんですね
いや、計算するだけしといて間違ってたら悲しいので再確認してしまいました
ありがとうございます
「812分の227」になったので、約28％ですね。
ちなみに、「１」が2回連続で当たる確率は、
812分の227を2乗すればいいのでしょうか？御指南お願いします。
ちなみに、「１」が2回連続で当たる確率は、
812分の227を2乗すればいいのでしょうか？御指南お願いします。
1が2回連続ってどういう意味？
1～30までの30個の札から1枚引くということを2回行う（1回目が終わったら引いた札は元にも戻す）ってこと？
それなら(1/30)^2だよ
なぜ227/812が関係してくると思うのか
1～30までの30個の札から1枚引くということを2回行う（1回目が終わったら引いた札は元にも戻す）ってこと？
それなら(1/30)^2だよ
なぜ227/812が関係してくると思うのか
いや、違いますね・・・「１」に限定するのだから
1回目で当たる確率・・・30分の1
2回目で当たる確率・・・30分の29（1回目ハズレの確率）×29分の1＝30分の1
3回目で当たる確率・・・｛30分の29×29分の28｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の1＝30分の1
30個のうち3回引いて「１」が出る確率＝10分の1
「１」を2回連続で引いて当たる確率＝（10分の1）＾2＝100分の1＝1％
これで合ってますか？
1回目で当たる確率・・・30分の1
2回目で当たる確率・・・30分の29（1回目ハズレの確率）×29分の1＝30分の1
3回目で当たる確率・・・｛30分の29×29分の28｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の1＝30分の1
30個のうち3回引いて「１」が出る確率＝10分の1
「１」を2回連続で引いて当たる確率＝（10分の1）＾2＝100分の1＝1％
これで合ってますか？
>>896
ごめんなさい！3回引けるんです！
3回引いて30個のうちの「１」を、"2回連続で"引ける確率を求めたかったんです
ごめんなさい！3回引けるんです！
3回引いて30個のうちの「１」を、"2回連続で"引ける確率を求めたかったんです
引いたくじは戻さないで、30個のうち3個抽出する、という意味です。
そして2回目は一旦くじを全部戻して、また30個のうちから3個引きます。
そして2回目は一旦くじを全部戻して、また30個のうちから3個引きます。
>>885
D=∪[0<t≦1]OA : 0≦x≦1, x^2≦y≦x
V : (x,y)∈D 0≦z≦y^2/x
Sx=∫[x^2,x]y^2/x dy=[y^3/3x][x^2,x]=(x^2-x^5)/3
V=∫[0,1]Sx dx=[x^3/9-x^6/18][0,1]=1/18
D=∪[0<t≦1]OA : 0≦x≦1, x^2≦y≦x
V : (x,y)∈D 0≦z≦y^2/x
Sx=∫[x^2,x]y^2/x dy=[y^3/3x][x^2,x]=(x^2-x^5)/3
V=∫[0,1]Sx dx=[x^3/9-x^6/18][0,1]=1/18
>>891
1-27C3/30C3=1-27*26*25/30*29*28=1-2*3^3*5^2*13/2^3*3*5*7*29=1-3^2*5*13/2^2*7*29=227/812
1-27C3/30C3=1-27*26*25/30*29*28=1-2*3^3*5^2*13/2^3*3*5*7*29=1-3^2*5*13/2^2*7*29=227/812
>>899
29C2/30C3=29*28*3/30*29*28=1/10
(1/10)^2=1/100
29C2/30C3=29*28*3/30*29*28=1/10
(1/10)^2=1/100
>>885
第 ４ 問
実数tは 0<t≦1 の範囲を動くものとする。
このとき，座標空間の3点
Ｏ(0,0,0) Ａ(t,tt,0) B(t,tt,tt)
を頂点とする△OABの周および内部が通過してできる立体の体積を求めよ。
>>890
おっしゃる通りです。
底面が OA･dθ×AB で高さが OA の四角錐。
OA = t√(1+tt),
AB = tt,
dθ = dt/(1+tt),
∴ V = ∫[0,1] (t^4)/3 dt
= [ (t^5)/15 ](t=0,1)
= 1/15.
>>900
V: 0≦z≦y,
Sx = ∫[xx,x] ydy = [yy/2](xx→x) = (x^2 -x^4)/2,
V = ∫[0,1] Sx dx = [ (x^3)/6 - (x^5)/10](0→1) = 1/15.
第 ４ 問
実数tは 0<t≦1 の範囲を動くものとする。
このとき，座標空間の3点
Ｏ(0,0,0) Ａ(t,tt,0) B(t,tt,tt)
を頂点とする△OABの周および内部が通過してできる立体の体積を求めよ。
>>890
おっしゃる通りです。
底面が OA･dθ×AB で高さが OA の四角錐。
OA = t√(1+tt),
AB = tt,
dθ = dt/(1+tt),
∴ V = ∫[0,1] (t^4)/3 dt
= [ (t^5)/15 ](t=0,1)
= 1/15.
>>900
V: 0≦z≦y,
Sx = ∫[xx,x] ydy = [yy/2](xx→x) = (x^2 -x^4)/2,
V = ∫[0,1] Sx dx = [ (x^3)/6 - (x^5)/10](0→1) = 1/15.
ああ(t,t^2,t^3)のねじれ3次曲線かと思った
(t,t^2,t^2)か
(t,t^2,t^2)か
>>829
長さ無限の曲線（単位円内）の例
r = 1/θ, (θ>1)
s = ∫√{(r')^2 + r^2} dθ
= ∫ √(1/θ^4 + 1/θ^2) dθ
= ∫ (1/θ^2) √(1+θ^2) dθ
= ∫ {1/sinh(t)^2 + 1} dt (θ=sinh(t)とおく)
= -1/tanh(t) + t
= -(1/θ) √(1+θ^2) + log{θ+√(1+θ^2)} → ∞
双曲らせん と云うらしい。
長さ無限の曲線（単位円内）の例
r = 1/θ, (θ>1)
s = ∫√{(r')^2 + r^2} dθ
= ∫ √(1/θ^4 + 1/θ^2) dθ
= ∫ (1/θ^2) √(1+θ^2) dθ
= ∫ {1/sinh(t)^2 + 1} dt (θ=sinh(t)とおく)
= -1/tanh(t) + t
= -(1/θ) √(1+θ^2) + log{θ+√(1+θ^2)} → ∞
双曲らせん と云うらしい。
確率の問題です。どなたかよろしくお願いします。
A、Bの2名の前にスイッチがあります。2人はゲームがスタート時(0(s))から100(s)経過までにそれぞれ合計X(s)、Y(s)の間スイッチを押さなければならないとします(なお、X>=Y)。
また、途中のスイッチの押し離しは自由にできる。
この条件で、
「Cさんが0(s)~100(s)に一度だけスイッチを押したとき、AとBのうち少なくとも1人がスイッチを押している」確率は幾らでしょうか？
(なお、ABCは互いに別の部屋にいるため干渉出来ないものとする)
A、Bの2名の前にスイッチがあります。2人はゲームがスタート時(0(s))から100(s)経過までにそれぞれ合計X(s)、Y(s)の間スイッチを押さなければならないとします(なお、X>=Y)。
また、途中のスイッチの押し離しは自由にできる。
この条件で、
「Cさんが0(s)~100(s)に一度だけスイッチを押したとき、AとBのうち少なくとも1人がスイッチを押している」確率は幾らでしょうか？
(なお、ABCは互いに別の部屋にいるため干渉出来ないものとする)
確率の問題になっていないと思う
>>911
スイッチを押してる分布が与えられてないから問題としてそもそも成立してないけど、
∀a 0≦t,u≦100
P(時刻tにAがボタンを押してる)=P(時刻uにAがボタンを押してる) かつ
P(時刻tにBがボタンを押してる)=P(時刻uにBがボタンを押してる)
を仮定出来るなら
1-(1-X)(1-Y)
なんだろう。
しかし大学以降の確率の問題で標本空間もその測度も与えないで確率求めよなんて問題ありえないけど。
スイッチを押してる分布が与えられてないから問題としてそもそも成立してないけど、
∀a 0≦t,u≦100
P(時刻tにAがボタンを押してる)=P(時刻uにAがボタンを押してる) かつ
P(時刻tにBがボタンを押してる)=P(時刻uにBがボタンを押してる)
を仮定出来るなら
1-(1-X)(1-Y)
なんだろう。
しかし大学以降の確率の問題で標本空間もその測度も与えないで確率求めよなんて問題ありえないけど。
A君「（(X+1)秒経過後）やべえｗｗｗｗｗ間に合わねえｗｗｗｗｗ」
とならないように、十分にプレッシャーが与えられた状態ですか？
間に合わなかったA君はどうなるんでしょう？殺されるんですか？
とならないように、十分にプレッシャーが与えられた状態ですか？
間に合わなかったA君はどうなるんでしょう？殺されるんですか？
>>911
ある時点で押したら離す時点までずっと押し続け離す時点から次の押す時点まではずっと離し続けるのね？
その区間は可算個でも良いの？
カントールセットに含まれる時刻ではスイッチを押しておりそれ以外の中から可算個の区間幅の合計X押すというのは許されないのね？
問題を解く上で問題にはならないことだけれど
問題の設定がハッキリしない問題は問題として問題だと思う
ある時点で押したら離す時点までずっと押し続け離す時点から次の押す時点まではずっと離し続けるのね？
その区間は可算個でも良いの？
カントールセットに含まれる時刻ではスイッチを押しておりそれ以外の中から可算個の区間幅の合計X押すというのは許されないのね？
問題を解く上で問題にはならないことだけれど
問題の設定がハッキリしない問題は問題として問題だと思う
>>915
間違えた。
一様性が成り立つならある時刻tにAがボタンを押してる確率は全ての0≦t≦100に対してX/100だけどそうでない問題文に適合するモデルなんかいくらでもあるし。
当然違うモデル使ったら答えも変わる。
そんな理系の人間なら誰が見ても問題として成立してないとわかるクソ問なんか無視で桶。
間違えた。
一様性が成り立つならある時刻tにAがボタンを押してる確率は全ての0≦t≦100に対してX/100だけどそうでない問題文に適合するモデルなんかいくらでもあるし。
当然違うモデル使ったら答えも変わる。
そんな理系の人間なら誰が見ても問題として成立してないとわかるクソ問なんか無視で桶。
測度論的確率論ですね
調べました
ども
調べました
ども
なんて分野とかいう以前の確率論の話。
測度空間も測度も与えないで確率の計算なんかできるわけないというお話。
この問題が問題として成立するような測度空間をどうやったら構成できるかとかならカラテオドリ測度の理論とかチェボタレフ測度とかラドン測度とかの理論を勉強し終わるまで無理。
測度空間も測度も与えないで確率の計算なんかできるわけないというお話。
この問題が問題として成立するような測度空間をどうやったら構成できるかとかならカラテオドリ測度の理論とかチェボタレフ測度とかラドン測度とかの理論を勉強し終わるまで無理。
複素平面上に適当な積分路をとることにより、
∫[0→∞] {sin(x)}^2/{(1+x)^2} dx
を求めよ。
∫[0→∞] {sin(x)}^2/{(1+x)^2} dx
を求めよ。
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = -sin(2)Ci(2(1+x)) + cos(2)Si(2(1+x)) - {sin(x)}^2 /(1+x),
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = sin(2)Ci(2) + cos(2){π/2 - Si(2)} = 0.399021
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = sin(2)Ci(2) + cos(2){π/2 - Si(2)} = 0.399021
F(Y_1, ..., Y_n)をZ[x](整数係数１変数多項式環)係数の, Y_1,...,Y_nに関する斉次2次式とせよ. 任意の素数pと任意の自然数mに対しF(Y_1,...,Y_n)=0 mod p^mを満たす整数係数1変数多項式Y_1,...,Y_nが存在すると仮定せよ.
此の時, 整数係数1変数多項式Y_1(x),...,Y_n(x)であってF(Y_1(x),...,Y_n(x))=0
を満たす物は存在するか？
此の時, 整数係数1変数多項式Y_1(x),...,Y_n(x)であってF(Y_1(x),...,Y_n(x))=0
を満たす物は存在するか？
あ、任意の素数か、ならyes
あ、いや実素点が抜けてるからやっぱりno
すいません、(3)の解説が全然わからないのですが
なぜこの形式でABを通る全ての円を表示できるのでしょうか？
バカですみません
なぜこの形式でABを通る全ての円を表示できるのでしょうか？
バカですみません
>>928
その式（※）は円を表している
Aの座標、Bの座標はC1の式とLの式の両方を成り立たせるので※も成り立たせる
従って※はA、Bを円周上に持つ円
その式（※）は円を表している
Aの座標、Bの座標はC1の式とLの式の両方を成り立たせるので※も成り立たせる
従って※はA、Bを円周上に持つ円
>>929
すいませんもう一つお願いします
この式でABをとおる全ての円を網羅できることはどうやって言えるのでしょうか？
すいませんもう一つお願いします
この式でABをとおる全ての円を網羅できることはどうやって言えるのでしょうか？
>>931
※の円は直線L上の2点A、Bを通るのでこの2点以外ではLとの共有点は存在しない
A、Bとさらにもう1点L上にはない点Cを用意すればそれらを円周上に持つ円が存在し、
CをL上を除く全ての点を取り得るとすればA、Bを通る全ての円を網羅出来る
Cの座標はL上にはないのでLを表す式を成り立たせることがない
従って、Cの座標を※の式に代入すれば必ずtの一次式になるのでtには解が存在する
つまり、A、Bを通る全ての円に対してtが存在するので※の式はtを実数全体で動かせばA、Bを通る全ての円を網羅している
※の円は直線L上の2点A、Bを通るのでこの2点以外ではLとの共有点は存在しない
A、Bとさらにもう1点L上にはない点Cを用意すればそれらを円周上に持つ円が存在し、
CをL上を除く全ての点を取り得るとすればA、Bを通る全ての円を網羅出来る
Cの座標はL上にはないのでLを表す式を成り立たせることがない
従って、Cの座標を※の式に代入すれば必ずtの一次式になるのでtには解が存在する
つまり、A、Bを通る全ての円に対してtが存在するので※の式はtを実数全体で動かせばA、Bを通る全ての円を網羅している
前>>924
>>905
V=∫[0～1](1/2)√(t^2+t^4)･t^2dt
=(1/2)∫[0～1]t^3√(t^2+1)dt
t=sinxとおくと、
V=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
関数の積の積分はどうやってやるんだったか。
sin^3x√(sin^2x+1)を微分すると、
sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^3x･2sinxcosx/2√(sin^2x+1)
=sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^4xcosx√(sin^2x+1)/(sin^2x+1)
だれも解かないみたいだけど、sin^3xと√(sin^2x+1)の積の積分どうやってやるんだったか。
>>905
V=∫[0～1](1/2)√(t^2+t^4)･t^2dt
=(1/2)∫[0～1]t^3√(t^2+1)dt
t=sinxとおくと、
V=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
関数の積の積分はどうやってやるんだったか。
sin^3x√(sin^2x+1)を微分すると、
sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^3x･2sinxcosx/2√(sin^2x+1)
=sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^4xcosx√(sin^2x+1)/(sin^2x+1)
だれも解かないみたいだけど、sin^3xと√(sin^2x+1)の積の積分どうやってやるんだったか。
もう答え出てんのに何言ってんの？
松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。
以下の事実が証明抜きで使われています。
D_2 Φ および D_3 Φ が連続であることは分かります。
D_1 Φ が連続であることはどうやって証明するのでしょうか？
I を R の区間とする。
f : [a, b] × I → R とする。
D_2 f が [a, b] × I で存在し、連続であるとする。
Φ : I × [a, b] × [a, b] → R を Φ(y, u, v) := ∫_{u}^{v} f(x, y) dx で定義する。
Φ は C^1 級関数である。
以下の事実が証明抜きで使われています。
D_2 Φ および D_3 Φ が連続であることは分かります。
D_1 Φ が連続であることはどうやって証明するのでしょうか？
I を R の区間とする。
f : [a, b] × I → R とする。
D_2 f が [a, b] × I で存在し、連続であるとする。
Φ : I × [a, b] × [a, b] → R を Φ(y, u, v) := ∫_{u}^{v} f(x, y) dx で定義する。
Φ は C^1 級関数である。
>>922
部分積分と△加法公式により
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫sin(2x)/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫{sin(-2)cos(2(1+x)) + cos(-2)sin(2(1+x))}/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)∫cos(2(1+x))/(1+x) dx + cos(2)∫sin(2(1+x))/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)Ci(2(1+x)) + cos(2)Si(2(1+x)),
ここに
Si(x) = ∫[0,x] sin(t)/t dt,
Ci(x) = ∫[0,x] {cos(t)-1}/t + log(x) + γ,
部分積分と△加法公式により
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫sin(2x)/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫{sin(-2)cos(2(1+x)) + cos(-2)sin(2(1+x))}/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)∫cos(2(1+x))/(1+x) dx + cos(2)∫sin(2(1+x))/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)Ci(2(1+x)) + cos(2)Si(2(1+x)),
ここに
Si(x) = ∫[0,x] sin(t)/t dt,
Ci(x) = ∫[0,x] {cos(t)-1}/t + log(x) + γ,
>>936
他の本（英語の教科書）やWikipediaも見てみたのですが、 Φ が C^1 であることには触れずに、
d/dy Φ(y, u(y), v(y)) を計算するのに、チェインルールを使っています。
他の本（英語の教科書）やWikipediaも見てみたのですが、 Φ が C^1 であることには触れずに、
d/dy Φ(y, u(y), v(y)) を計算するのに、チェインルールを使っています。
自然数k=1,2,...に対して、方程式
x^k-kx-1=0
の解のうち最大のものをM(k)とおく。
lim[k→∞] M(k+1)/M(k)を求めよ。
x^k-kx-1=0
の解のうち最大のものをM(k)とおく。
lim[k→∞] M(k+1)/M(k)を求めよ。
k=1 は解なしのようだけど････
与式は
x^(k-1) = k + (1/x),
kが大きいときも、左辺は有限値に留まるから
x = M(k) ≒ 1
与式から
M(k)^(k-1) ≒ k+1,
M(k) ≒ (k+1)^{1/(k-1)} → 1 (k→∞)
与式は
x^(k-1) = k + (1/x),
kが大きいときも、左辺は有限値に留まるから
x = M(k) ≒ 1
与式から
M(k)^(k-1) ≒ k+1,
M(k) ≒ (k+1)^{1/(k-1)} → 1 (k→∞)
>>921 を改作････
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。
[不等式スレ１０．243-245]
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。
[不等式スレ１０．243-245]
m^2 - n^3 = 6 となる整数組 (m, n) が存在しないことを示してください
楕円曲線
m^2 - n^3 = k (k≠0)
の整数解 (m,n) については
任意のε>0 に対して、定数 c(k,ε) が存在して
max{|m|,|n|} < exp(c･k^(1+ε))
H.M.Stark: Acta Arith. ２４, p.251-259 (1973)
(例)
m^2 - n^3 = 17, m>0 は 8個の整数解を持つ。
(m,n) = (4,-1), (3,-2), (5,2), (9,4), (23,8), (282,43), (375,52), (378661,5234).
T.Nagell: (1929)
m^2 - n^3 = k (k≠0)
の整数解 (m,n) については
任意のε>0 に対して、定数 c(k,ε) が存在して
max{|m|,|n|} < exp(c･k^(1+ε))
H.M.Stark: Acta Arith. ２４, p.251-259 (1973)
(例)
m^2 - n^3 = 17, m>0 は 8個の整数解を持つ。
(m,n) = (4,-1), (3,-2), (5,2), (9,4), (23,8), (282,43), (375,52), (378661,5234).
T.Nagell: (1929)
>>940
なんか、>>941のロジックがよく分かんなかったので別解考えてみた。
k≧2で、関数f_k(x):=x^k-kx-1 はx=1で極小値-kもち、x>1で単調増加かつf(∞)=∞
なので、M(k)はx>1におけるf_k(x)=0の唯一の解であることが言える。
ここでまず、M(k)>1+1/kを示す。
f_k(1+1/k)=(1+1/k)^k- k(1+1/k) -1 =Σ[i=2 to k]{C(k,i)(1/k)^i} -k
において、C(k,i)(1/k)^i=k(k-1)…(k-i+1)/i!/k^i < 1 なので、Σ… < k-1 となり、
f_k(1+1/k) < -1 ゆえに M(k) >1+1/k
これを利用して、M(k)がkとともに減少する単調数列であることが示せる
f_k(M(k))=M(k)^k -kM(k) -1 =0 より、M(k)^k=kM(k) +1
f_(k+1)(M(k))=M(k)^(k+1)-(k+1)M(k) -1 =M(k)(kM(x) +1) -(k+1)M(x) -1
=kM(k)(M(x) -1) -1 >kM(k)(1/k) -1 = M(k) -1 >1/k >0
したがって、f_(k+1)(x)=0となる最大の解は (1, M(k))の区間内にあるので、
M(k+1) < M(k)
以上よりM(k)は下に有界な単調減少数列なので、単調収束定理より収束値α(≧1)を持つ。
よって、lim[k→∞]M(k+1)/M(k) =α/α=1
なんか、>>941のロジックがよく分かんなかったので別解考えてみた。
k≧2で、関数f_k(x):=x^k-kx-1 はx=1で極小値-kもち、x>1で単調増加かつf(∞)=∞
なので、M(k)はx>1におけるf_k(x)=0の唯一の解であることが言える。
ここでまず、M(k)>1+1/kを示す。
f_k(1+1/k)=(1+1/k)^k- k(1+1/k) -1 =Σ[i=2 to k]{C(k,i)(1/k)^i} -k
において、C(k,i)(1/k)^i=k(k-1)…(k-i+1)/i!/k^i < 1 なので、Σ… < k-1 となり、
f_k(1+1/k) < -1 ゆえに M(k) >1+1/k
これを利用して、M(k)がkとともに減少する単調数列であることが示せる
f_k(M(k))=M(k)^k -kM(k) -1 =0 より、M(k)^k=kM(k) +1
f_(k+1)(M(k))=M(k)^(k+1)-(k+1)M(k) -1 =M(k)(kM(x) +1) -(k+1)M(x) -1
=kM(k)(M(x) -1) -1 >kM(k)(1/k) -1 = M(k) -1 >1/k >0
したがって、f_(k+1)(x)=0となる最大の解は (1, M(k))の区間内にあるので、
M(k+1) < M(k)
以上よりM(k)は下に有界な単調減少数列なので、単調収束定理より収束値α(≧1)を持つ。
よって、lim[k→∞]M(k+1)/M(k) =α/α=1
あ！
M(k) < k^(2/k) と上から抑えられることが示せるので、
1≦lim[k→∞]M(K) ≦ lim[k→∞]k^(2/k) =1 だね。
こっちのほうが簡単か。
f_k(k^(2/k))=k^2 -k^(1+2/k) -1 =k(k-k^(2/k)) -1 >0
∵ {x^(2/x)} = - 2x^(2/x -2)(log x - 1) より、x^(2/x)はx > e で
単調減少なので、k≧4 では、k^(2/k) ≦4^(2/4) =2 → k(k-k(2/k))≧8
ゆえに、1<M(K)<k^(2/k)
M(k) < k^(2/k) と上から抑えられることが示せるので、
1≦lim[k→∞]M(K) ≦ lim[k→∞]k^(2/k) =1 だね。
こっちのほうが簡単か。
f_k(k^(2/k))=k^2 -k^(1+2/k) -1 =k(k-k^(2/k)) -1 >0
∵ {x^(2/x)} = - 2x^(2/x -2)(log x - 1) より、x^(2/x)はx > e で
単調減少なので、k≧4 では、k^(2/k) ≦4^(2/4) =2 → k(k-k(2/k))≧8
ゆえに、1<M(K)<k^(2/k)
長方形の向かい合った辺を一回ひねってくっつけるとメビウスの帯になるけど
二回ひねってくっつけたものはひねらないでくっつけた帯と位相同型なんですか？
二回ひねってくっつけたものはひねらないでくっつけた帯と位相同型なんですか？
前>>934
もう一回、題意を把握してしっかり図を描いたほうがよさそうだ。
OAが二回出てきて√が消えて、積分がシンプルになるのか。
四角錘か。1/3と1/5で1/15はありうる。
もう一回、題意を把握してしっかり図を描いたほうがよさそうだ。
OAが二回出てきて√が消えて、積分がシンプルになるのか。
四角錘か。1/3と1/5で1/15はありうる。
恥ずかしいんですが以下の意味が全く分かりません。
小学生に教えるレベルで解説してもらえないでしょうか？
長さ＝√（ 1700の２乗＋2700の２乗）＝3191
小学生に教えるレベルで解説してもらえないでしょうか？
長さ＝√（ 1700の２乗＋2700の２乗）＝3191
>>950
(与式) = √(1700^2 + 2700^2) = 2700√{(17/27)^2 + 1}
3(4･27)^2 - (11･17)^2 = 23 ですが、繰り込んで 0 とします。
これより
(17/27)^2 = 3(4/11)^2,
(17/27)^2 + 1 = (13/11)^2,
なので
(与式) = 2700 * (13/11) = 3190.9
となります。
繰り込み理論では
√3 = (11/4)(17/27)
は有理数です。
(与式) = √(1700^2 + 2700^2) = 2700√{(17/27)^2 + 1}
3(4･27)^2 - (11･17)^2 = 23 ですが、繰り込んで 0 とします。
これより
(17/27)^2 = 3(4/11)^2,
(17/27)^2 + 1 = (13/11)^2,
なので
(与式) = 2700 * (13/11) = 3190.9
となります。
繰り込み理論では
√3 = (11/4)(17/27)
は有理数です。
√3 を求めるなら、
a_n - b_n√3 = (2-√3)^n (*)
→ 0 (n→∞)
とおいて
√3 = a_n/b_n
とする方がいいな。
(*) とその共役
a_n + b_n√3 = (2+√3)^n
をかけると
(a_n)^2 - 3(b_n)^2 = 1, (**)
いわゆるペル方程式となる。
これから
a_(n+1) = 2a_n + 3b_n,
b_(n+1) = a_n + 2b_n,
a_(n+1) = 4a_n - a_(n-1),
b_(n+1) = 4b_n - b_(n-1),
a_n - b_n√3 = (2-√3)^n (*)
→ 0 (n→∞)
とおいて
√3 = a_n/b_n
とする方がいいな。
(*) とその共役
a_n + b_n√3 = (2+√3)^n
をかけると
(a_n)^2 - 3(b_n)^2 = 1, (**)
いわゆるペル方程式となる。
これから
a_(n+1) = 2a_n + 3b_n,
b_(n+1) = a_n + 2b_n,
a_(n+1) = 4a_n - a_(n-1),
b_(n+1) = 4b_n - b_(n-1),
>>951 より
1/M(k) > (k+1)^{-1/(k-1)} = e^{-log(k+1)/(k-1)} > 1 - log(k+1)/(k-1),
M(k)^(k-1) = k + 1/M(k) > (k+1) - log(k+1)/(k-1),
1 < {(k+1) - log(k+1)/(k-1)}^{1/(k-1)} < M(k) < (k+1)^{1/(k-1)},
1/M(k) > (k+1)^{-1/(k-1)} = e^{-log(k+1)/(k-1)} > 1 - log(k+1)/(k-1),
M(k)^(k-1) = k + 1/M(k) > (k+1) - log(k+1)/(k-1),
1 < {(k+1) - log(k+1)/(k-1)}^{1/(k-1)} < M(k) < (k+1)^{1/(k-1)},
>>950
ちょっと質問の意味がわからない
計算は電卓にやらせればいいんでないの？
その式になるのは三平方の定理からなんだと思う
ちょっと質問の意味がわからない
計算は電卓にやらせればいいんでないの？
その式になるのは三平方の定理からなんだと思う
１～６までの数字からランダム抽出する場合 偶数が出る確率は2分の1であるが
１～６００００までの数字からの場合でも2分の１であるのでしょうか？
１～６００００までの数字からの場合でも2分の１であるのでしょうか？
（1）実数xについての関数f(x)は以下の『【性質】（ア）（イ）』の2つのみを同時に持つ。
このようなf(x)のうち、(-∞,∞)で連続であるものを1つ例示せよ。
【性質】
ある実数pがただ1つ存在して、
（ア）t≠pである全ての実数tに対しf'(t)>0
（イ）f'(p)≦0
（ウ）f'(p)<0
（2）（1）の文章のうち、『【性質】（ア）（イ）』を『【性質】（ア）（ウ）』に変更する。
そのようなf(x)は存在するかどうか答えよ。
存在する場合は（1）と同様に1つ例示せよ。
このようなf(x)のうち、(-∞,∞)で連続であるものを1つ例示せよ。
【性質】
ある実数pがただ1つ存在して、
（ア）t≠pである全ての実数tに対しf'(t)>0
（イ）f'(p)≦0
（ウ）f'(p)<0
（2）（1）の文章のうち、『【性質】（ア）（イ）』を『【性質】（ア）（ウ）』に変更する。
そのようなf(x)は存在するかどうか答えよ。
存在する場合は（1）と同様に1つ例示せよ。
y'とdy/dxって同じですか？
>>958
(1)f(x)=x^3
(2)存在しない
∵平均値の定理より任意のhに対してpとp+hを境界とする開区間内の点qが存在して
{f(p+h)-f(p)}/h=f'(q) が成立するが、q≠pなのでf'(q) > 0
したがって、f'(p)=lim[h→0]{f(p+h)-f(p)}/h =lim[q→p]f'(q)≧0
(1)f(x)=x^3
(2)存在しない
∵平均値の定理より任意のhに対してpとp+hを境界とする開区間内の点qが存在して
{f(p+h)-f(p)}/h=f'(q) が成立するが、q≠pなのでf'(q) > 0
したがって、f'(p)=lim[h→0]{f(p+h)-f(p)}/h =lim[q→p]f'(q)≧0
P(p,p²)Q(q,q²)の二点があって、PQの中点Mの軌跡を考えたいとして
pとqを-1倍したものを考えればあるMに対してy軸対称なM'が得られるよ
ってことを写像の矢印↦を使って簡潔にかくとどういう文章になりますか？
pとqを-1倍したものを考えればあるMに対してy軸対称なM'が得られるよ
ってことを写像の矢印↦を使って簡潔にかくとどういう文章になりますか？
>>958 (2)
tを１つとり (t≠p)
g(x) = f(x)-f(p) - {[f(t)-f(p)]/(t-p)}(x-p),
とおく。
これは [p,t]で連続、(p,t)で微分可能で g(p) = g(t) = 0,
∴ g '(q) = 0, なるqが [p,t] にある。(ロルの定理)
∴ [f(t)-f(p)]/(t-p) = f '(q) >0
t→p のとき q→p で
f '(p) = lim[q→p] f '(q) ≧ 0,
(*) ロルの定理は
高木貞治：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第2章, §18., 定理19, p.47
>>962 と同じだけど････
tを１つとり (t≠p)
g(x) = f(x)-f(p) - {[f(t)-f(p)]/(t-p)}(x-p),
とおく。
これは [p,t]で連続、(p,t)で微分可能で g(p) = g(t) = 0,
∴ g '(q) = 0, なるqが [p,t] にある。(ロルの定理)
∴ [f(t)-f(p)]/(t-p) = f '(q) >0
t→p のとき q→p で
f '(p) = lim[q→p] f '(q) ≧ 0,
(*) ロルの定理は
高木貞治：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第2章, §18., 定理19, p.47
>>962 と同じだけど････
非線形の代数学ってありますか？
あと線形代数の線形は1次という意味だと思いましたが、なぜ行列が1次を意味するのでしょうか。
あと線形代数の線形は1次という意味だと思いましたが、なぜ行列が1次を意味するのでしょうか。
係数だけ見て1次か聞いてもな
>>966
お前の言う「非線型の代数学」が何を指してるか知らんが、「線型とは限らない」の意味なら群論環論その他ほとんどの代数が非線形
線型代数は「線型空間(＝ベクトル空間)を扱う代数」って意味で、行列は線型写像っていう重要な写像を表現するのに便利だから詳しく学ぶだけ
お前の言う「非線型の代数学」が何を指してるか知らんが、「線型とは限らない」の意味なら群論環論その他ほとんどの代数が非線形
線型代数は「線型空間(＝ベクトル空間)を扱う代数」って意味で、行列は線型写像っていう重要な写像を表現するのに便利だから詳しく学ぶだけ
「線形」の定義(＝加法的かつ斉次的)を示したらそれで終わりじゃね？
「モジュール化」と加群。
「互換性」と圏論。
「互換性」と圏論。
銭形ダイス
「銭形平次」で使用されるサイコロをいう？
（原作：野村胡堂、主演：若山富三郎、安井昌二、大川橋蔵、風間杜夫、北大路欣也、ほか）
「銭形平次」で使用されるサイコロをいう？
（原作：野村胡堂、主演：若山富三郎、安井昌二、大川橋蔵、風間杜夫、北大路欣也、ほか）
y4 + p y2 + q y + r = 0
と書く。 q = 0 の時は、 複二次式として解けばよいので、以後は q ≠ 0 とする。
媒介変数 u ≠ 0 を用い
(y^2+(p+u)/2)^2-u(y-q/2u)^2=0
と変形する。ここで上式を展開し係数を比較すると、u の三次方程式
u (p + u)2 － 4 r u = q2
が得られる。このような補助的な方程式を、与えられた四次方程式に関する三次分解方程式(resolvent cubic equation) という。 q ≠ 0 なので、この分解方程式の解は u ≠ 0 を満たしており、この解の一つを u として取る。また、求める四次方程式は
{(y^2+(p+u)/2)+√u(y-q/2u)} {(y^2+(p+u)/2)-√u(y-q/2u)}=0
となり、この 2 つの二次方程式から、四次方程式の根を求めることができる。
ここで uか わかりません
uを いれる 理由は 因数分解して 二次式を 二たつに 作るのに 効率的できたからのわ わかるけど
なぜ
(y^2+(p+u)/2)^2-u(y-q/2u)^2=0という 形に なるのか わかりません
ただ uたけ 入れれば いですよね
なのに なせ 分數(+(p+u)/2)たたり uを マイナスに 入れたり
あの式((y^2+(p+u)/2)^2-u(y-q/2u)^2=0)自体か 意味不明です
なせ あんな 式に なるのか 詳く 説明 おねがいします
と書く。 q = 0 の時は、 複二次式として解けばよいので、以後は q ≠ 0 とする。
媒介変数 u ≠ 0 を用い
(y^2+(p+u)/2)^2-u(y-q/2u)^2=0
と変形する。ここで上式を展開し係数を比較すると、u の三次方程式
u (p + u)2 － 4 r u = q2
が得られる。このような補助的な方程式を、与えられた四次方程式に関する三次分解方程式(resolvent cubic equation) という。 q ≠ 0 なので、この分解方程式の解は u ≠ 0 を満たしており、この解の一つを u として取る。また、求める四次方程式は
{(y^2+(p+u)/2)+√u(y-q/2u)} {(y^2+(p+u)/2)-√u(y-q/2u)}=0
となり、この 2 つの二次方程式から、四次方程式の根を求めることができる。
ここで uか わかりません
uを いれる 理由は 因数分解して 二次式を 二たつに 作るのに 効率的できたからのわ わかるけど
なぜ
(y^2+(p+u)/2)^2-u(y-q/2u)^2=0という 形に なるのか わかりません
ただ uたけ 入れれば いですよね
なのに なせ 分數(+(p+u)/2)たたり uを マイナスに 入れたり
あの式((y^2+(p+u)/2)^2-u(y-q/2u)^2=0)自体か 意味不明です
なせ あんな 式に なるのか 詳く 説明 おねがいします
どこの人？
ｎ次関数 y=x^n+a_1*x^(n-1)+...+a_(n-1)*x+a_n
平行移動とｘ、ｙ軸方向の拡大縮小でグラフが重なるものは同じものとみなすと
異なる関数はいくつあるか？
例 ｎ＝１,２のときは一つ、 n=３のときは２つ
平行移動とｘ、ｙ軸方向の拡大縮小でグラフが重なるものは同じものとみなすと
異なる関数はいくつあるか？
例 ｎ＝１,２のときは一つ、 n=３のときは２つ
n≧4のとき∞
高校レベルの問題で申し訳ないんだけど
2ー2Cosθ＝2ー2cos(2•θ/2)
=2ー2(1ー2sin^2θ/2)
が分からん
式が見づらかったらごめん
2ー2Cosθ＝2ー2cos(2•θ/2)
=2ー2(1ー2sin^2θ/2)
が分からん
式が見づらかったらごめん
>>974
x^4+Px^2+Qx+R=0
という式を
(x^2+a)^2=b(x+c)^2 ・・・・・ (※)
という形に変形できたら、（両方とも、四次の係数は1、三次の項は無しなので、可能なはずと予想）
x^2+a=±√b(x+c)
となって、後は二次方程式を解けばよいということになる。これが目標。
(※)を展開して左辺に移すと、
x^4+(2a-b)x^2-2bcx+a^2-bc^2=0 だから、
P=2a-b
Q=-2bc
R=a^2-bc^2
であればよく、これを満たすa,b,cを、P,Q,Rを使って表すことを目標に式変形を行うと、
a=(P+b)/2
4R=4(((P+b)/2)^2-bc^2)=P^2+2Pb+b^2-4bc^2=P^2+2Pb+b^2-Q^2/b から
b^3+2Pb^2+(P^2-4R)b-Q^2=0 というbについての三次方程式が導かれる、ということ。
この式は、b→u と置き換えれば、 「 u (p + u)2 － 4 r u = q2 」 と同じ。
x^4+Px^2+Qx+R=0
という式を
(x^2+a)^2=b(x+c)^2 ・・・・・ (※)
という形に変形できたら、（両方とも、四次の係数は1、三次の項は無しなので、可能なはずと予想）
x^2+a=±√b(x+c)
となって、後は二次方程式を解けばよいということになる。これが目標。
(※)を展開して左辺に移すと、
x^4+(2a-b)x^2-2bcx+a^2-bc^2=0 だから、
P=2a-b
Q=-2bc
R=a^2-bc^2
であればよく、これを満たすa,b,cを、P,Q,Rを使って表すことを目標に式変形を行うと、
a=(P+b)/2
4R=4(((P+b)/2)^2-bc^2)=P^2+2Pb+b^2-4bc^2=P^2+2Pb+b^2-Q^2/b から
b^3+2Pb^2+(P^2-4R)b-Q^2=0 というbについての三次方程式が導かれる、ということ。
この式は、b→u と置き換えれば、 「 u (p + u)2 － 4 r u = q2 」 と同じ。
>>978
cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=1-2sin(x)sin(x)
cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=1-2sin(x)sin(x)
981 = 9^2 + 30^2 = 31.3209195267^2
平面上に点A(3,4)がある。
正多角形のうち、その頂点で格子点となるものがAのみであるものを考える。
またそれらの全体からなる集合をSとする。
円C:x^2+y^2=25に内接する正n角形で、点Aを1つの頂点とするものはただ1つに定まるが、それをV_nとおく。
V_nがSに属するための、nについての必要十分条件を求めよ。
正多角形のうち、その頂点で格子点となるものがAのみであるものを考える。
またそれらの全体からなる集合をSとする。
円C:x^2+y^2=25に内接する正n角形で、点Aを1つの頂点とするものはただ1つに定まるが、それをV_nとおく。
V_nがSに属するための、nについての必要十分条件を求めよ。
n≠4
n:odd
>>976
y=x(x-1)(x+1) と y=x(x-2)(x+1)は縮尺変えるだけでは重ならないからn=3も無限個あるか
y=x(x-1)(x+1) と y=x(x-2)(x+1)は縮尺変えるだけでは重ならないからn=3も無限個あるか
導関数かx軸方向の拡大縮小、平行移動とy軸方向の拡大縮小で重なるよ。
あれ？n=1では定数と定数でないのは写り合わないな。
0倍は拡大縮小に入らないだろ？
0倍は拡大縮小に入らないだろ？
あそうか変曲点原点にしてからｘｙサイズ変えればいいのか
>>974
{y^2 + (p+u)/2}^2 - u(y-q/2u)^2
を展開して高次の項から並べれば
y^4 + py^2 + qy + (p+u)^2 /4 - qq/4u,
定数項 以外は与式と同じです。
完全に一致するためには、定数項を一致させればよい。
(p+u)^2 /4 - qq/4u = r,
u(p+u)^2 -4ru = qq,
{y^2 + (p+u)/2}^2 - u(y-q/2u)^2
を展開して高次の項から並べれば
y^4 + py^2 + qy + (p+u)^2 /4 - qq/4u,
定数項 以外は与式と同じです。
完全に一致するためには、定数項を一致させればよい。
(p+u)^2 /4 - qq/4u = r,
u(p+u)^2 -4ru = qq,
y=x^3,y=x(x^2+1),y=x(x+1)(x-1)は重ならないから三種類か
四次関数のW字の曲線が同じものとみなせるような変数変換ってどういうのになるのかな
四次関数のW字の曲線が同じものとみなせるような変数変換ってどういうのになるのかな
導関数がx軸方向の拡大縮小と平行移動、y軸方向の拡大縮小で重なることが必要十分だけど、4次関数において導関数の三つの解の二つの巾の比率はこの三つの変換でかわらないから、4次関数の類は無限にある。
つまり∫(x+1)(x-r)dx (r>0)はすべて異なる類。
つまり∫(x+1)(x-r)dx (r>0)はすべて異なる類。
n=3 のとき
y = x^3 + a1･x^2 + a2･x + a3,
= (x + a1/3)^3 + (a2 - a1･a1/3)(x + a1/3) + {a3 - a1･a2/3 + (2/27)a1^3}
∴ x + a1/3 = X,
y - {a3 - a1･a2/3 + (2/27)a1^3} = Y,
とおくと
Y = X^3 + (a2 - a1･a1/3)X,
・a2 - a1･a1/3 = 0 のとき
Y = X^3,
・a2 - a1･a1/3 >0 のとき
Y = X^3 + qqX, Y/q^3 = (X/q)^3 + (X/q),
・a2 - a1･a1/3 <0 のとき
Y = X^3 - qqX, Y/q^3 = (X/q)^3 - (X/q),
y = x^3 + a1･x^2 + a2･x + a3,
= (x + a1/3)^3 + (a2 - a1･a1/3)(x + a1/3) + {a3 - a1･a2/3 + (2/27)a1^3}
∴ x + a1/3 = X,
y - {a3 - a1･a2/3 + (2/27)a1^3} = Y,
とおくと
Y = X^3 + (a2 - a1･a1/3)X,
・a2 - a1･a1/3 = 0 のとき
Y = X^3,
・a2 - a1･a1/3 >0 のとき
Y = X^3 + qqX, Y/q^3 = (X/q)^3 + (X/q),
・a2 - a1･a1/3 <0 のとき
Y = X^3 - qqX, Y/q^3 = (X/q)^3 - (X/q),
>>986
q = √(7/3) とする。
y = x(x-2)(x+1) = (x-1/3)^3 - qq(x-1/3) - 20/27,
∴ (y + 20/27)/q^3 = {(x-1/3)/q}^3 - {(x-1/3)/q},
∴ Y = X^3 - X = X(X-1)(X+1),
となるから重なる････
q = √(7/3) とする。
y = x(x-2)(x+1) = (x-1/3)^3 - qq(x-1/3) - 20/27,
∴ (y + 20/27)/q^3 = {(x-1/3)/q}^3 - {(x-1/3)/q},
∴ Y = X^3 - X = X(X-1)(X+1),
となるから重なる････
>>981
981 = 3^2･109, 109 = 4･27+1,
p≡3 (mod 4) の指数はすべて偶数。
∴ 2つの平方数の和で表わせる。
(2平方和の定理）
981 = 3^2･109, 109 = 4･27+1,
p≡3 (mod 4) の指数はすべて偶数。
∴ 2つの平方数の和で表わせる。
(2平方和の定理）
以下の等式を成立させる自然数の組(a,b,c)を全て求めよ。
a^2+b^2=a^3+c^3=(b+c)/a
a^2+b^2=a^3+c^3=(b+c)/a
a=b=c=1
A=
[[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]]
この行列AをLU分解したときに
L=
[[1,0,0],
[4,1,0],
[0,-8/3,1]]
U=
[[1,2,3],
[0,-3,-6],
[7,0,-7]]
これは(三角行列ではないため)LU分解とはいわないのでしょうか？
[[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]]
この行列AをLU分解したときに
L=
[[1,0,0],
[4,1,0],
[0,-8/3,1]]
U=
[[1,2,3],
[0,-3,-6],
[7,0,-7]]
これは(三角行列ではないため)LU分解とはいわないのでしょうか？
>>996
aa + bb = 2ab + (a-b)^2
= 2b/a + 2b(aa-1)/a + (a-b)^2,
a^3 + c^3 = aa + cc + aa(a-1) + cc(c-1)
= 2ac + (a-c)^2 + aa(a-1) + cc(c-1)
= 2c/a + 2c(aa-1)/a + (a-c)^2 + aa(a-1) + cc(c-1),
より
2(b+c)(aa-1)/a + (a-b)^2 + (a-c)^2 + aa(a-1) + cc(c-1) = 0,
各項≧0 だから a=b=c=1 >>997
>>998
いわない。
|A-xI| = x(18+15x-xx),
Aの固有値は λ = 0, (15±3√33)/2
これをLの主対角線に並べる。
aa + bb = 2ab + (a-b)^2
= 2b/a + 2b(aa-1)/a + (a-b)^2,
a^3 + c^3 = aa + cc + aa(a-1) + cc(c-1)
= 2ac + (a-c)^2 + aa(a-1) + cc(c-1)
= 2c/a + 2c(aa-1)/a + (a-c)^2 + aa(a-1) + cc(c-1),
より
2(b+c)(aa-1)/a + (a-b)^2 + (a-c)^2 + aa(a-1) + cc(c-1) = 0,
各項≧0 だから a=b=c=1 >>997
>>998
いわない。
|A-xI| = x(18+15x-xx),
Aの固有値は λ = 0, (15±3√33)/2
これをLの主対角線に並べる。
1000
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